mathesix

FilogosofiaFilosofia della matematica
Filosofia della matematica dall'essere crea là Leibnitz. Infinitamente crea infinitameventità infinitesimessere realizzato, e tali differenziali essere trattata, a loro volta, come nuove quantità primitive , e un rapporto ricercato tra loro elementi infinitamente piccoli (che, con riferimento agli oggetti finali della questione, sarà secondo differenziali), e così via; la stessa trasformazione ammettendo di essere ripetuto un numero di volte, a condizione di fine eliminando il numero sempre crescente di quantità infinitesimali introdotte come ausiliari.



Una persona non ancora familiarità con queste considerazioni non percepisce immediatamente come l'impiego di queste quantità ausiliari possono facilitare la scoperta delle leggi di analisi di fenomeni; per i infinitamente piccoli incrementi di grandezze previste sono delle stesse specie con loro, sembrerebbe che le loro relazioni non devono essere ottenuti con più facilità, in quanto il valore maggiore o minore di un quantitativo non può, infatti, esercitare alcuna influenza sulla un'indagine che è necessariamente indipendenti, per sua natura, di ogni idea di valore. Ma è facile, tuttavia, per spiegare molto chiaramente, e in modo del tutto generale, quanto la questione deve essere semplificata tale artifizio. A questo scopo, è necessario iniziare distinguere diversi ordini di infinitamente piccole quantità, una precisa idea di ottenibili considerandoli come sia le successive potenze della stessa primitiva infinitamente piccola quantità, o come quantitativi che possono essere considerati come aventi rapporti finiti con questi poteri; di modo che, per fare un esempio, il secondo, terzo, ecc, differenziali di qualsiasi variabile sono classificati come infinitamente piccole quantità di secondo ordine, il terzo, e c, perché è facile da scoprire in loro multipli finiti di secondo, terzo, (kc, poteri di un certo differenziale primo. Queste idee preliminari stanno costituendo, lo spirito della dell'analisi infinitesimale consiste nel trascurare costantemente le quantità infinitamente piccole in confronto con quantità finite, e generalmente i infinitamente piccole quantità di qualsiasi ordine qualunque rispetto con tutti quelli di ordine inferiore. è insieme evidente quanto una tale libertà deve facilitare la formazione delle equazioni tra i differenziali di quantità, poiché, al posto di questi differenziali, possiamo sostituire questi altri elementi come si può scegliere, e come sarà più semplice da considerare, solo avendo cura di conformarsi a questa sola condizione, che i nuovi elementi differiscono dai precedenti solo quantità infinitamente piccole in confronto con loro. È così che sarà possibile, in geometria, per trattare le linee curve come composto di un'infinità di elementi rettilinei, superfici curve come formata di elementi piani, e, in meccanica, movimenti variabili come una serie infinita di moti uniformi, riuscendo uno un altro a infinitamente piccoli intervalli di tempo.



Esempi. Considerando l'importanza di questa concezione ammirevole, penso che dovrei qui per completare l'illustrazione del suo carattere fondamentale dall'indicazione sintesi di alcuni esempi principali.

1. . Tangenti Let It Be necessari per determinare, per ogni punto di una curva piana, l'equazione di cui viene data, la direzione della sua tangente; una domanda la cui soluzione generale era l'oggetto primitivo dei i inventare ors di analisi trascendentale. Considereremo th tangente come secante unisce due punti infinitamente vicini l'uno all'altro; e poi, viene designato per dy e dx infinitamente piccole differenze di coordinate di questi due punti, i principi elementari di geometria saranno sorve



dy diatamente dare l'equazione t = -r- per la trigonometrica

tangente di angolo che è fatta con l'asse delle ascisse la tangente desiderata, essendo questo il modo più semplice di fissare la posizione in un sistema di rettilinei coordinate. Questa equazione, comune a tutte le curve, sia stabilita, la questione si riduce ad un semplice problema analitico, che consisterà nell'eliminare lo infinitesimi dx e dy, che sono stati introdotti come ausiliari, determinando in ciascun caso particolare, per mezzo di equazione della curva proposto, il rapporto di dy per dx, che sarà costantemente fatto da uniforme e metodi molto semplici. 2. Soluzione di un arco. In secondo luogo, supponiamo che vogliamo conoscere la lunghezza di arco di qualsiasi curva, considerata come una funzione delle coordinate di sue estremità. Sarebbe impossibile stabilire un'equazione direttamente THT tra questo arco s e queste coordinate, mentre è facile trovare il rapporto relativo tra i differenziali di queste diverse grandezze. I più semplici teoremi di geometria elementare saranno infatti dare in una sola volta, considerando i infinitamente piccolo arco ds come una linea a destra, le equazioni

ds t = dy t + dx \ o ds i = dx t + dy 1 J R dz t , a seconda che la curva è di curvatura singolo o doppio. In Filosofia della matematica
è senza dubbio strettamente sufficiente a dissipare ogni incertezza circa il legittimo impiego di analisi di Leibnitz. Ma il metodo infinitesimale è così importante, che offre ancora, in quasi tutte le sue applicazioni, una superiorità tale pratica negli altri concetti generali che sono stati successivamente proposti, che ci sarebbe stata una vera e propria imperfezione nel carattere filosofico della scienza se si potesse non giustificarsi, e aveva bisogno di essere logicamente fondata su considerazioni di un altro ordine, che sarebbe poi cessa di essere impiegato.

Era, quindi, di estrema importanza per stabilire direttamente e in maniera generale la necessaria razionalità del metodo infinitesimale. Dopo vari tentativi più o meno imperfetta, geometra distinta, Carnot, presentato finalmente la vera spiegazione logica diretta del metodo di Leibnitz, mostrando di essere fondato sul principio della necessaria compensazione di errori, questo essere, infatti, la manifestazione precisa e luminosa di ciò che Leibniz aveva vagamente e confusamente percepito. Carnot ha così reso la scienza un servizio essenziale, anche se, come vedremo verso la fine di questo capitolo, tutto questo impalcature logico del metodo infinitesimo, propriamente detta, è molto probabilmente suscettibile di soli esistenza provvisorio, in quanto è radicalmente vizioso nella sua natura. Tuttavia, non dobbiamo mancare di notare il sistema generale di ragionamento proposto da Carnot, al fine di legittima direttamente all'analisi di Leibnitz. Ecco la sostanza di esso:

Nello stabilire l'equazione differenziale di un fenomeno, sostituiamo, per gli elementi immediati di diverse grandezze considerate, altri infinitesimi più semplici, che differiscono da loro infinitamente piccolo in confronto con loro; e questa sostituzione costituisce l'artificio principale del metodo di Leibnitz, che senza di essa avrebbe posseduto reale impianto per la formazione di equazioni. Carnot riguarda tale ipotesi come realmente producendo un errore nell'equazione così ottenuta, e che per questo si chiama imperfetta , solo, è chiaro che questo errore deve essere infinitamente piccola. Ora, invece, tutte le operazioni di analisi, sia di differenziazione o di integrazione, che sono eseguiti su queste equazioni differenziali, al fine di sollevare le equazioni finite eliminando tutti gli infinitesimi introdotte come ausiliari, produrre costantemente , per loro natura, come è facilmente visibile, altri errori analoghi, in modo che una compensazione esatta avviene, e le equazioni finali, nelle parole di Carnot, diventa perfetta. visite Carnot, come indicazione certa ed invariabile della effettiva costituzione di questa compensazione necessaria, l'eliminazione completa dei vari infinitamente piccole quantità, che è sempre, infatti, l'oggetto finale di tutte le operazioni di analisi trascendente; perché se abbiamo commesso nessun altro infrazioni delle regole generali del ragionamento di quelli quindi preteso dalla natura stessa del metodo infinitesimale, gli infinitamente piccoli errori così prodotti non possono aver generato diverso infinitamente piccoli errori in tutte le equazioni, e le relazioni sono necessariamente di un'esattezza rigorosa appena esistono tra quantità finite sola, poiché i soli errori le possibili devono essere quelli finiti, mentre nessuno quali può essere inserito. Tutto questo ragionamento generale si fonda sulla concezione di quantità infinitesimali, considerato indefinitamente diminuendo, mentre quelli da cui sono derivati ??sono considerati fisso.






Illustrazione per tangenti. Così, per illustrare questa esposizione estratto da un solo esempio, prendiamo nuovamente la questione di tangenti, che è il più facile da un

dy alyze completamente. Noi considerare l'equazione t = -,
ottenuto sopra, come essere colpiti con un infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.






dy
t = -, dy-2axdx,
ascia



essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.

Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.

Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.



Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, che ho appositamente soffermati perché ammette di essere più facilmente comprensibile nel suo complesso, e il più rapidamente descritto.

METODO DI NEWTON.

Newton ha successivamente presentato il suo proprio metodo di concepire l'analisi trascendentale sotto diverse forme. Ciò che è attualmente il più comunemente adottata è stato designato da Newton, a volte sotto il nome del del metodo di primo e ultimo Ra tios, a volte sotto quella della il metodo di limiti.

Metodo di limiti. Lo spirito generale di analisi trascendente, da questo punto di vista, consiste nell'introdurre come ausiliari, al posto dei quantitativi primitive, o in concomitanza con essi, al fine di facilitare la creazione di equazioni, i limiti di della ra tios di incrementi simultanei di queste quantità; o, in altre parole, le finali rapporti di tali incrementi; limiti o rapporti finali che possono essere facilmente dimostrato di avere un determinato e valore finito. Un calcolo speciale, che è l'equivalente del calcolo infinitesimale, viene quindi impiegata per passare le equazioni tra questi limiti alle corrispondenti equazioni tra le quantità primitive stessi.



La potenza che è dato da una tale analisi, di esprimere con più facilità le leggi matematiche di fenomeni, dipende in generale su questo, che, poiché il calcolo si applica, non alle stesse incrementi delle quantità proposte, ma per i limiti di rapporti di tali incrementi, possiamo sempre sostituiamo per ogni incremento qualsiasi altra grandezza più facile da esaminare, a condizione che il loro rapporto finale è il rapporto di uguaglianza, o, in altre parole, che il limite del loro rapporto è unità. È evidente, infatti, che il calcolo dei limiti sarebbe in alcun modo limitati da questa sostituzione. Partendo da questo principio, troviamo quasi equivalente dei servizi offerti dall'analisi di Leibnitz, che vengono poi semplicemente concepiti sotto un altro punto di vista. Così curve vengono considerati come i limiti di una serie di poligoni rettilinei, moti variabili come i limiti di una raccolta di moti uniformi di durate costantemente decrescenti, e così via.

. Esempi 1. . Tangenti Supponiamo, per esempio, che vogliamo determinare la direzione della tangente ad una curva; considereremo come il limite verso che tenderebbe a secante, che dovrebbe ruotare attorno al punto in modo che il secondo punto di intersezione debba indefinitamente avvicinarsi alla prima. Rappresentando le differenze di coordinate dei due punti di Ay e Ax, avremmo in ogni istante, per la tangente trigonometrica del dell'angolo che la secante forma con l'asse di ascisse,

Ay Ax ! Da cui, prendendo i limiti, si otterrà, relativamente alla tangente in sé, questa formula generale di analisi trascendente, ._. Ay

ASCIA

[Errori OCR]
«IndiFilosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













funzioni indiretti), ci porteranno indietro da questa relazione a quello che esiste tra le quantità finite stessi in esame.

3. Quadratura di una curva. Sarebbe lo stesso con la quadratura delle aree curvilinee. Se la curva è un piano uno, e di cui rettilinee coordinate, noi concepire l'area A compresa tra questa curva, l'asse delle ascisse, e due estremi coordinate, per aumentare di una quantità infinitamente piccola dA, come il risultato di un corrispondente incremento di ascissa. La relazione tra queste due differenziali può essere immediatamente ottenuta con grande facilità sostituendo l'elemento curvilineo della zona proposto rettangolo formato dalla estrema ordinata e l'elemento di ascisse, da cui evidentemente differisce solo per una quantità infinitamente piccola di il secondo ordine. In questo modo in una volta dare, qualunque sia la curva, il molto semplice equazione differenziale

dA. = YDX, dal quale, quando viene definita la curva, il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre l'equazione finita, che è l'oggetto immediato del problema.

4. Velocità in Variable movimento. Allo stesso modo, in Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.



5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.

Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.

E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.



Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per

Q



lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.

Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.

All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.



Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.

Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
«Indietro Continua»






















Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente

Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo

- = + 2AX AAX.

ASCIA

Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:

\ AX / \ AX /

\ AX / \ AXJ \ AX /

secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.



Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.

Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.

Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.

Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il flux



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













ragionamento, deve essere fondata sulla sola osservazione, e che costituiscono la base necessaria di tutte le deduzioni.

La superiorità scientifica della geometria deriva dai fenomeni che ritiene essere necessariamente la più universale e il più semplice di tutti. Non solo possono tutti 'i corpi di natura dar luogo a indagini geometriche, così come quelle meccaniche, ma ancora più lontano, fenomeni geometrico esisterebbe ancora, anche se tutte le parti del dell'universo dovrebbero essere considerati come beni. La geometria è quindi, per sua natura, più generale meccanica. Allo stesso tempo, i suoi fenomeni sono più semplici, perché sono evidentemente indipendenti di fenomeni meccanici, mentre questi ultimi sono sempre complicato con i primi. Le stesse relazioni valgono nel confronto con la geometria termologia astratto.

Per queste ragioni, nella nostra classificazione mettiamo geometria prima parte del calcestruzzo matematica ; quella parte dello studio di cui, oltre alla sua propria importanza, serve come base indispensabile di tutto il resto.

Prima di considerare direttamente lo studio filosofico di diversi ordini di richieste che costituiscono la nostra geometria attuale, dovremmo ottenere una idea chiara e precisa della destinazione generale di che la scienza, visto in tutte le sue cuscinetti. Tale è l'oggetto di questo capitolo.

