ontologia della morte - giacintxp
kreatriceventontology...FilogosofiaFilosofia della matematica
Filosofia della matematica dall'essere crea là Leibnitz. Infinitamente crea infinitameventità infinitesimessere d'esserne fenoumenontologòdelhòlex infinitameventholex senzaperché è infinitesimalex È EventonTologia infinitesimix In Filosofia della matematica
è senzaperché fenoumenontology è senzaperché essere-infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.
dy
t = -, dy-2axdx,
ascia
essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.
Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.
Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.
Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.
5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.
Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.
E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.
Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per
Q
lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.
Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.
All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.
Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.
Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
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Giacinto
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Filosofia della matematica
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la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente
Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo
- = + 2AX AAX.
ASCIA
Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:
\ AX / \ AX /
\ AX / \ AXJ \ AX /
secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.
Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.
Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.
Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.
Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il flux
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ragionamento, deve essere fondata sulla sola osservazione, e che costituiscono la base necessaria di tutte le deduzioni.
La superiorità scientifica della geometria deriva dai fenomeni che ritiene essere necessariamente la più universale e il più semplice di tutti. Non solo possono tutti 'i corpi di natura dar luogo a indagini geometriche, così come quelle meccaniche, ma ancora più lontano, fenomeni geometrico esisterebbe ancora, anche se tutte le parti del dell'universo dovrebbero essere considerati come beni. La geometria è quindi, per sua natura, più generale meccanica. Allo stesso tempo, i suoi fenomeni sono più semplici, perché sono evidentemente indipendenti di fenomeni meccanici, mentre questi ultimi sono sempre complicato con i primi. Le stesse relazioni valgono nel confronto con la geometria termologia astratto.
Per queste ragioni, nella nostra classificazione mettiamo geometria prima parte del calcestruzzo matematica ; quella parte dello studio di cui, oltre alla sua propria importanza, serve come base indispensabile di tutto il resto.
Prima di considerare direttamente lo studio filosofico di diversi ordini di richieste che costituiscono la nostra geometria attuale, dovremmo ottenere una idea chiara e precisa della destinazione generale di che la scienza, visto in tutte le sue cuscinetti. Tale è l'oggetto di questo capitolo.
. Definizione geometria viene comunemente definito in modo molto vago e del tutto impropria, come la scienza di estensione. Un miglioramento su questo sarebbe dire che la geometria ha per oggetto la misura di estensione; ma una tale spiegazione sarebbe molto insufficiente, anche se, in fondo, corretta, e sarebbe molto da dare qualche idea del vero carattere generale della scienza geometrica.
Per fare questo, penso che dovrei prima spiegare due divertenti fon- idee, che, molto semplice in se stessi, sono stati singolarmente oscurate con l'impiego di considerazioni metafisiche.
L' idea di spazio. La prima è quella di spazio. Questa concezione consiste propriamente semplicemente nel fatto che, invece di considerare l'estensione nei corpi stessi, l'abbiamo vista in un mezzo indefinito, che noi consideriamo come contenente tutti gli organi della dell'universo . Questa nozione è naturalmente suggerito da osservazione, quando pensiamo di l'impressione che un corpo avrebbe lasciato in un fluido in cui era stato collocato. È evidente, infatti, che, per quanto riguarda le sue relazioni geometriche, tale impressione può essere sostituito per il corpo stesso, senza alterare i ragionamenti rispetto esso. Per quanto riguarda la natura fisica di questo indefinito spazio, siamo spontaneamente portati a rappresentare a noi stessi, ad essere del tutto analogo al mezzo reale in cui viviamo; in modo che se questo mezzo era liquido invece di gassosa, nostro geometrico spazio sarebbe certamente essere concepito come liquida. Questa circostanza è, del resto, solo molto secondario, l'oggetto essenziale di tale concezione essendo solo per farci consideriamo estensione separatamente dai corpi che si manifestano a noi. Possiamo facilmente capire in anticipo l'importanza di questa immagine fondamentale, poiché ci permette di studiare fenomeni geometrico in sé, astrazione essendo fatto di tutti gli altri fenomeni che li accompagnano costantemente in corpi reali, senza howover, esercitare alcuna influenza su di loro. La creazione regolare di questa astrazione generale deve essere considerato come il primo passo che è stato fatto nello studio razionale della geometria, che sarebbe stato impossibile se fosse stato necessario prendere in considerazione, insieme con la forma e la grandezza dei corpi, tutta la loro altre proprietà fisiche. L'uso di una tale ipotesi, che è forse la più antica concezione filosofica creato dalla mente umana, è diventata così familiare a noi, che abbiamo difficoltà esattamente valutare la sua importanza, cercando di apprezzare le conseguenze che deriverebbero dalla sua soppressione.
Diversi tipi di estensione. La seconda concezione geometrica preliminare che dobbiamo esaminare è quella di diversi tipi di estensione, designati dalla parole di volume, di superficie, la linea, e anche il punto, e di cui la spiegazione ordinaria è così insoddisfacente. *
Anche se è evidentemente impossibile concepire qualsiasi estensione assolutamente priva di una qualsiasi delle tre dimensioni fondamentali, è altrettanto incontestabile che, in un gran numero di volte, anche di utilità immediata, domande geometrici dipendono solo due dimensioni, considerati separatamente dal il terzo, o in una sola dimensione, considerati separatamente dagli altri due. Ancora una volta, indipendentemente di questo motivo diretta, lo studio di estensione con una sola dimensione, e poi con due, si presenta chiaramente come un preliminare indispensabile per facilitare lo studio dei corpi completi di tre dimensioni, la teoria immediata di cui sarebbe troppo com * Lacroix giustamente criticato l'espressione di solido, comunemente usato dai geometri per designare un volume. è certo, infatti, che quando vogliamo considerare separatamente una certa porzione di spazio indefinito, concepito come gassosa, abbiamo mentalmente solidificare il suo involucro esterno, in modo che una linea ed una superficie sono abitualmente, alla nostra mente, proprio come solido come un volume. può anche essere osservato che la maggior parte in genere, in modo che i corpi possono penetrare l'un l'altro con più facilità, siamo obbligati ad immaginare l'interno di i volumi di essere vuota, che rende ancora più sensibile la scorrettezza della parola tolid.
complicata. Questi sono i due motivi generali che obbligano geometri considerare separatamente estensione con riferimento ad una o due dimensioni, nonché relativamente a tutti e tre insieme.