. Definizione geometria viene comunemente definito in modo molto vago e del tutto impropria, come la scienza di estensione. Un miglioramento su questo sarebbe dire che la geometria ha per oggetto la misura di estensione; ma una tale spiegazione sarebbe molto insufficiente, anche se, in fondo, corretta, e sarebbe molto da dare qualche idea del vero carattere generale della scienza geometrica.



Per fare questo, penso che dovrei prima spiegare due divertenti fon- idee, che, molto semplice in se stessi, sono stati singolarmente oscurate con l'impiego di considerazioni metafisiche.

L' idea di spazio. La prima è quella di spazio. Questa concezione consiste propriamente semplicemente nel fatto che, invece di considerare l'estensione nei corpi stessi, l'abbiamo vista in un mezzo indefinito, che noi consideriamo come contenente tutti gli organi della dell'universo . Questa nozione è naturalmente suggerito da osservazione, quando pensiamo di l'impressione che un corpo avrebbe lasciato in un fluido in cui era stato collocato. È evidente, infatti, che, per quanto riguarda le sue relazioni geometriche, tale impressione può essere sostituito per il corpo stesso, senza alterare i ragionamenti rispetto esso. Per quanto riguarda la natura fisica di questo indefinito spazio, siamo spontaneamente portati a rappresentare a noi stessi, ad essere del tutto analogo al mezzo reale in cui viviamo; in modo che se questo mezzo era liquido invece di gassosa, nostro geometrico spazio sarebbe certamente essere concepito come liquida. Questa circostanza è, del resto, solo molto secondario, l'oggetto essenziale di tale concezione essendo solo per farci consideriamo estensione separatamente dai corpi che si manifestano a noi. Possiamo facilmente capire in anticipo l'importanza di questa immagine fondamentale, poiché ci permette di studiare fenomeni geometrico in sé, astrazione essendo fatto di tutti gli altri fenomeni che li accompagnano costantemente in corpi reali, senza howover, esercitare alcuna influenza su di loro. La creazione regolare di questa astrazione generale deve essere considerato come il primo passo che è stato fatto nello studio razionale della geometria, che sarebbe stato impossibile se fosse stato necessario prendere in considerazione, insieme con la forma e la grandezza dei corpi, tutta la loro altre proprietà fisiche. L'uso di una tale ipotesi, che è forse la più antica concezione filosofica creato dalla mente umana, è diventata così familiare a noi, che abbiamo difficoltà esattamente valutare la sua importanza, cercando di apprezzare le conseguenze che deriverebbero dalla sua soppressione.



Diversi tipi di estensione. La seconda concezione geometrica preliminare che dobbiamo esaminare è quella di diversi tipi di estensione, designati dalla parole di volume, di superficie, la linea, e anche il punto, e di cui la spiegazione ordinaria è così insoddisfacente. *

Anche se è evidentemente impossibile concepire qualsiasi estensione assolutamente priva di una qualsiasi delle tre dimensioni fondamentali, è altrettanto incontestabile che, in un gran numero di volte, anche di utilità immediata, domande geometrici dipendono solo due dimensioni, considerati separatamente dal il terzo, o in una sola dimensione, considerati separatamente dagli altri due. Ancora una volta, indipendentemente di questo motivo diretta, lo studio di estensione con una sola dimensione, e poi con due, si presenta chiaramente come un preliminare indispensabile per facilitare lo studio dei corpi completi di tre dimensioni, la teoria immediata di cui sarebbe troppo com * Lacroix giustamente criticato l'espressione di solido, comunemente usato dai geometri per designare un volume. è certo, infatti, che quando vogliamo considerare separatamente una certa porzione di spazio indefinito, concepito come gassosa, abbiamo mentalmente solidificare il suo involucro esterno, in modo che una linea ed una superficie sono abitualmente, alla nostra mente, proprio come solido come un volume. può anche essere osservato che la maggior parte in genere, in modo che i corpi possono penetrare l'un l'altro con più facilità, siamo obbligati ad immaginare l'interno di i volumi di essere vuota, che rende ancora più sensibile la scorrettezza della parola tolid.



complicata. Questi sono i due motivi generali che obbligano geometri considerare separatamente estensione con riferimento ad una o due dimensioni, nonché relativamente a tutti e tre insieme.

I concetti generali di superficie e di linea sono stati formati dalla mente umana, in modo che possa essere in grado di pensare, in modo permanente, di estensione in due direzioni, oppure in uno solo. Le espressioni iperboliche abitualmente impiegati da geometri per definire queste nozioni tendono a trasmettere false idee su di loro; ma, ha esaminato in se stessi, non hanno altro scopo che per permetterci di ragionare con facilità rispetto di questi due tipi di estensione, rendendo completa astrazione di ciò che non deve essere preso in considerazione. Ora per questo è sufficiente concepire la dimensione che si vuole eliminare per diventare gradualmente più piccola, gli altri due rimanenti stesso, fino ad arrivare ad un tale grado di tenuity che non può più fissare l'attenzione. È così che abbiamo naturalmente acquisire la vera idea di una superficie, e, da una seconda operazione analoga, l'idea di una linea, ripetendo per ampiezza quanto avevamo dapprima fatto per spessore. Infine, se ancora una volta ripetere la stessa operazione, arriviamo all'idea di un punto, o di una estensione considerato solo con riferimento al suo posto, l'astrazione di essere fatto di tutto grandezza, e di conseguenza progettato per determinare le posizioni.

Superfici evidentemente hanno inoltre la proprietà generale di volumi esattamente circoscrivono; e allo stesso modo, linee, a loro volta, circoscrivono superfici e sono limitate da punti. Ma questa considerazione, a cui troppa importanza è dato spesso, è soltanto uno secondario.



Superfici e linee sono, quindi, in realtà, sempre concepiti con tre dimensioni; sarebbe, infatti, impossibile rappresentare a se stessi una superficie altrimenti che come una piastra estremamente sottile, e una linea altrimenti che come un filo infinitamente bene. È anche evidente che il grado di tenuity attribuito ogni individuo alle dimensioni dei quali desidera fare astrazione non è sempre identica, perché deve dipendere dal grado di sottigliezza dei suoi abituali osservazioni geometriche. Questa mancanza di uniformità ha, inoltre, non inconveniente reale, in quanto è sufficiente, in modo che le idee di superficie e di linea dovrebbero soddisfare la condizione essenziale della loro destinazione, per ognuno di rappresentare a se stesso le dimensioni che devono essere trascurati come essere più piccolo di tutti coloro la cui grandezza della sua esperienza quotidiana gli dà modo di apprezzare.

Noi quindi vediamo come priva di ogni significato sono le fantastiche discussioni dei metafisici sulle fondamenta della geometria. Va anche osservato che queste idee primordiali sono abitualmente presentati dai geometri in maniera non filosofica, poiché, ad esempio, spiegano le nozioni di diversi tipi di misura in un ordine assolutamente l'inverso della loro dipendenza naturale, che produce spesso più gravi inconvenienti in istruzione elementare.

L'oggetto finale DI GEOMETRIA.

Questi preliminari essendo stabilito, si può procedere direttamente alla definizione generale di geometria, continuando a concepire questa scienza come avente per oggetto finale misura di estensione.

E 'necessario in questa materia per andare in un approfondito



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













spiegazione, fondata sulla distinzione dei tre tipi di estensione, poiché la nozione di misura non è esattamente lo stesso con riferimento a superfici e volumi da linee.

Natura del geometrica misura. Se prendiamo la parola misura nella sua diretta e generale accettazione matematica, che significa semplicemente la determinazione del valore di i rapporti fra qualsiasi grandezze omogenee, bisogna considerare, nella geometria, che la misura di superfici e di volumi , a differenza di quello di linee, non è mai concepito, anche in casi più favorevoli più semplice e, come essere effettuata direttamente. Il confronto delle due linee è considerato diretto; che di due superfici o di due volumi è, al contrario, sempre indiretta. Così noi concepiamo che due linee possono essere sovrapposte; ma la sovrapposizione delle due superfici, o, più ancora, di due volumi, è evidentemente impossibile nella maggior parte dei casi; e, anche quando diventa rigorosamente possibile, tale confronto è mai né conveniente o esatta. È, quindi, molto necessario spiegare in cosa consiste correttamente la misura vera geometrica di una superficie o di un volume.

Misurazione di superfici e dei volumi. Per questo bisogna considerare che, qualunque sia la forma di un corpo, esiste sempre un certo numero di linee, più o meno facile da assegnare, la lunghezza del quale è sufficiente a definire esattamente grandezza della superficie o del suo volume. Geometria, riguardo queste righe da sola suscettibile di essere misurata direttamente, propone dedurre, dalla semplice determinazione del loro, il rapporto di superficie o di volume cercato, all'unità di superficie, oppure l'unità di volume. Così l'obiettivo generale di geometria, rispetto alle superfici e volumi, è correttamente ridurre tutti i confronti di superfici o di volumi a semplici confronti di linee.



Oltre la grandissima facilità che una tale trasformazione offre evidentemente per la misura di volumi e di superfici, ne risulta da esso, in considerazione in modo più esteso e più scientifica, la possibilità generale di ridurre a questioni di linee tutte le questioni relative volumi e superfici, considerate con riferimento alla loro grandezza. Tale è spesso l'uso più importante delle espressioni geometriche che determinano superfici e volumi in funzioni delle linee corrispondenti.

È vero che i confronti diretti tra superfici o tra volumi sono talvolta impiegati ; ma tali misurazioni non sono considerati geometrico, ma solo come un supplemento talvolta necessario, anche se troppo raramente applicabile, alla insufficienza o alla difficoltà di metodi veramente razionali. È così che spesso determinare il volume di un corpo, e in alcuni casi la sua superficie, tramite di suo peso. Allo stesso modo, in altre occasioni, quando possiamo sostituire il volume proposto un volume liquido equivalente, si stabilisce direttamente il confronto dei due volumi, approfittando dalla proprietà posseduta da masse liquide, di assumere qualsiasi forma desiderata. Ma tutti i mezzi di questa natura sono puramente meccanico, e la geometria razionale li rifiuta necessariamente.

Per rendere più sensibile la differenza tra queste modalità di determinazione e veri misure geometriche, citerò un solo molto notevole esempio; il modo in cui Galileo determinato il rapporto della cicloide ordinaria a quella del cerchio generatore. La geometria del suo tempo era ancora insufficienti per la soluzione razionale di tale problema. Galileo concepì l'idea di scoprire che il rapporto con un esperimento diretta. Avendo pesato come esattamente come possibili due piastre di stesso materiale e di uguale spessore, uno dei quali ha la forma di un cerchio e l'altro che di quello generato cicloide, trovò il peso di quest'ultimo sempre il triplo del precedente; donde dedotto che la zona della cicloide è triplo del cerchio generatore, un risultato accordo con la soluzione vera successivamente ottenuto da Pascal e Wallis. Tale successo dipende evidentemente l'estrema semplicità del rapporto richiesto; e siamo in grado di capire l'insufficienza necessaria di tali espedienti, anche quando sono in realtà praticabile.



Vediamo chiaramente da quanto precede, la natura di quella parte della geometria relativa ai volumi e quello relativo alla superficie. Ma il carattere della geometria delle linee non è così evidente, dal momento che, al fine di semplificare l'esposizione, abbiamo considerato la la misurazione di linee come riferimenti direttamente. C'è quindi bisogno di una spiegazione complementare rispetto ad essi.

Misurazione di curve linee. Per questo scopo, è sufficiente distinguere tra la linea destra e linee curve, la misurazione del primo essere solo considerato diretto, e che di altra come sempre indiretta. Sebbene sovrapposizione volte è strettamente funzionale per linee curve, è tuttavia evidente che la geometria veramente razionale deve necessariamente respingerla, non ammettendo di tutta la precisione, anche quando è possibile. La geometria delle linee è, quindi, per il suo scopo generale, per ridurre in ogni caso la misura di linee curve a quella di rette; e di conseguenza, nel punto più esteso di vista, per ridurre a semplici domande di linee rette tutte le questioni relative alla grandezza di eventuali curve qualunque. Per comprendere la possibilità di una tale trasformazione, si deve notare che in ogni curva esistono sempre alcune linee rette, la lunghezza della quale deve essere sufficiente a stabilire che della curva. Così, in un cerchio, è evidente che dalla lunghezza del raggio dobbiamo essere in grado di dedurre che della circonferenza; allo stesso modo, la lunghezza di un ellisse dipende da quella dei suoi due assi; la lunghezza di una cicloide dal diametro del la cirole generatrice, ecc; e se, invece di considerare l'intero di ogni curva, chiediamo, più in generale, la lunghezza di ogni arco, sarà sufficiente aggiungere ai diversi parametri rettilinee, che determinano l'intera curva, la corda della dell'arco proposto, o le coordinate delle sue estremità. Per scoprire la relazione che esiste tra la lunghezza di una linea curva e che di linee simili destra, è il problema generale della parte della geometria che riguarda lo studio di linee. Combinando questa considerazione con quelli precedentemente suggerito in termini di volumi e superfici, si può formare una chiara idea della scienza della geometria, concepita in tutte le sue parti, assegnando ad esso, per il suo scopo generale, la riduzione finale dei confronti di tutti i tipi di misura, volumi, superfici, o linee, a semplici confronti di linee rette, gli unici confronti considerati in grado di essere fatto direttamente, e che anzi non potevano essere ridotti a tutti gli altri più facile effetto. Tale concezione, allo stesso tempo, indica chiaramente il carattere vero di geometria, e sembra adatta a mostrare un solo sguardo sua utilità e la sua perfezione.






Misurazione di destra Lines. Per completare questa spiegazione fondamentale, devo ancora mostrare come ci può essere, in geometria, una sezione particolare relativa alla linea di destra, che sembra a prima incompatibile con il principio che la misura di questa classe di le linee devono essere sempre considerati come diretta.

È così, di fatto, rispetto a quello delle linee curve, e di tutti gli altri oggetti che geometria considera. Ma è evidente che la stima di una linea retta non può essere considerato come diretto se non in quanto l'unità lineare può essere applicato ad esso. Ora questo spesso presenta difficoltà insormontabili, come ho avuto occasione di mostrare, per un altro motivo, nel capitolo introduttivo. Dobbiamo, quindi, effettuare la misurazione della linea di destra proposto dipendono altre misure analoghe capaci di essere effettuati direttamente. Non vi è, quindi, necessariamente un ramo distinto primaria di geometria, esclusivamente dedicato alla linea di destra; il suo scopo è di determinare alcune linee rette da altri per mezzo di rapporti appartenenti alle figure derivanti dalla loro assemblaggio. Questa parte preliminare della geometria, che è quasi impercettibile visualizzazione tutta della scienza, è tuttavia suscettibile di un grande sviluppo. Evidentemente è di particolare importanza, poiché tutte le altre misure geometriche sono indicati quelli di linee rette, e se non sono determinabili, la soluzione di ogni domanda rimarrebbe incompleto.

Tale, quindi, sono le varie parti fondamentali di geometria razionale, disposte secondo la loro naturale dipendenza; la geometria delle linee in fase di prima considerato, a cominciare con la linea a destra; allora la geometria del sur * facce, e, infine, che di solidi.



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













Estensione infinita DI suo campo.

Avendo determinato con precisione l'oggetto generale e finale delle indagini geometriche, la MUSL scienza ora essere considerata rispetto al campo abbracciato bj ciascuno dei suoi tre sezioni fondamentali.

Così considerata, la geometria è evidentemente suscettibile, per sua natura, di una estensione che è rigorosamente infinita; per la misura di linee, di superfici o di volumi presenta necessariamente come molte domande distinte come si può concepire figure diverse sottoposti a definizioni esatte; e il loro numero è evidentemente infinita.

Geometri si sono limitati in un primo momento di prendere in considerazione le figure più semplici che le sono stati forniti direttamente dalla natura, o che sono state dedotte da questi elementi primitivi di meno complicate combinazioni. Ma hanno percepito, poiché Descartes, che, per costituire la scienza nel modo più filosofica, è stato necessario far applicare a tutte le figure immaginabili. Questa geometria astratta sarà quindi inevitabilmente comprendere come casi particolari tutte le diverse figure reali che il mondo esterno potrebbe presentare. Si tratta quindi di un principio fondamentale in geometria veramente razionale di considerare, per quanto possibile, tutte le cifre che può essere rigorosamente concepite.

L'esame più superficiale è sufficiente a convincerci che queste cifre rappresentano una varietà che è abbastanza infinita.

Infinità di linee. Rispetto alle curve linee, considerandole generato dal movimento di un punto governato da una certa legge, è chiaro che avremo, in generale, come molte curve differenti come concepire leggi diverse per questa proposta, che possono evidentemente essere determinato da una infinità di condizioni distinte; anche se a volte può accadere accidentalmente che le nuove generazioni producono curve che sono stati già ottenuti. Così, tra curve piane, se un punto si muove in modo da restare sempre alla stessa distanza da un punto fisso, si genererà un cerchio , se è la somma o la differenza delle sue distanze da due punti fissi che rimane costante, la curva descritta sarà un ellisse o un iper bola , se è il loro prodotto, avremo una curva completamente diversa; se il punto di partenza altrettanto da un punto fisso e da una linea fissa, si descriverà una parabola; se ruota su un cerchio al tempo stesso che questo cerchio rotola lungo una linea retta, avremo una cicloide, se avanza lungo una linea retta, mentre questa linea, fissato a una delle sue estremità, si trasforma in qualsivoglia modo, ci si tradurrà ciò in termini generali sono chiamati spi RAL, che di sé evidentemente presenti tante curve perfettamente distinti, come possiamo supporre differenti rapporti tra questi due movimenti di traslazione e di rotazione, ecc Ognuna di queste diverse curve possono quindi fornire nuovi, dalle diverse costruzioni generali che geometri hanno immaginato, e che danno luogo a evolute, a epicycloids, a sostanze caustiche, ecc Infine, esiste una ancora maggiore varietà tra le curve di doppia curvatura.

[grafico]



Infinità di superfici. Per quanto riguarda le superfici, le figure sono necessariamente più ancora diverso, considerandoli come generato dal moto di linee. Infatti, la cifra può quindi variare, non solo nel considerare, come nelle curve, le diverse infinitamente numerose leggi per cui il moto della linea generatrice può essere sottoposto, ma anche supponendo che questa linea si può cambiare la sua natura; circostanza che non ha nulla analogo nelle curve, in quanto i punti che descrivono loro non possono avere qualsiasi figura distinta. Due classi di condizioni molto differenti possono quindi causare le figure di superfici di variare, mentre esiste una sola delle linee. È inutile citare esempi di questa molteplicità doppiamente infinita di superfici. Sarebbe sufficiente considerare l'estrema varietà del singolo gruppo di superfici che possono essere generati da una linea retta, e che comprende tutta la famiglia di superfici cilindriche, che di superfici coniche, la classe più generale di superfici sviluppabili, ec



Infinità di volumi. Per quanto riguarda i volumi, non vi è alcun motivo per qualsiasi particolare considerazione, in quanto si distinguono tra loro solo dalle superfici che li delimitano.

Per completare questo disegno, si deve aggiungere che le superfici stesse arredare una nuova mezzo generale di concepire nuove curve, poiché ogni curva può essere considerata come prodotta dall'intersezione delle due superfici. È in questo modo, infatti, che le prime linee che possiamo considerare come essendo veramente inventato da geometri stati ottenuti, poiché la natura ha dato direttamente la retta e il cerchio. Sappiamo che l'ellisse, la parabola e l'iperbole, le uniche curve completamente studiati dagli antichi, erano in origine concepito solo come risultante dall'intersezione di un cono a base circolare da un piano in diverse posizioni. È evidente che, con l'impiego combinato di questi diversi mezzi generali per la formazione di linee e di superfici, potremmo produrre una serie rigorosamente infinitamente di forme distinte partendo da solo un piccolo numero di dati forniti direttamente dall'osservazione.

[grafico]



Analitica invenzione di curve, Sfc. Infine, tutti i vari mezzi diretti per l'invenzione delle figure hanno quasi nessuna importanza più in là, dal momento che la geometria razionale ha assunto il suo carattere finale nelle mani di Cartesio. Infatti, come vedremo più ampiamente nel capitolo iii., L'invenzione di dati è ora ridotta l'invenzione di equazioni, in modo che nulla è più facile che concepire nuove linee e nuove superfici, modificando a piacimento le funzioni introdotte nel equazioni. Questa semplice procedura astratta è, a questo proposito, infinitamente più feconda tutte le risorse dirette di geometria, sviluppata dal più potente immaginazione, che dovrebbe dedicarsi esclusivamente a questo ordine di concezioni. Essa spiega anche, nel più generale e il modo più evidente, l'necessariamente infinita varietà di forme geometriche, che corrisponde quindi alla diversità di funzioni analitiche. Infine, non mostra meno chiaramente che le varie forme di superfici devono essere ancora più numerose di quelle delle linee, poiché le linee sono rappresentate analiticamente da equazioni con due variabili, mentre le superfici danno luogo a equazioni in tre variabili, che presentano necessariamente una maggiore diversità .

Le considerazioni che precedono sono sufficienti a mostrare chiaramente la portata rigorosamente infinita di ciascuna delle tre sezioni generali di geometria.

ESPANSIONE DI definizione originale.

Per completare la formazione di un'idea esatta e sufficientemente estesa della natura delle indagini geometriche, è ormai indispensabile per tornare alla definizione generale

N



sopra determinato, al fine di presentare sotto un nuovo punto di vista, senza la quale la scienza completa sarebbe solo molto imperfettamente concepito.

Quando si assegna come l'oggetto della geometria di misura mi- di tutti i tipi di linee, superfici e volumi, che è, come è stato spiegato, la riduzione di tutti i confronti geometriche semplici confronti di linee rette, abbiamo evidentemente il vantaggio di indicare una destinazione generale molto preciso e molto facile da comprendere. Ma se mettiamo da parte ogni definizione, ed esaminiamo la composizione effettiva della scienza della geometria, ci sarà in un primo momento essere indotti a considerare la definizione precedente, come troppo ristretta; poiché è certo che la maggior parte delle indagini che costituiscono la nostra geometria presente non affatto sembrano avere per oggetto la misura zione di estensione. A dispetto di questa obiezione fondamentale, io persistere nel mantenere questa definizione; per, infatti, se, invece di limitarci a considerare le diverse domande di geometria isolatamente, ci sforziamo di cogliere le questioni più importanti, in confronto con il quale tutti gli altri, per quanto importanti esse siano, devono essere considerati come solo secondario, ci sarà infine riconoscere che la misurazione di linee, di superfici e di volumi, è l'oggetto invariabile, talvolta direttamente, ma più frequentemente indiretta, di tutte le fatiche geometriche.

Questa proposizione generale è fondamentale, dal momento che può solo dare la nostra definizione tutto il suo valore, è indispensabile per entrare in alcuni sviluppi su questo argomento.



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













PROPRIETA ' DEI linee e superfici.

Quando esaminiamo con attenzione le indagini geometriche che non sembrano riguardare la misura zione di misura, troviamo che consistono essenzialmente nello studio delle diverse proprietà di ciascuna linea o su ogni superficie; cioè nella conoscenza delle diverse modalità di generazione, o almeno di definizione, peculiare di ogni figura considerato. Ora si può facilmente stabilire in modo più generale, la relazione necessaria di tale studio alla questione di misura, per il quale la conoscenza più completa delle proprietà di ciascuna forma è un preliminare indispensabile. Questo è contemporaneamente dimostrato da due considerazioni, altrettanto fondamentali, pur pienamente distinti nella loro natura.

Necessità di loro studio : 1. Per trovare il più tuta in grado di proprietà. La prima, puramente scientifico, consiste nel osservando che, se non sapevamo qualsiasi altra proprietà caratteristica di ciascuna linea o una superficie di quella in base alla quale i geometri avevano prima concepito che, nella maggior parte dei casi sarebbe impossibile riuscire nella soluzione di questioni relative alla sua misurazione. in realtà, è facile comprendere che le varie definizioni che ogni figura ammette di non sono tutti ugualmente adatto per un tale oggetto, e che hanno anche presenti le opposizioni più complete a tale riguardo. Inoltre, poiché la definizione primitiva di ciascuna figura non era evidentemente scelto con questa condizione in vista, è chiaro che non dobbiamo aspettarci, in generale, per trovare il più adatto; donde risulta la necessità di altri scoperta, che è, di studiare per quanto possibile le proprietà della figura proposto. Supponiamo, per esempio, che il cerchio è definito come "la curva che, con lo stesso profilo, contiene la più grande area." Questa è certamente una struttura molto caratteristica, ma ci sarebbe evidentemente trovare difficoltà insormontabili nel cercare di dedurre da tale punto di partenza della soluzione delle questioni fondamentali relative alla rettifica o alla quadratura di questa curva. È chiaro, in anticipo, che la proprietà di avere tutti i suoi punti equidistanti da un punto fisso deve evidentemente essere meglio adattata alle richieste di questo tipo, anche se non sia proprio il più adatto. In maniera simile, sarebbe Archimede mai potuto scoprire la quadratura della parabola se avesse conosciuto altra struttura di quella curva da quella che era la sezione di un cono a base circolare, da un piano parallelo al suo generatrice? Le fatiche puramente speculativi di geometri precedenti, a trasformare questa prima definizione, erano evidentemente preliminari indispensabili alla soluzione diretta di una simile domanda. Lo stesso vale, in misura ancora maggiore, rispetto alle superfici. Per formare una giusta idea di questo, abbiamo bisogno solo confrontare, per quanto riguarda la domanda di cubatura o di quadratura, la definizione comune di sfera con quella, non meno caratteristica certamente, che consisterebbe nel considerare un corpo sferico, come quella che , con la stessa area, contiene il maggior volume.



Non sono necessari altri esempi per mostrare la necessità di conoscere, per quanto possibile, tutte le proprietà di ogni linea o di ogni superficie, al fine di facilitare la ricerca di rettifiche, di quadrature, e di cubature, che costituisce l'oggetto finale di geometria. Si può anche dire che la principale difficoltà di domande di questo tipo consiste nell'impiego in ogni caso la proprietà che


N



è meglio adattato alla natura del problema proposto. Così, mentre si continua ad indicare, per una maggiore precisione, la misura della estensione come destinazione generale di geometria, questa prima considerazione, che va al fondo del soggetto, mostra chiaramente la necessità di includervi studio, il più preciso possibile, delle diverse generazioni o definizioni appartenenti alla stessa forma.

2. Per passare dalla il calcestruzzo per la Priorità. A seconda considerazione, di almeno pari importanza, consiste in un tale studio sia indispensabile per organizzare in modo razionale il rapporto di astratto al concreto in geometria.

La scienza della geometria di dover prendere in considerazione tutte le figure immaginabili che ammettono di una definizione esatta, che necessariamente ne deriva, come abbiamo notato, che le questioni relative a tutte le cifre presentate dalla natura sono sempre implicitamente comprese nella presente geometria astratta, suppone di avere raggiunto la sua perfezione. Ma quando è necessario passare realmente alla geometria concreta, abbiamo costantemente incontriamo con una difficoltà fondamentale, quello di sapere a quale dei diversi tipi astratti siamo di riferimento, con sufficiente approssimazione, le linee reali o superfici che dobbiamo studiare. Ora è allo scopo di stabilire una tale relazione che è particolarmente indispensabile conoscere il maggior numero possibile di proprietà di ogni figura considerate in geometria.