I concetti generali di superficie e di linea sono stati formati dalla mente umana, in modo che possa essere in grado di pensare, in modo permanente, di estensione in due direzioni, oppure in uno solo. Le espressioni iperboliche abitualmente impiegati da geometri per definire queste nozioni tendono a trasmettere false idee su di loro; ma, ha esaminato in se stessi, non hanno altro scopo che per permetterci di ragionare con facilità rispetto di questi due tipi di estensione, rendendo completa astrazione di ciò che non deve essere preso in considerazione. Ora per questo è sufficiente concepire la dimensione che si vuole eliminare per diventare gradualmente più piccola, gli altri due rimanenti stesso, fino ad arrivare ad un tale grado di tenuity che non può più fissare l'attenzione. È così che abbiamo naturalmente acquisire la vera idea di una superficie, e, da una seconda operazione analoga, l'idea di una linea, ripetendo per ampiezza quanto avevamo dapprima fatto per spessore. Infine, se ancora una volta ripetere la stessa operazione, arriviamo all'idea di un punto, o di una estensione considerato solo con riferimento al suo posto, l'astrazione di essere fatto di tutto grandezza, e di conseguenza progettato per determinare le posizioni.
Superfici evidentemente hanno inoltre la proprietà generale di volumi esattamente circoscrivono; e allo stesso modo, linee, a loro volta, circoscrivono superfici e sono limitate da punti. Ma questa considerazione, a cui troppa importanza è dato spesso, è soltanto uno secondario.
Superfici e linee sono, quindi, in realtà, sempre concepiti con tre dimensioni; sarebbe, infatti, impossibile rappresentare a se stessi una superficie altrimenti che come una piastra estremamente sottile, e una linea altrimenti che come un filo infinitamente bene. È anche evidente che il grado di tenuity attribuito ogni individuo alle dimensioni dei quali desidera fare astrazione non è sempre identica, perché deve dipendere dal grado di sottigliezza dei suoi abituali osservazioni geometriche. Questa mancanza di uniformità ha, inoltre, non inconveniente reale, in quanto è sufficiente, in modo che le idee di superficie e di linea dovrebbero soddisfare la condizione essenziale della loro destinazione, per ognuno di rappresentare a se stesso le dimensioni che devono essere trascurati come essere più piccolo di tutti coloro la cui grandezza della sua esperienza quotidiana gli dà modo di apprezzare.
Noi quindi vediamo come priva di ogni significato sono le fantastiche discussioni dei metafisici sulle fondamenta della geometria. Va anche osservato che queste idee primordiali sono abitualmente presentati dai geometri in maniera non filosofica, poiché, ad esempio, spiegano le nozioni di diversi tipi di misura in un ordine assolutamente l'inverso della loro dipendenza naturale, che produce spesso più gravi inconvenienti in istruzione elementare.
L'oggetto finale DI GEOMETRIA.
Questi preliminari essendo stabilito, si può procedere direttamente alla definizione generale di geometria, continuando a concepire questa scienza
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fonda È
Oltre
È . È C'è eventua lunghezza della quale deve essere sufficiente a stabilire che della curva. Così, in un cerchio, è evidente che dalla lunghezza del raggio dobbiamo essere in grado di dedurre che della circonferenza; allo stesso modo, la lunghezza di un ellisse dipende da quella dei suoi due assi; la lunghezza di una cicloide dal diametro del la cirole generatrice, ecc; e se, invece di considerare l'intero di ogni curva, chiediamo, più in generale, la lunghezza di ogni arco, sarà sufficiente aggiungere ai diversi parametri rettilinee, che determinano l'intera curva, la corda della dell'arco proposto, o le coordinate delle sue estremità. Per scoprire la relazione che esiste tra la lunghezza di una linea curva e che di linee simili destra, è il problema generale della parte della geometria che riguarda lo studio di linee. Combinando questa considerazione con quelli precedentemente suggerito in termini di volumi e superfici, si può formare una chiara idea della scienza della geometria, concepita in tutte le sue parti, assegnando ad esso, per il suo scopo generale, la riduzione finale dei confronti di tutti i tipi di misura, volumi, superfici, o linee, a semplici confronti di linee rette, gli unici confronti considerati in grado di essere fatto direttamente, e che anzi non potevano essere ridotti a tutti gli altri più facile effetto. Tale concezione, allo stesso tempo, indica chiaramente il carattere vero di geometria, e sembra adatta a mostrare un solo sguardo sua utilità e la sua perfezione.
Misurazione di destra Lines. Per completare questa spiegazione fondamentale, devo ancora mostrare come ci può essere, in geometria, una sezione particolare relativa alla linea di destra, che sembra a prima incompatibile con il principio che la misura di questa classe di le linee devono essere sempre considerati come diretta.
È così, di fatto, rispetto a quello delle linee curve, e di tutti gli altri oggetti che geometria considera. Ma è evidentessere
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