Infatti, se ci siamo sempre confinato alla definizione unica primitiva di una linea o di una superficie, supponendo anche che potremmo poi misurare esso (che, secondo il primo ordine di considerazioni, sarebbe generalmente impossibile), questa conoscenza rimarrebbe quasi necess * riamente sterile nella domanda, dal momento che non devono essere formulate saper riconoscere quella figura in natura, quando si è presentata lì; assicurare che, sarebbe necessario che la sola caratteristica, secondo cui geometri aveva concepito, dovrebbe essere proprio quella la cui verifica circostanze esterne ammetterebbe: una coincidenza che sarebbe del tutto casuale, e che non potevamo contare, anche se potrebbe a volte avvenire. È, quindi, solo moltiplicando il più possibile le caratteristiche proprie di ciascuna figura astratta, che possiamo essere certi, in anticipo, di riconoscere nello stato concreta, e di trasformando così conto di tutte le nostre fatiche razionali, verificando in ogni caso la definizione che è suscettibile di essere direttamente provato. Questa definizione è quasi sempre l'unico in determinate circostanze, e varia, invece, per la stessa figura, con diverse circostanze; una doppia ragione per la sua determinazione precedente.



Illustrazione : Orbite di i . Pianeti La geometria dei cieli ci fornisce un esempio molto memorabile in questa materia, ben si adatta a mostrare la necessità generale di tale studio. Sappiamo che l'ellisse è stato scoperto da Keplero per essere la curva che i pianeti descrivono attorno al sole, ei satelliti sui loro pianeti. Ora sarebbe questa scoperta fondamentale, che ricreato astronomia, mai stato possibile, se geometri stati sempre limitati a concepire l'ellisse solo come sezione obliqua di un cono circolare con un piano? N tale definizione, è evidente, sarebbe ammettere di tale verifica. La proprietà più generale della dell'ellisse, che la somma delle distanze da qualsiasi dei suoi punti di due punti fissi è una quantità costante, è indubbio ly molto più sensibili, per sua natura, di provocare la curva di essere riconosciuto in questo caso, ma ancora non è direttamente adatta. L'unica caratteristica che può qui essere immediatamente verificato è quello che è derivato dalla relazione che esiste in dell'ellisse tra la lunghezza delle distanze focali e la loro direzione; l'unica relazione che ammette di un'interpretazione astronomica, come esprime la legge che collega la distanza dal pianeta al sole, con il tempo trascorso dall'inizio della sua rivoluzione. E 'stato, quindi, necessario che i lavori puramente speculativi dei geometri greci sulle proprietà delle sezioni coniche dovrebbero hanno già presentato la loro generazione sotto una moltitudine di diversi punti di vista, prima di Keplero potrebbe così passare dal al concreto, in scegliendo tra tutte queste caratteristiche diverse che uno che potrebbe essere più facilmente provata per le orbite planetarie.


UN



Illustrazione : Figura del la Terra. Un altro esempio del medesimo ordine, ma relativa ad superfici, avviene nel considerare la questione importante della figura della terra. Se avessimo mai conosciuto qualsiasi altra proprietà della sfera rispetto al suo carattere primitivo di avere tutti i suoi punti equidistanti da un punto interno, come avremmo mai stati in grado di scoprire che la superficie della terra era sferica? Per questo, è stato necessario precedenza dedurre da questa definizione della sfera alcune proprietà capaci di essere verificata da osservazioni fatte sulla sola superficie, come il rapporto costante che esiste tra la lunghezza della traiettoria percorsa in direzione di qualsiasi meridiano di una sfera andando verso un palo, e l'altezza angolare di questo polo sopra l'orizzonte in ogni punto. Un altro esempio, ma coinvolge un molto più lungo



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













serie di speculazioni preliminari, è la prova successiva che la terra non è rigorosamente sferica, ma che la sua forma è quella di un ellissoide di rivoluzione.

Dopo tali esempi, sarebbe inutile dare tutti gli altri, che qualunque inoltre può facilmente moltiplicarsi. Tutti di loro dimostrano che, senza una conoscenza molto estesa delle differenti proprietà di ciascuna figura, la relazione di astratto al concreto, in geometria, sarebbe puramente casuale, e che il soience sarebbe quindi voglio uno dei suoi fondamenti più essenziali.

Questa, dunque, sono due considerazioni generali che dimostrano pienamente la necessità di introdurre nella geometria di un gran numero di indagini che non hanno la mis mi- di estensione per il loro oggetto diretto; mentre si continua, tuttavia, a concepire un tale misura come la destinazione finale di ogni scienza geometrica. In questo modo siamo in grado di mantenere i vantaggi filosofiche della la chiarezza e la precisione di questa definizione, e ancora includere in esso, in maniera indiretta, molto logico, però, tutte le note ricerche geometriche, nel considerare quelle che non sembrano riferiscono alla misura di estensione, come previsto sia per preparare la soluzione di questioni finali, o per rendere possibile l'applicazione delle soluzioni ottenute.

Avendo così riconosciuta, come principio generale, il collegamento stretta e necessaria di studio delle proprietà di linee e superfici con quelle ricerche che costituiscono l'oggetto finale della geometria, è evidente che geometri, nel corso del loro lavoro, devono by nessun modo limitano se stessi per mantenere un tale legame sempre in vista. Sapendo, una volta per tutte, quanto sia importante è quello di variare il più possibile le modalità di concepire ogni figura, essi dovrebbero perseguire tale studio, senza considerare di quello che uso immediato tale o una proprietà così speciale può essere per rettifiche, quadratura, e cubature . Avrebbero inutilmente incatenare le loro richieste ed accompagnato da una importanza puerile per la continua creazione di tale coordinamento.



Questa esposizione generale di scopo generale della geometria è tanto più indispensabile in quanto, per la natura stessa del soggetto, questo studio delle diverse proprietà di ogni linea e di ciascuna superficie compone necessariamente di gran lunga la maggior parte del corpo intero di ricerche geometriche. In effetti, le questioni relative direttamente a rettifiche, a quadrature, e di cubature, sono evidentemente, di per sé, molto pochi in numero per ogni figura considerato. D'altra parte, lo studio delle proprietà della stessa figura presenta un campo illimitato all'attività della mente umana, in cui può sempre sperare di fare nuove scoperte. Così, anche se geometri si sono occupati per venti secoli, con attività più o meno senza dubbio, ma senza alcuna interruzione reale, nello studio delle sezioni Conio, sono lontani dal ritenere che così semplice soggetto come esaurimento; ed è certo, infatti, che nel continuare a dedicarsi ad essa, che non avrebbe mancato di trovare ancora sconosciute proprietà di queste diverse curve. Se fatiche di questo tipo hanno rallentato considerevolmente per un secolo passato, non è perché non sono stati completati, ma solo, come verrà attualmente spiegato, perché la rivoluzione filosofica in geometria, causata da Cartesio, ha singolarmente diminuito l'importanza di tali ricerche .

Risulta dalle considerazioni precedenti che non solo è il campo della geometria necessariamente infinita a causa della varietà di figure da considerare, ma anche in virtù della diversità dei punti di vista sotto la stessa figura può essere considerato. Quest'ultima concezione è, infatti, ciò che dà l'idea più ampia e completa di tutto il corpo di ricerche geometriche. Vediamo che studi di questo tipo consistono essenzialmente, per ogni linea o per ogni superficie, nel collegare tutti i fenomeni geometriche che può presentare, con un unico fenomeno fondamentale, considerata la definizione primitiva.



I due metodi GENERALI DELLA GEOMETRIA.

Avendo ora spiegata in modo generale e ma precisa l'oggetto finale della geometria e mostrato come la scienza, così definito, comprende una vasta classe di ricerche che dapprima non appaiono necessariamente appartenere ad esso, resta da considerare la metodo da seguire per la formazione di questa scienza. Questa discussione è indispensabile per completare questa prima bozza di carattere filosofico della geometria. Io qui mi limiterò a indicare la considerazione più generale, in questa materia, lo sviluppo e riassumendo questa importante idea fondamentale nei seguenti capitoli.

Questioni geometriche possono essere trattati secondo due metodi così diversi, che ne derivano due tipi di geometria, per così dire, il carattere filosofica di che non mi sembra sono ancora stati adeguatamente arrestato. Le espressioni di Synthetical Geometria e analitica Geometria, abitualmente impiegati per designarli, danno una falsa idea di loro. Io preferirei di gran lunga le denominazioni puramente storiche della geometria delle le Antichi e Geometria dei i Moderni, che hanno almeno il vantaggio di non causare loro vera carat ter essere frainteso. Ma io propongo di utilizzare d'ora in poi le espressioni regolari di speciale geometria e Generale Geometria, che mi sembrano adatti a caratterizzare con precisione la vera natura dei due metodi.



La loro fondamentale differenza. La differenza fondamentale tra il modo in cui concepiamo la geometria da Cartesio, e il modo in cui i geometri di antichità trattate questioni geometriche, non è l'uso del del Calcolo (o algebra), come viene comunemente pensato per essere il caso. Da un lato, è certo che l'uso del calcolo non era completamente sconosciuta agli antichi geometri, poiché usati per rendere le applicazioni continue e molto estese della teoria delle proporzioni, che era per loro, come mezzo di deduzione, una sorta di vero e proprio, anche se equivalente molto imperfetta e soprattutto estremamente limitato per la nostra algebra presente. Il calcolo può anche essere impiegato in modo molto più completo di quello che hanno usato, in modo da ottenere alcune soluzioni geometriche, che conservano ancora tutto il carattere essenziale della antica geometria; ciò si verifica molto frequentemente rispetto a quei problemi di geometria di due o di tre dimensioni, che sono comunemente designati con il nome di determinata. D'altra parte, importante è l'influenza del l'oaloulus nella nostra geometria moderna, varie soluzioni ottenute senza algebra volte può manifestare il carattere peculiare che la distingue dalla antica geometria, anche se l'analisi è generalmente indispensabile. Citerò, come esempio, il metodo di Roberval per tangenti, la natura di che è essenzialmente moderna, e che, tuttavia, porta in alcuni casi per completare soluzioni, senza alcun contributo del calcolo. Non è, quindi, lo strumento di detrazione impiegato che è la distinzione principale tra i due corsi che la mente umana può prendere in geometria.



La vera differenza fondamentale, ancora non si arrestato, mi sembra consistere nella natura stessa delle domande considerate. In realtà, la geometria, considerati nel loro complesso, e dovrebbe aver raggiunto tutta la perfezione, deve, come abbiamo visto, da un lato, abbracciare tutte le figure immaginabili, e, dall'altro, scoprire le proprietà di ciascuna figura. Si ammette, da questa doppia considerazione, di essere trattati secondo due piani essenzialmente distinot; o, 1 °, raggruppando tutte le domande, per quanto diversi possano essere, che si riferiscono alla stessa figura, e isolando quelle relative a diversi organismi, qualunque analogia ci può esistere tra di loro; o, 2 °, al contrario, unendo sotto un punto di vista tutte le richieste simili, a qualunque valori diversi che possono riferirsi, e separando le questioni relative alle realmente diverse proprietà del medesimo corpo. In una parola, l'intero corpo di geometria può essere sostanzialmente disposto sia con riferimento agli organismi studiati o per i fenomeni da considerare. Il primo piano, che è la più naturale, è stata quella di antichi; il secondo, infinitamente più razionale, è quella dei moderni dal Cartesio.

Geometria delle le Antichi. Infatti, le caratteristiche principali della antica geometria è che hanno studiato, una per una, le diverse linee e le diverse superfici, non passando per l'esame di una nuova figura fino a che pensavano di aver esaurito tutto quello che c'era interessanti nelle figure già noti. In questo modo di pro



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













procedi-, quando si sono impegnati nello studio di una nuova curva, tutta del del lavoro concessa alle precedenti potrebbe non offrire direttamente assistenza essenziale, diverse dalla pratica geometrica a cui era allenato mente. Qualunque possa essere la somiglianza reale delle domande proposte da due diverse figure, la completa conoscenza acquisite per quello non poteva affatto dispensa riprendendo l'intero di indagini per l'altro. Così il progresso della mente non è mai garantita; in modo che non potevano essere certi, in anticipo, di ottenere qualsiasi soluzione qualunque, tuttavia analogo il problema proposto potrebbe essere di domande che erano stati già risolti. Così, per esempio, la determinazione delle tangenti ai tre sezioni coniche non ha fornito alcun contributo razionale per disegnare la tangente a qualsiasi altra nuova curva, come la concoide, cissoide, & o. In una parola, la geometria di antichi era, secondo l'espressione sopra proposto, essenzialmente speciale.

Geometria dei i Moderni. Nel sistema di moderni, geometria è, al contrario, eminentemente gen rale, vale a dire, legate ad eventuali figure qualunque. È facile capire, in primo luogo, che tutte le espressioni geometriche di interesse possono essere proposti con riferimento a tutte le figure immaginabili. Questo è visto direttamente in problemi-fondamentale delle rettifiche, quadrature, e cubature-che costituiscono, come è stato dimostrato, l'oggetto finale della geometria. Ma questa osservazione non è meno incontrastabile, anche per indagini attinenti alle diverse proprietà di linee e di superfici, e di cui il più essenziale, come la questione di tangenti o dei piani tangenti, la teoria delle curvature, ecc, sono evidentemente comune a tutte le figure qualunque. I pochissimi indagini che siano veramente peculiari figure particolari hanno solo un'importanza estremamente secondario. Questo fermo restando, geometria moderna consiste essenzialmente in astrazione, al fine di trattare da sola, in modo del tutto generale, ogni domanda relativa al medesimo fenomeno geometrico, in qualunque corpi può essere considerato. L'applicazione delle teorie universali così costruito alla speciale determinazione del fenomeno che viene trattato di in ciascun corpo particolare, è ora considerata soltanto un lavoro subalterna, da eseguire secondo regole invariabili, e il successo di cui sia certo anticipo . Questo lavoro è, in una parola, di lo stesso carattere come il calcolo numerico di una formula analitica. Non ci può essere altro merito in esso che quello di presentare in ogni caso la soluzione che è necessariamente fornita dal metodo generale, con tutta la semplicità e l'eleganza che la linea o superficie considerata può ammettere di. Ma nessuna reale importanza è collegata a qualsiasi cosa ma la concezione e la soluzione completa di una nuova domanda appartenenti a qualsiasi figura qualunque. Fatiche di questo tipo sono solo considerati come produrre alcun vero progresso nella scienza. L'attenzione dei geometri, quindi sollevato dall'esame delle peculiarità di diverse figure, e totalmente orientata verso questioni di carattere generale, è stato quindi in grado di elevarsi alla considerazione delle nuove concezioni geometriche, che, applicati alle curve studiate dagli antichi, hanno portato alla scoperta di importanti proprietà che non avevano prima ancora sospetti. Tale è la geometria, dal momento che la rivoluzione radicale prodotta da Cartesio nel sistema generale della scienza.






La superiorità dei della moderna geometria. La semplice indicazione del carattere fondamentale di ciascuna delle due forme geometriche è senz'altro sufficiente a rendere evidente l'immensa superiorità necessaria della geometria moderna. Possiamo anche dire che, prima della grande concezione di Descartes, la geometria razionale non è stata veramente costituita su basi definitive, sia nelle sue relazioni astratte o concrete. Infatti, per quanto riguarda la scienza, considerato speculativo, è chiaro che, nel continuare a tempo indeterminato per seguire il corso degli antichi, come hanno fatto i moderni prima di Cartesio, e anche per un po 'di tempo dopo, con l'aggiunta di alcune nuove curve al numero piccolo di quelli che avevano studiato, i progressi in tal modo realizzati, tuttavia rapida si sarebbe potuto, sarebbe ancora trovato, dopo una lunga serie di età, di essere molto trascurabile rispetto al sistema generale di geometria, vedere l'infinita varietà di la forme che sarebbero ancora rimaste da studiare. Al contrario, ad ogni domanda risolto secondo il metodo dei moderni, il numero di problemi geometrici da risolvere è quindi, una volta per tutte, diminuita da tanto rispetto a tutti i corpi possibili. Un'altra considerazione è, che ha portato, dal loro completa mancanza di metodi generali, che gli antichi geometri, in tutte le loro indagini, sono stati del tutto abbandonati alla loro propria forza, senza mai avere la certezza di ottenere, prima o poi, qualsiasi soluzione qualunque. Anche se questa imperfezione della scienza era particolarmente adatto a suscitare tutta la loro sagacia ammirevole, è reso necessariamente i loro progressi estremamente lento; possiamo formare un'idea di questo per il tempo considerevole che hanno impiegato nello studio delle sezioni coniche. Geometria moderna, rendendo il prog ress della nostra mente certo, ci permette, al contrario, di fare il massimo uso possibile delle forze della nostra intelligenza, che gli antichi erano spesso costretti a sprecare su questioni molto importanti.



Una differenza non meno importante tra i due sistemi appare quando si arriva a considerare la geometria nel concreto punto di vista. Infatti, abbiamo già osservato che il rapporto di astratto al concreto in geometria può essere fondata su basi razionali solo in quanto le indagini sono in grado di sopportare direttamente su tutte le figure immaginabili. In linee studiano, solo uno per uno, qualunque sia il numero, sempre necessariamente molto piccola, di quelle che avremo considerato, l'applicazione di tali teorie a personaggi realmente esistenti in natura non potrà mai avere altro che un carattere essenzialmente accidentali, poiché non vi è nulla per noi assicurare che queste cifre possono davvero essere portati sotto i tipi astratti considerati da geometri.

Così, per esempio, vi è certamente qualcosa fortuita nel rapporto felice stabilito tra le speculazioni dei geometri greci su sezioni coniche e la determinazione dei veri orbite planetarie. Continuando le ricerche geometriche sullo stesso piano, non vi era alcuna buona ragione per sperare in coincidenze simili; e sarebbe stato possibile, in questi studi speciali, che le ricerche di geometri avrebbero dovuto essere diretto verso figure astratte tutto incapaci di qualsiasi applicazione, mentre hanno trascurato altri, suscettibili forse di un'importante applicazione ed immediata. È chiaro, almeno, che nulla garantito positivamente l'applicabilità necessaria di speculazioni geometriche. E 'ben altra cosa nella geometria moderna. Dal singolo circostanza che in essa si procede per questioni di carattere generale relative a eventuali figure qualunque cosa, abbiamo in anticipo la certezza evidente che i dati realmente esistente nel mondo esterno potrebbe in nessun caso sfuggire la teoria appropriata se il fenomeno geometrica che ritiene regali in queste.



Da queste diverse considerazioni, vediamo che l'antico sistema di geometria indossa essenzialmente il carattere del l'infanzia della scienza, che non ha cominciato a diventare completamente razionale fino a dopo la risoluzione filosofica prodotto da Cartesio. Ma è evidente, invece, che la geometria non poteva essere inizialmente concepito non in questo speciale modo. Generale geometria non sarebbe stato possibile, e la sua necessità non poteva anche potuta sentita, se una lunga serie di lavori speciali su le figure più semplici non avevano precedentemente fornito le basi per la concezione di Descartes, e reso evidente l'impossibilità di persistere a tempo indeterminato nel geometrica primitiva filosofia.

L' antica la base della della moderna. Da quest'ultima considerazione si deve dedurre che, anche se la geometria che ho chiamato generale deve essere ora considerato come l'unico vero geometria dogmatico, e quello a cui si deve principalmente limitarci, l'altro non avendo più molto più che un interesse storico, tuttavia non è possibile erogare interamente con speciale geometria un'esposizione razionale della scienza. Noi certamente non c'è bisogno di prendere in prestito direttamente da antica geometria tutti i risultati che ha arredato; ma, dalla natura del soggetto, è necessariamente del tutto impossibile a meno del metodo antico, che sarà sempre servire come base preliminare della scienza



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













matioally così come storicamente. La ragione di questo è facile comprendere. Infatti, in generale geometria essendo essenzialmente fondata, come vedremo stabilire presto, dopo l'impiego del calcolo nella trasformazione di geometrica in considerazioni analitiche, un modo di procedere non può prendere possesso del soggetto immediatamente alla sua origine. Sappiamo che l'applicazione di analisi matematica, dalla sua natura, non può iniziare ogni scienza qualunque, poiché evidentemente non può essere impiegato fino a quando la scienza ha già sufficientemente coltivato stabilire, rispetto ai fenomeni considerati, alcune equazioni che possono servire come punti di partenza per le operazioni analitiche. Queste equazioni fondamentali di essere una volta scoperto, l'analisi ci permetterà di dedurre da loro una moltitudine di conseguenze che sarebbe stato precedentemente impossibile anche a sospettare; sarà perfezionare la scienza in misura immensa, sia rispetto alla generalità dei suoi concetti e la coordinazione completa stabilita tra loro. Ma semplice analisi matematica non potrebbe mai essere sufficiente a formare le basi di ogni scienza naturale, nemmeno per dimostrare loro di nuovo quando sono stati stabiliti una volta. Nulla può dispensare lo studio diretto del soggetto, perseguito fino al punto di scoperta di rapporti precisi.

Abbiamo così vedere che la geometria di antichi avrà sempre, per sua natura, una parte primaria, assolutamente necessario e più o meno estesa, nel sistema completo di conoscenze geometriche. Esso costituisce un'introduzione rigorosamente indispensabile generale geometria. Ma è per questo che deve essere limitato in una esposizione completamente dogmatica. Prenderò in considerazione, poi, direttamente, nel capitolo seguente, questo speciale o preliminare geometria limitato a esattamente i limiti necessari, al fine di occuparmi allora in poi solo con l'esame filosofica di generale o definitiva la geometria, l'unico che è veramente razionale, e che attualmente compone essenzialmente la scienza.

[grafico]






CAPITOLO II.

GEOMETRIA ANTICA o sintetiche.

Il metodo geometrico di antichi necessariamente costituiscono un reparto preliminare nel sistema dogmatico di geometria, pensato per arredare generale geometria con basi indispensabili, è ora corretta per cominciare determinare in cosa consiste rigorosamente questa funzione preliminare di speciale geometria, così ridotto al più stretto limiti del possibile.

La sua estensione CORRETTA.

Linee ; poligoni ; . Poliedri Nel considerare sotto questo punto di vista, è facile riconoscere che potremmo limitarla allo studio della linea di destra solo per quanto riguarda la geometria delle linee, alla quadratura di zone piane rettilinee; e, infine, la cubatura di organismi terminati da facce piane. Le proposizioni elementari di queste tre domande fondamentali costituiscono, infatti, il necessario punto di partenza di tutte le richieste geometriche; essi soli non possono essere ottenuti se non da uno studio diretta del soggetto; mentre, al contrario, la teoria completa di tutte le altre figure, anche quella del cerchio e di superfici e volumi che sono collegati ad esso, possono a oggi completamente compreso nel dominio del generale o analitica geometria; questi elementi primitivi struttura arredo volta equazioni che sono sufficienti per consentire di applicazione del calcolo per questioni geometriche, che non sarebbe stato possibile senza questa condizione precedente.

[grafico]



Risulta da questa considerazione che, in pratica comune, diamo alle elementari geometria più misura di quanto sarebbe necessario rigorosamente ad esso; dal momento che, oltre al diritto di linea, poligoni e poliedri, includiamo anche in essa il cerchio e gli organi "giro"; lo studio dei quali potrebbe, tuttavia, essere puramente analitica che, per esempio, delle sezioni Conio. Una venerazione irriflessivo per l'antico contribuisce a mantenere questo difetto di metodo; ma il motivo migliore che può essere dato perché è l'inconveniente grave per l'istruzione ordinaria che ci sarebbe stato il rinvio, per così lontana un'epoca di formazione matematica, la soluzione di diverse questioni essenziali, che sono suscettibili di un'applicazione diretta e continua a un gran numero di usi importanti. Infatti, procedere nel modo più razionale, dovremmo impiegare il calcolo integrale ad ottenere i risultati interessanti relativi alla lunghezza o l'area del cerchio, o per la quadratura della sfera, ecc, che sono stati determinati dagli antichi da considerazioni estremamente semplici. Questo inconveniente sarebbe di poca importanza per le persone destinate a studiare l'intero della scienza matematica, e il vantaggio di procedere in un ordine logico perfettamente avrebbe un maggiore valore comparativo. Ma il caso contrario è il più frequente, le teorie così essenziali sono necessariamente state mantenute in geometria elementare. Forse sezioni Conio, la cicloide, e C, possono essere vantaggiosamente aggiunti in queste oasi.

Non per essere più limitata. Mentre questa porzione preliminare di geometria, che non può essere fondato sul ap plicazione di calcolo, si riduce per sua natura ad una serie molto limitata di ricerche fondamentali, relativa all'apertura di destra, aree poligonali, e poliedri , è certo, invece, che non possiamo limitarla più; anche se, da un vero e proprio abuso di spirito di analisi, è stato recentemente tentato di presentare l'istituzione dei principali teoremi di geometria elementare sotto un punto algebrica di vista. Così alcuni hanno finto di dimostrare, mediante semplici considerazioni astratte di analisi matematica, la costante relazione esistente tra i tre angoli di un triangolo rettilinea, la proposizione fondamentale della teoria dei triangoli simili, che di parallelopipedons, ecc .; in una parola, appunto le uniche proposizioni geometriche che non possono essere ottenuti se non da uno studio diretta del soggetto, senza calcolo essendo suscettibile di avere alcuna parte. Tali aberrazioni sono le esagerazioni irriflessivo di tale tendenza naturale e filosofica che ci porta ad estendere sempre più l'influenza di analisi studi matematici. Nella meccanica, le dimostrazioni analitiche pretesi del parallelogramma di forze sono di carattere analogo.



La cattiveria di modo di procedere dai principi precedentemente presentati. Abbiamo già infatti riconosciuto che, poiché il calcolo non è, e non può essere qualsiasi cosa ma un mezzo di deduzione, indicherebbe un radicalmente falsa idea di esso voler impiegarlo per stabilire le basi elementari di ogni scienza qualunque cosa; per su quello che i ragionamenti di analisi in una simile quiete operazione? Un lavoro di questo tipo, molto lontano dalla realtà perfezionare il carattere filosofica di una scienza, costituirebbe un ritorno verso



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













l'età metafisica, nel presentare i fatti reali come semplici astrazioni logiche.

Quando esaminiamo in sé queste dimostrazioni analitiche pretese di proposizioni fondamentali della geometria elementare, abbiamo facilmente verificare la loro mancanza necessaria di significato. Essi sono tutti fondati su una maniera vizioso di concepire il principio di omogeneità, la vera idea generale di cui è stato spiegato nel secondo capitolo del libro precedente. Queste dimostrazioni suppongono che questo principio DCE non ci permettono di ammettere la ccexistence nella stessa equazione di numeri ottenuti da diversi paragoni concreti, che è evidentemente falsa, e in contrasto con la pratica costante di geometri. Così è facile riconoscere che, impiegando la legge di omogeneità questa accezione arbitrario e illegittimo, che riusciva a "dimostrazione", con abbastanza tanto rigore apparente, proposizioni la cui assurdità è evidente al primo sguardo. Esaminando attentamente, per esempio, il procedimento con l'aiuto del quale si è cercato di dimostrare analiticamente che la somma dei tre angoli di un triangolo rettilinea è costantemente uguale a due angoli retti, vediamo che essa si basa su questo principio preliminare che, se due triangoli hanno due dei loro angoli rispettivamente uguali, il terzo angolo di quella sarà necessariamente pari alla terza angolazione di altro. Questo primo punto viene concessa, la relazione proposta è immediatamente deducibile da essa in maniera molto precisa e semplice. Ora la considerazione analitica che questa proposta precedente è cercato di stabilire, è di natura tale che, se potesse essere corretto, potremmo rigorosamente dedurre da esso, in riprodurlo contrario, questa assurdità palpabile, che due lati di un tri angolo sono sufficienti, senza qualsiasi angolazione, per tutta la determinazione del terzo lato. Possiamo fare osservazioni analoghe su tutte le manifestazioni di questo genere, i sofismi di che sarà quindi verificate in modo perfettamente apparente.



Il motivo più che abbiamo qui a considerare la geometria come al giorno d'oggi essenzialmente analitico, tanto più necessario era a guardia contro questa esagerazione abusiva di analisi matematica, in base al quale tutte le osservazioni geometrica sarebbe fare a meno, per stabilire su puro algebraical astrazioni i fondamenti di questa scienza naturale.

Tentativi di dimostrazioni di Assiomi, SFC. Un'altra indicazione che geometri sono troppo trascurato il carattere di una scienza naturale, che è necessariamente insito nella geometria, appare dalle loro vani tentativi, così a lungo fatto, per dimostrare con rigore, non con l'aiuto di calcolo, ma per mezzo di alcune costruzioni, varie proposte fondamentali di geometria elementare. Qualunque possa essere effettuata, sarà evidentemente impossibile evitare volte ricorrenti all'osservazione semplice e diretto in geometria come mezzo di stabilire vari risultati. Mentre, in questa scienza, i fenomeni considerati sono, in virtù della loro estrema semplicità, molto più strettamente collegata tra loro da quelle relative a qualsiasi altro scienza fisica, alcuni devono ancora trovare che non può essere dedotta, e che, al contrario, servire come punto di partenza. Si può ammettere che il più grande perfezione logica della scienza è quello di ridurre questi per il minor numero possibile, ma sarebbe assurdo pretendere di farli sparire completamente. I confesso inoltre che trovo meno inconvenienti reali in estendentesi, poco oltre quello che sarebbe strettamente necessario, il numero di questi concetti geometrici così stabiliti mediante osservazione diretta, a condizione che siano sufficientemente semplici, rispetto rendendoli soggetti di complicate e dimostrazioni indirette, anche quando queste manifestazioni possono essere logicamente ineccepibile.



La vera destinazione dogmatica della geometria degli antichi, ridotto ai suoi minimi sviluppi indispensabili possibili, essendo stato quindi caratterizzato il più esattamente possibile, è giusto considerare sommariamente ciascuna delle parti principali di cui deve essere composta. Credo che io qui mi limiterò a considerare la prima e la più ampia di queste parti, quella che ha per oggetto lo studio della la giusta linea , le altre due sezioni, vale a dire, la quadratura di poligoni e la cubatura di poliedri, dalla loro misura limitata, non essendo in grado di dare luogo ad alcuna considerazione filosofica di qualche importanza, distinto da quelli indicati nel capitolo precedente rispetto alla misura di aree e di volumi in generale.

GEOMETRIA DELLA la linea giusta.

La domanda finale che abbiamo sempre in vista nello studio della linea di destra, consiste propriamente nel determinare, per mezzo di uno dall'altro, i diversi elementi di qualsiasi figura destro allineato qualunque; che ci permette sempre di conoscere indirettamente la lunghezza e la posizione di una linea di diritto, in qualsiasi circostanza, può essere collocato. Questo problema fondamentale è suscettibile di due soluzioni generali, la natura dei quali è ben distinta, quella grafica, l'altro algebrico. La prima, anche se molto imperfetta, è quella che deve essere prima considerato, perché è spontaneamente derivato dallo studio diretta del soggetto; il secondo, più perfetta nelle aspetti più importanti, non può essere studiato sino seguito, perché si fonda sulla conoscenza del all'altra.



Soluzioni grafiche.

La soluzione grafica consiste nel costruire sarà la figura proposto, sia con le stesse dimensioni, o, più generalmente, con dimensioni modificate in qualsiasi rapporto qualunque. Il primo modo sufficiente menzionato come il più semplice e quello che prima si verifica alla mente, poiché è evidente, per sua natura, quasi tutto incapace di applicazione. La seconda è, invece, suscettibile di essere più ampiamente e più utilmente applicata. Abbiamo ancora fare un uso importante e continuo di esso al giorno d'oggi, non solo per rappresentare con precisione le forme di corpi e la loro posizione relativa, ma anche per l'effettiva determinazione delle grandezze geometriche, quando non abbiamo bisogno di grande precisione. Gli antichi, a seguito del l'imperfezione della loro conoscenza geometrica, impiegate questa procedura in maniera molto più ampia, dal momento che è stato per lungo tempo l'unico che potrebbe applicarsi, anche nelle più importanti determinazioni precise. Fu così, ad esempio, che Aristarco di Samo stima della distanza relativa dal sole e dalla luna alla terra, effettuando misurazioni su un triangolo costruito come esattamente possibile, in modo da essere simile al triangolo rettangolo formato dai tre corpi nell'istante in cui la luna è in quadratura, e quando un'osservazione del l'angolo di terra di conseguenza, sarebbe sufficiente a definire il triangolo. Stesso Archimede, anche se è stato il primo ad introdurre le determinazioni calcolate in geometria, più volte impiegato mezzi simili. La formazione di trigonometria non ha causato questo metodo per abbandonare del tutto, sebbene diminuito notevolmente il suo utilizzo; i greci e gli arabi hanno continuato a impiegarlo per un gran numero di ricerche, in cui ora consideriamo l'utilizzo del calcolo indispensabile.

[grafico]



Questo esatta riproduzione di qualsiasi figura qualsiasi in scala diversa non può presentare grandi difficoltà teorica quando tutte le parti della figura proposto giacciono nello stesso piano. Ma se supponiamo, come accade più frequentemente, che sono situati su piani diversi, si vede, quindi, un nuovo ordine di considerazioni geometriche sorgere. La figura artificiale, che è costantemente aereo, non essendo in grado, in tal caso, di essere perfettamente fedele immagine della figura reale, è necessario preventivamente fissare con precisione la modalità di rappresentazione, che dà luogo a diversi sistemi di proiezione.

Resta quindi da stabilire in base alle quali leggi i fenomeni di funzionamento corrispondono nelle due figure. Questa considerazione genera una nuova serie di indagini geometriche, l'oggetto finale di cui è propriamente per scoprire come possiamo sostituire le costruzioni in rilievo da costruzioni piane. Gli antichi avevano per risolvere alcune domande elementari di questo tipo per i vari casi in cui ci impieghiamo trigonometria sferica, principalmente per i diversi problemi relativi alla sfera celeste. Tale era l'oggetto delle loro analemmas, e delle altre figure piane che per lungo tempo fornito il luogo di calcolo. Vediamo da questo che la



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













antichi sapevano davvero gli elementi di ciò che noi oggi chiamiamo descrittiva geometria, anche se essi non concepiscono in maniera distinta e generale.

Credo che sia corretto brevemente indicare in questo luogo il vero carattere filosofica di questo "Geometria descrittiva;" anche se, essendo essenzialmente una scienza di applicazione, essa non dovrebbe essere incluso all'interno del dominio proprio di questo lavoro.

GEOMETRIA descrittivo.

Tutte le domande di geometria delle tre dimensioni necessariamente danno luogo, se si considera la loro soluzione grafica, ad una difficoltà comune che è peculiare di loro; che di sostituzione per le diverse costruzioni in rilievo, che sono necessarie per risolvere direttamente, e che è quasi sempre impossibile eseguire, semplici costruzioni piano equivalente, per mezzo del quale finalmente ottenere gli stessi risultati. Senza questa trasformazione indispensabile, ogni soluzione di questo tipo sarebbe evidentemente incompleta e davvero inapplicabili in pratica, anche se teoricamente le costruzioni nello spazio sono generalmente preferibili come più diretta. Era per arredare mezzo generale per effettuare sempre tale trasformazione che descrittive geometria è stata creata e formata in un sistema distinto e omogenea, dalla illustre Monge. Ha inventato, in primo luogo, un metodo uniforme di rappresentare corpi da figure tracciata su un unico piano, con l'aiuto delle proiezioni su due piani diversi, generalmente perpendicolari tra loro, e uno dei quali si suppone ruotare attorno loro intersezione comune in modo da coincidere con l'altra prodotta; in questo sistema, o in qualsiasi altro equivalente ad esso, è sufficiente considerare punti e linee come determinato dalle loro proiezioni e superfici dalle proiezioni delle loro generatrici. Questa viene stabilita, Monge-analisi con profonda sagacia i vari lavori parziali di questo tipo che era stato prima eseguito da un certo numero di procedure inconguous, e considerando anche, in modo generale e diretto, in quanto tutte le domande di questa natura devono consist- hanno trovato che potrebbero sempre essere ridotte ad un numero molto piccolo di invariabili problemi astratti, in grado di essere risolti separatamente, una volta per tutte, mediante operazioni uniformi, relativi essenzialmente alcuni per i contatti e altri alle intersezioni di superfici. Metodi semplici e del tutto generali per la soluzione grafica di questi due ordini di problemi essendo state formate, tutte le questioni geometriche che possono sorgere in una qualsiasi delle varie arti di costruzione-pietra-taglio, carpenteria, prospettiva, composizione, fortifioation, e c-CAN ormai essere trattati come semplici casi particolari di una singola teoria, l'applicazione invariabile di cui sarà sempre necessariamente portare ad una soluzione esatta, che può essere facilitato in pratica beneficiare delle circostanze peculiari di ciascun caso.

[grafico]



Questa creazione importante merita in un notevole grado di fissare l'attenzione di quei filosofi che considerano tutto ciò che la specie umana ha ancora effettuato come primo passo, e finora il solo e davvero completa, verso quel rinnovamento generale delle fatiche umane, che deve imprimere tutti i nostri arti un carattere di precisione e di razionalità, così necessarie per il loro futuro progresso. Tale rivoluzione deve, infatti, inizia inevitabilmente con quella classe di lavori industriali, che è essenzialmente connessa con quella scienza che è la più semplice, la più perfetta, e il più antico. Esso non può non estendersi seguito, anche se con minore facilità, a tutte le altre operazioni pratiche. Infatti Monge stesso, che ha concepito la vera filosofia delle arti meglio di chiunque altro, ha cercato di delineare un sistema corrispondente per le arti meccaniche.



Essenziale come la concezione della geometria descrittiva è davvero, è molto importante non ingannare noi stessi rispetto alla sua vera destinazione, così come coloro che, nella concitazione della sua prima scoperta, ha visto in esso un mezzo di ampliare il dominio generale e astratto di geometria razionale. Il risultato non ha in alcun modo risposto a queste speranze sbagliate. E, in effetti, non è evidente che la geometria descrittiva ha valore speciale tranne quanto scienza di applicazione e come formanti la vera teoria speciale delle arti geometriche? Considerata nelle sue relazioni astratte, non potrebbe introdurre un ordine veramente distinta di speculazioni geometriche. Non dobbiamo dimenticare che, in modo che una domanda geometrico dovrebbero rientrare nel particolare dominio di geometria descrittiva, deve necessariamente essere stata precedentemente risolto dalla geometria speculativa, le soluzioni di che poi, come abbiamo visto, sempre bisogno di essere preparati per pratica in modo tale da fornire il luogo delle costruzioni in rilievo di costruzioni aereo; un cambio che costituisce davvero l'unica funzione caratteristica di geometria descrittiva.

Occorre, tuttavia, qui rimarcare che, per quanto riguarda la formazione intellettuale, lo studio della geometria descrittiva possiede un importante peculiarità filosofica, del tutto indipendente della sua elevata industriale di utilità. Questo è il vantaggio che offre in habitu così preminentemente dall'uso della mente di prendere in considerazione le combinazioni geometriche molto complesse nello spazio, e di seguire con precisione la loro corrispondenza continua con le figure che sono in realtà tracciati -Di esercitando così al massimo, in il più sicuro e preciso modo, così importante facoltà della mente umana, che è propriamente chiamato "immaginazione", e che consiste, nella sua accezione elementare e positivo, nel rappresentare a noi stessi, in modo chiaro e facilmente, una vasta e variabile collezione di oggetti ideali , come se fossero realmente dinanzi a noi.



Infine, per completare l'indicazione delle caratteristiche generali della geometria descrittiva determinandone il carattere logico, dobbiamo osservare che, mentre appartiene alla geometria di antichi dal carattere di soluzioni, dall'altro si avvicina la geometria di i moderni per la natura delle domande che compongono. Queste domande sono infatti eminentemente notevole per quel generalità che, come abbiamo visto nel capitolo precedente, costituisce il vero carattere fondamentale della geometria moderna; per i metodi utilizzati sono sempre concepiti come applicabile alle cifre qualsiasi, la peculiarità di ciascuno con soltanto un'influenza puramente secondario. Le soluzioni di geometria descrittiva sono poi grafica, come la maggior parte di quelli di antichi, e allo stesso tempo generale, come quelli dei moderni.

Dopo questa importante digressione, si proseguirà l'esame filosofica di speciale geometria, sempre considerato come ridotto al suo sviluppo meno possibile, come introduzione indispensabile generale geometria. Abbiamo ora considerato sufficientemente la grafica soluzione del problema fondamentale relativo alla linea destra -cioè, la determinazione dei diversi elementi di qualsiasi figura destro allineato mediante di un l'altro e sono ora ad esaminare in modo speciale il algebrico soluzione.

[grafico]



SOLUZIONI algebriche.

Questo tipo di soluzione, la superiorità evidente di che non devono qui essere abitavate, appartiene necessariamente, per la natura stessa della domanda, al sistema di antica geometria, sebbene il metodo logico che viene impiegato fa essere generalmente, ma molto impropriamente, separata da esso. Abbiamo così la possibilità di verificare, in un rispetto molto importante, quanto stabilito generalmente nel capitolo precedente, che non è dall'impiego di calcolo che la geometria moderna è essenzialmente distinta dalla antica. Gli antichi sono infatti i veri inventori della presente trigonometria sferica e rettilinea; essendo solo molto meno perfetto nelle loro mani, a causa della estrema inferiorità della loro conoscenza algebrico. E ', dunque, proprio in questo capitolo, e non, come potrebbe in un primo momento essere pensato, in quelli che vedremo in seguito dedicare all'esame filosofica del genere geometria, che è corretto considerare il carattere di questa importante teoria preliminare, che di solito è, anche se in modo non corretto, incluso in quello che viene chiamato analitica geometria, ma che in realtà è solo un complemento di elementare geometria propriamente detta.

Dal momento che tutte le figure di destra-allineati possono essere scomposti in triangoli, è evidentemente sufficiente sapere come determinare i diversi elementi di un triangolo per mezzo di uno con l'altro, che riduce polygonometry a semplice trig onometry.
«Indietro Continua»



















«Indietro Continua»



















«Indietro Continua»




































«Indietro Continua»



















«Indietro Continua»



















«Indietro Continua»



















«Indietro Continua»





















.
«Indietro Continua»


















Filosofia della matesixFilosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













che è, al contrario, la caratteristica principale della nostra analisi trascendente. In una parola, restava ancora il compito di generalizzare i concetti utilizzati dagli antichi, e, più in particolare, considerando in modo puramente astratto, di ridurre ad un sistema completo di calcolo, che per loro era impossibile.

La prima idea che è stato prodotto in questa nuova direzione risale al grande geometra Fermat, quale Lagrange ha giustamente presentato come aver bloccato la formazione diretta di analisi trascendente dal suo metodo per la determinazione di massimi e minimi, e per il reperimento di tangenti, che consisteva essenzialmente nell'introdurre considerazione ausiliario di incrementi correlative delle variabili proposti, incrementi dopo soppressi pari a zero quando le equazioni avevano subito alcune opportune trasformazioni. Ma, anche se Fermat è stato il primo a concepire questa analisi in modo veramente astratta, era ancora lontano dall'essere formata regolarmente in un calcolo generale e distinto con la propria notazione, e soprattutto liberato dalla superflucus considerazione dei termini che, nell'analisi di Fermat, non sono stati infine presi in conto, dopo aver tuttavia notevolmente complicati tutte le operazioni con la loro presenza. Questo è ciò che Leibniz così felicemente eseguito, mezzo secolo più tardi, dopo alcune modifiche intermedie delle idee di Fermat introdotte da Wallis, e ancora di più di Barrow; e lui è stato quindi il vero creatore di analisi trascendente, come ad esempio che oggi impieghiamo esso. Questa scoperta ammirevole era così maturo (come tutte le grandi concezioni del dell'intelletto umano al momento della loro manifestazione), che Newton, dal canto suo, era arrivato, allo stesso tempo, o poco prima, ad un metodo esattamente equivalente, considerando questa analisi in un punto molto diverso di vista, che, anche se più logico in sé, è davvero meno atto a dare al metodo fondamentale comune tutta la portata e la funzione che sono stati impartita ad esso dalle idee di Leibnitz. Infine, Lagrange, vengano meno le considerazioni eterogenei che avevano guidato Leibnitz e Newton, è riuscita a ridurre l'analisi trascendente, nella sua massima perfezione, a un sistema puramente algebrico, che vuole solo più attitudine per le sue applicazioni pratiche.



Dopo questo sommario sguardo alla storia generale del dell'analisi trascendente, si procederà alla esposizione dogmatica dei tre concetti principali, al fine di conoscere esattamente le loro proprietà caratteristiche, e di mostrare l'identità necessaria dei metodi che sono là derivati. Cominciamo con quello di Leibnitz.

METODO DI Leibnitz. Infinitamente piccoli elementi. Questo consiste nell'introdurre nel calcolo, al fine di facilitare la creazione di equazioni, gli infinitamente piccoli elementi di cui tutte le quantità, i rapporti tra le quali sono ricercati, sono considerati da comporre. Questi elementi o dif ferentials avranno certe relazioni fra loro, che sono sempre e necessariamente più semplice e facile da scoprire quelli dei quantitativi primitive, e mediante dei quali saranno abilitati (da un calcolo speciale avente per oggetto peculiare l'eliminazione di questi infinitesimi ausiliari) per tornare alle equazioni desiderati, che sarebbe stato più frequentemente impossibile da ottenere direttamente. Questa analisi indiretta può avere diversi gradi di indirectness; per, quando c'è troppa difficoltà nel formare immediatamente l'equazione tra i differenziali di grandezze considerate, una seconda applicazione del medesimo artifizio generale dovrà essere realizzato, e tali differenziali essere trattata, a loro volta, come nuove quantità primitive , e un rapporto ricercato tra loro elementi infinitamente piccoli (che, con riferimento agli oggetti finali della questione, sarà secondo differenziali), e così via; la stessa trasformazione ammettendo di essere ripetuto un numero di volte, a condizione di fine eliminando il numero sempre crescente di quantità infinitesimali introdotte come ausiliari.



Una persona non ancora familiarità con queste considerazioni non percepisce immediatamente come l'impiego di queste quantità ausiliari possono facilitare la scoperta delle leggi di analisi di fenomeni; per i infinitamente piccoli incrementi di grandezze previste sono delle stesse specie con loro, sembrerebbe che le loro relazioni non devono essere ottenuti con più facilità, in quanto il valore maggiore o minore di un quantitativo non può, infatti, esercitare alcuna influenza sulla un'indagine che è necessariamente indipendenti, per sua natura, di ogni idea di valore. Ma è facile, tuttavia, per spiegare molto chiaramente, e in modo del tutto generale, quanto la questione deve essere semplificata tale artifizio. A questo scopo, è necessario iniziare distinguere diversi ordini di infinitamente piccole quantità, una precisa idea di ottenibili considerandoli come sia le successive potenze della stessa primitiva infinitamente piccola quantità, o come quantitativi che possono essere considerati come aventi rapporti finiti con questi poteri; di modo che, per fare un esempio, il secondo, terzo, ecc, differenziali di qualsiasi variabile sono classificati come infinitamente piccole quantità di secondo ordine, il terzo, e c, perché è facile da scoprire in loro multipli finiti di secondo, terzo, (kc, poteri di un certo differenziale primo. Queste idee preliminari stanno costituendo, lo spirito della dell'analisi infinitesimale consiste nel trascurare costantemente le quantità infinitamente piccole in confronto con quantità finite, e generalmente i infinitamente piccole quantità di qualsiasi ordine qualunque rispetto con tutti quelli di ordine inferiore. è insieme evidente quanto una tale libertà deve facilitare la formazione delle equazioni tra i differenziali di quantità, poiché, al posto di questi differenziali, possiamo sostituire questi altri elementi come si può scegliere, e come sarà più semplice da considerare, solo avendo cura di conformarsi a questa sola condizione, che i nuovi elementi differiscono dai precedenti solo quantità infinitamente piccole in confronto con loro. È così che sarà possibile, in geometria, per trattare le linee curve come composto di un'infinità di elementi rettilinei, superfici curve come formata di elementi piani, e, in meccanica, movimenti variabili come una serie infinita di moti uniformi, riuscendo uno un altro a infinitamente piccoli intervalli di tempo.



Esempi. Considerando l'importanza di questa concezione ammirevole, penso che dovrei qui per completare l'illustrazione del suo carattere fondamentale dall'indicazione sintesi di alcuni esempi principali.

1. . Tangenti Let It Be necessari per determinare, per ogni punto di una curva piana, l'equazione di cui viene data, la direzione della sua tangente; una domanda la cui soluzione generale era l'oggetto primitivo dei i inventare ors di analisi trascendentale. Considereremo th tangente come secante unisce due punti infinitamente vicini l'uno all'altro; e poi, viene designato per dy e dx infinitamente piccole differenze di coordinate di questi due punti, i principi elementari di geometria saranno sorve



dy diatamente dare l'equazione t = -r- per la trigonometrica

tangente di angolo che è fatta con l'asse delle ascisse la tangente desiderata, essendo questo il modo più semplice di fissare la posizione in un sistema di rettilinei coordinate. Questa equazione, comune a tutte le curve, sia stabilita, la questione si riduce ad un semplice problema analitico, che consisterà nell'eliminare lo infinitesimi dx e dy, che sono stati introdotti come ausiliari, determinando in ciascun caso particolare, per mezzo di equazione della curva proposto, il rapporto di dy per dx, che sarà costantemente fatto da uniforme e metodi molto semplici. 2. Soluzione di un arco. In secondo luogo, supponiamo che vogliamo conoscere la lunghezza di arco di qualsiasi curva, considerata come una funzione delle coordinate di sue estremità. Sarebbe impossibile stabilire un'equazione direttamente THT tra questo arco s e queste coordinate, mentre è facile trovare il rapporto relativo tra i differenziali di queste diverse grandezze. I più semplici teoremi di geometria elementare saranno infatti dare in una sola volta, considerando i infinitamente piccolo arco ds come una linea a destra, le equazioni

ds t = dy t + dx \ o ds i = dx t + dy 1 J R dz t , a seconda che la curva è di curvatura singolo o doppio. In entrambi i casi, la questione è ora interam



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













zione è senza dubbio strettamente sufficiente a dissipare ogni incertezza circa il legittimo impiego di analisi di Leibnitz. Ma il metodo infinitesimale è così importante, che offre ancora, in quasi tutte le sue applicazioni, una superiorità tale pratica negli altri concetti generali che sono stati successivamente proposti, che ci sarebbe stata una vera e propria imperfezione nel carattere filosofico della scienza se si potesse non giustificarsi, e aveva bisogno di essere logicamente fondata su considerazioni di un altro ordine, che sarebbe poi cessa di essere impiegato.

Era, quindi, di estrema importanza per stabilire direttamente e in maniera generale la necessaria razionalità del metodo infinitesimale. Dopo vari tentativi più o meno imperfetta, geometra distinta, Carnot, presentato finalmente la vera spiegazione logica diretta del metodo di Leibnitz, mostrando di essere fondato sul principio della necessaria compensazione di errori, questo essere, infatti, la manifestazione precisa e luminosa di ciò che Leibniz aveva vagamente e confusamente percepito. Carnot ha così reso la scienza un servizio essenziale, anche se, come vedremo verso la fine di questo capitolo, tutto questo impalcature logico del metodo infinitesimo, propriamente detta, è molto probabilmente suscettibile di soli esistenza provvisorio, in quanto è radicalmente vizioso nella sua natura. Tuttavia, non dobbiamo mancare di notare il sistema generale di ragionamento proposto da Carnot, al fine di legittima direttamente all'analisi di Leibnitz. Ecco la sostanza di esso:

Nello stabilire l'equazione differenziale di un fenomeno, sostituiamo, per gli elementi immediati di diverse grandezze considerate, altri infinitesimi più semplici, che differiscono da loro infinitamente piccolo in confronto con loro; e questa sostituzione costituisce l'artificio principale del metodo di Leibnitz, che senza di essa avrebbe posseduto reale impianto per la formazione di equazioni. Carnot riguarda tale ipotesi come realmente producendo un errore nell'equazione così ottenuta, e che per questo si chiama imperfetta , solo, è chiaro che questo errore deve essere infinitamente piccola. Ora, invece, tutte le operazioni di analisi, sia di differenziazione o di integrazione, che sono eseguiti su queste equazioni differenziali, al fine di sollevare le equazioni finite eliminando tutti gli infinitesimi introdotte come ausiliari, produrre costantemente , per loro natura, come è facilmente visibile, altri errori analoghi, in modo che una compensazione esatta avviene, e le equazioni finali, nelle parole di Carnot, diventa perfetta. visite Carnot, come indicazione certa ed invariabile della effettiva costituzione di questa compensazione necessaria, l'eliminazione completa dei vari infinitamente piccole quantità, che è sempre, infatti, l'oggetto finale di tutte le operazioni di analisi trascendente; perché se abbiamo commesso nessun altro infrazioni delle regole generali del ragionamento di quelli quindi preteso dalla natura stessa del metodo infinitesimale, gli infinitamente piccoli errori così prodotti non possono aver generato diverso infinitamente piccoli errori in tutte le equazioni, e le relazioni sono necessariamente di un'esattezza rigorosa appena esistono tra quantità finite sola, poiché i soli errori le possibili devono essere quelli finiti, mentre nessuno quali può essere inserito. Tutto questo ragionamento generale si fonda sulla concezione di quantità infinitesimali, considerato indefinitamente diminuendo, mentre quelli da cui sono derivati ??sono considerati fisso.






Illustrazione per tangenti. Così, per illustrare questa esposizione estratto da un solo esempio, prendiamo nuovamente la questione di tangenti, che è il più facile da un

dy alyze completamente. Noi considerare l'equazione t = -,
ottenuto sopra, come essere colpiti con un infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.






dy
t = -, dy-2axdx,
ascia



essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.

Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.

Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.



Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, che ho appositamente soffermati perché ammette di essere più facilmente comprensibile nel suo complesso, e il più rapidamente descritto.

METODO DI NEWTON.

Newton ha successivamente presentato il suo proprio metodo di concepire l'analisi trascendentale sotto diverse forme. Ciò che è attualmente il più comunemente adottata è stato designato da Newton, a volte sotto il nome del del metodo di primo e ultimo Ra tios, a volte sotto quella della il metodo di limiti.

Metodo di limiti. Lo spirito generale di analisi trascendente, da questo punto di vista, consiste nell'introdurre come ausiliari, al posto dei quantitativi primitive, o in concomitanza con essi, al fine di facilitare la creazione di equazioni, i limiti di della ra tios di incrementi simultanei di queste quantità; o, in altre parole, le finali rapporti di tali incrementi; limiti o rapporti finali che possono essere facilmente dimostrato di avere un determinato e valore finito. Un calcolo speciale, che è l'equivalente del calcolo infinitesimale, viene quindi impiegata per passare le equazioni tra questi limiti alle corrispondenti equazioni tra le quantità primitive stessi.



La potenza che è dato da una tale analisi, di esprimere con più facilità le leggi matematiche di fenomeni, dipende in generale su questo, che, poiché il calcolo si applica, non alle stesse incrementi delle quantità proposte, ma per i limiti di rapporti di tali incrementi, possiamo sempre sostituiamo per ogni incremento qualsiasi altra grandezza più facile da esaminare, a condizione che il loro rapporto finale è il rapporto di uguaglianza, o, in altre parole, che il limite del loro rapporto è unità. È evidente, infatti, che il calcolo dei limiti sarebbe in alcun modo limitati da questa sostituzione. Partendo da questo principio, troviamo quasi equivalente dei servizi offerti dall'analisi di Leibnitz, che vengono poi semplicemente concepiti sotto un altro punto di vista. Così curve vengono considerati come i limiti di una serie di poligoni rettilinei, moti variabili come i limiti di una raccolta di moti uniformi di durate costantemente decrescenti, e così via.

. Esempi 1. . Tangenti Supponiamo, per esempio, che vogliamo determinare la direzione della tangente ad una curva; considereremo come il limite verso che tenderebbe a secante, che dovrebbe ruotare attorno al punto in modo che il secondo punto di intersezione debba indefinitamente avvicinarsi alla prima. Rappresentando le differenze di coordinate dei due punti di Ay e Ax, avremmo in ogni istante, per la tangente trigonometrica del dell'angolo che la secante forma con l'asse di ascisse,

Ay Ax ! Da cui, prendendo i limiti, si otterrà, relativamente alla tangente in sé, questa formula generale di analisi trascendente, ._. Ay

ASCIA

[Errori OCR]
«Indietro Continua



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













funzioni indiretti), ci porteranno indietro da questa relazione a quello che esiste tra le quantità finite stessi in esame.

3. Quadratura di una curva. Sarebbe lo stesso con la quadratura delle aree curvilinee. Se la curva è un piano uno, e di cui rettilinee coordinate, noi concepire l'area A compresa tra questa curva, l'asse delle ascisse, e due estremi coordinate, per aumentare di una quantità infinitamente piccola dA, come il risultato di un corrispondente incremento di ascissa. La relazione tra queste due differenziali può essere immediatamente ottenuta con grande facilità sostituendo l'elemento curvilineo della zona proposto rettangolo formato dalla estrema ordinata e l'elemento di ascisse, da cui evidentemente differisce solo per una quantità infinitamente piccola di il secondo ordine. In questo modo in una volta dare, qualunque sia la curva, il molto semplice equazione differenziale

dA. = YDX, dal quale, quando viene definita la curva, il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre l'equazione finita, che è l'oggetto immediato del problema.

4. Velocità in Variable movimento. Allo stesso modo, in Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.



5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.

Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.

E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.



Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per

Q



lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.

Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.

All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.



Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.

Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
«Indietro Continua»






















Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente

Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo

- = + 2AX AAX.

ASCIA

Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:

\ AX / \ AX /

\ AX / \ AXJ \ AX /

secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.



Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.

Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.

Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.

Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il fluxion delle ascisse saremo costante, come l'elemento di tempo; per tutte le altre quantità generate, il movimento non può essere concepito per essere uniforme, ad eccezione di un infinitamente piccolo tempo. Ora la velocità essendo in generale secondo la sua concezione meccanica, il rapporto di ogni spazio al tempo impiegato in attraversarlo, e questa volta essere qui proporzionale all'incremento di ascissa, ne consegue che la flussioni di dell'ordinata, della dell'arco , della zona, ecc, sono davvero niente altro (respingendo l'esame intermedio di tempo) rispetto ai rapporti finali di incrementi di queste quantità diverse per l'incremento delle ascisse. Questo metodo di flussioni e fluenti è, quindi, in realtà, solo un modo di rappresentare, da un confronto in prestito dalla meccanica, il metodo di rapporti di primi e ultimi, che sola può essere ridotto a un calcolo. È evidente, quindi, offre gli stessi vantaggi generali in varie applicazioni principali di analisi trascendente, senza che sia necessario presentare prove speciali di questo.

[grafico]






METODO DI Lagrange.

Derivati ??funzioni. La concezione di Lagrange, nella sua semplicità ammirevole, consiste nel rappresentare l'analisi trascendente come un grande artifizio algebraio, per cui, al fine di facilitare la creazione di equazioni, si introduce, in luogo delle funzioni primitive, o contemporaneamente con loro, loro derivati ??funzioni; cioè, secondo la definizione di Lagrange, il coefficiente del primo termine del dell'incremento di ciascuna funzione, disposte secondo i poteri ascendenti del l'incremento della sua variabile. La speciale calcolo di funzioni indirette ha per oggetto costante, anche qui, come nelle concezioni di Leibnitz e di Newton, per eliminare questi derivati ??che sono stati quindi impiegati come ausiliari, al fine di dedurre dalle loro relazioni corrispondenti equazioni tra il primitivo grandezze.

Una estensione di ordinaria Analisi. L'analisi trascendentale è, dunque, nient'altro che un semplice anche se molto notevole estensione di analisi comune. Geometri sono stati a lungo abituati ad introdurre nelle indagini analitiche, al posto delle grandezze stessi che desideravano studiare, loro differenti potenze, o loro logaritmi, o loro seni, ec, per semplificare le equazioni, e anche per ottenerli più facilmente. Questa successiva derivazione è un artificio della stessa natura, solo di maggiore estensione, e procurarsi, di conseguenza, molto più importante delle risorse per questo oggetto comune.

Ma, anche se facilmente si può concepire, un priori, che la considerazione ausiliario di questi derivati ??può FA cilitare la creazione di equazioni, non è facile spiegare perché questo deve necessariamente seguire questa modalità di derivazione piuttosto che da qualsiasi altra trasformazione. Tale è il punto debole della grande idea di Lagrange. I vantaggi precisi di questa analisi non possono ancora essere afferrati in modo astratto, ma mostrati solo considerando separatamente ciascuna questione principale, in modo che la verifica è spesso estremamente laborioso.



Esempio. Tangenti. Questo modo di concepire l'analisi trascendente può essere meglio illustrata dalla sua applicazione alla più semplice dei problemi sopra esaminati, cioè di tangenti.

Invece di concepire tangente come il prolungamento della infinitamente piccolo elemento di curva, secondo il concetto di Leibnitz, o come il limite delle le secanti, secondo le idee di Newton-Lagrange ritiene, secondo il suo carattere semplice geometrica, analoga alle definizioni di antichi, per essere una linea retta tale che nessuna altra linea destra può passare attraverso il punto di contatto tra essa e la curva. Quindi, per determinare la sua direzione, dobbiamo cercare l'espressione generale della sua distanza dalla curva, misurata in qualsiasi direzione qualunque-in che del ordinata, per esempio, e disporre della costante arbitraria relativa alla inclinazione della linea di destra, che necessariamente entrare in tale espressione, in modo tale da diminuire la separazione il più possibile. Ora questa distanza, essendo evidentemente pari alla differenza delle due coordinate della curva e della linea di destra, che corrispondono allo stesso nuovo ascissa x + h, sarà rappresentato dalla formula

(FHX) -t) h + QH, i + rh, 3 + etc, in cui t indica, come sopra, la trigonomet sconosciuta
«Indietro Continua»






















Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente

Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo

- = + 2AX AAX.

ASCIA

Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:

\ AX / \ AX /

\ AX / \ AXJ \ AX /

secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.



Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.

Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.

Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.

Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il fluxion delle ascisse saremo costante, come l'elemento di tempo; per tutte le altre quantità generate, il movimento non può essere concepito per essere uniforme, ad eccezione di un infinitamente piccolo tempo. Ora la velocità essendo in generale secondo la sua concezione meccanica, il rapporto di ogni spazio al tempo impiegato in attraversarlo, e questa volta essere qui proporzionale all'incremento di ascissa, ne consegue che la flussioni di dell'ordinata, della dell'arco , della zona, ecc, sono davvero niente altro (respingendo l'esame intermedio di tempo) rispetto ai rapporti finali di incrementi di queste quantità diverse per l'incremento delle ascisse. Questo metodo di flussioni e fluenti è, quindi, in realtà, solo un modo di rappresentare, da un confronto in prestito dalla meccanica, il metodo di rapporti di primi e ultimi, che sola può essere ridotto a un calcolo. È evidente, quindi, offre gli stessi vantaggi generali in varie applicazioni principali di analisi trascendente, senza che sia necessario presentare prove speciali di questo.

[grafico]






METODO DI Lagrange.

Derivati ??funzioni. La concezione di Lagrange, nella sua semplicità ammirevole, consiste nel rappresentare l'analisi trascendente come un grande artifizio algebraio, per cui, al fine di facilitare la creazione di equazioni, si introduce, in luogo delle funzioni primitive, o contemporaneamente con loro, loro derivati ??funzioni; cioè, secondo la definizione di Lagrange, il coefficiente del primo termine del dell'incremento di ciascuna funzione, disposte secondo i poteri ascendenti del l'incremento della sua variabile. La speciale calcolo di funzioni indirette ha per oggetto costante, anche qui, come nelle concezioni di Leibnitz e di Newton, per eliminare questi derivati ??che sono stati quindi impiegati come ausiliari, al fine di dedurre dalle loro relazioni corrispondenti equazioni tra il primitivo grandezze.

Una estensione di ordinaria Analisi. L'analisi trascendentale è, dunque, nient'altro che un semplice anche se molto notevole estensione di analisi comune. Geometri sono stati a lungo abituati ad introdurre nelle indagini analitiche, al posto delle grandezze stessi che desideravano studiare, loro differenti potenze, o loro logaritmi, o loro seni, ec, per semplificare le equazioni, e anche per ottenerli più facilmente. Questa successiva derivazione è un artificio della stessa natura, solo di maggiore estensione, e procurarsi, di conseguenza, molto più importante delle risorse per questo oggetto comune.

Ma, anche se facilmente si può concepire, un priori, che la considerazione ausiliario di questi derivati ??può FA cilitare la creazione di equazioni, non è facile spiegare perché questo deve necessariamente seguire questa modalità di derivazione piuttosto che da qualsiasi altra trasformazione. Tale è il punto debole della grande idea di Lagrange. I vantaggi precisi di questa analisi non possono ancora essere afferrati in modo astratto, ma mostrati solo considerando separatamente ciascuna questione principale, in modo che la verifica è spesso estremamente laborioso.



Esempio. Tangenti. Questo modo di concepire l'analisi trascendente può essere meglio illustrata dalla sua applicazione alla più semplice dei problemi sopra esaminati, cioè di tangenti.

Invece di concepire tangente come il prolungamento della infinitamente piccolo elemento di curva, secondo il concetto di Leibnitz, o come il limite delle le secanti, secondo le idee di Newton-Lagrange ritiene, secondo il suo carattere semplice geometrica, analoga alle definizioni di antichi, per essere una linea retta tale che nessuna altra linea destra può passare attraverso il punto di contatto tra essa e la curva. Quindi, per determinare la sua direzione, dobbiamo cercare l'espressione generale della sua distanza dalla curva, misurata in qualsiasi direzione qualunque-in che del ordinata, per esempio, e disporre della costante arbitraria relativa alla inclinazione della linea di destra, che necessariamente entrare in tale espressione, in modo tale da diminuire la separazione il più possibile. Ora questa distanza, essendo evidentemente pari alla differenza delle due coordinate della curva e della linea di destra, che corrispondono allo stesso nuovo ascissa x + h, sarà rappresentato dalla formula

(FHX) -t) h + QH, i + rh, 3 + etc, in cui t indica, come sopra, la trigonomet sconosciuta
«Indietro Continua»






















Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













tangente Rical del dell'angolo che la riga desiderata forma con l'asse di ascisse, e f '{x) la funzione derivata della ordinata f (x). Questo fermo restando, è facile vedere che, disponendo di t modo per fare il primo termine della formula precedente uguale a zero, noi rendere l'intervallo tra le due linee il meno possibile, in modo che qualsiasi altra linea for'Which t non aveva il valore così determinato necessariamente discostarsi più lontano dalla curva proposta . Abbiamo, quindi, per la direzione della tangente ricercato, l'espressione generale t = f '(x), un risultato esattamente equivalenti a quelle fornite dal metodo infinitesimale e il metodo di limiti. Dobbiamo ancora trovare f '(x) in ciascuna curva particolare, che è una semplice questione di analisi, del tutto identica a quelli che sono presentati, in questa fase delle operazioni, con gli altri metodi. Dopo queste considerazioni al momento i principali concetti generali, non dobbiamo fermarci ad esaminare alcune altre teorie proposte, come ad esempio di Eulero Calcolo di Vanishing quantità, che sono davvero modificazioni più o meno importanti, e, inoltre, non sono più utilizzati -di metodi precedenti .

Devo ora di stabilire il confronto e l'apprezzamento di questi tre metodi fondamentali. La loro per fetto e necessaria la conformità è il primo ad essere provata in modo generale.

Identità fondamentale DEI TRE METODI.

È, in primo luogo, risulta da quanto precede, considerando questi tre metodi come la loro destinazione effettiva, indipendentemente delle loro idee preliminari, che tutti consistono nello stesso artifici logico generale, che è stato caratterizzato nel primo capitolo; cioè, l' introduzione di un certo sistema di grandezze ausiliarie, avere rapporti uniformi a quelle che sono gli oggetti speciali di dell'indagine, e sostituiti loro espressamente per facilitare l'espressione analitica delle leggi matematiche dei fenomeni, anche se hanno infine essere eliminati con l'aiuto di un calcolo speciale. È questo che mi ha determinato per definire regolarmente all'analisi trascendente come il calcolo della indiretti FUNC zioni, per marcare il suo vero carattere filosofica, allo stesso tempo evitando ogni discussione sul miglior modo di concepire e applicazione. L'effetto generale di questa analisi, qualunque sia il metodo impiegato, è, quindi, per portare ogni domanda matematica molto più rapidamente all'interno del potere di l' calcolo, e quindi di diminuire notevolmente la grave difficoltà che di solito è presentato dal passaggio dal concreto l'astratto. Qualunque sia il progresso noi possiamo fare, non possiamo mai sperare che il calcolo sarà mai in grado di cogliere tutte le domande di natura filosofia, geometrica, o meccanico, o thermological, ecc, immediatamente dopo la sua nascita, il che, evidentemente, comporta una contraddizione. Ogni problema sarà costantemente richiederà un certo lavoro preliminare da eseguire, in cui il calcolo può essere di alcun aiuto, e che, per sua natura, non può essere sottoposto a regole astratte e invariabili; è quella che ha per oggetto speciale la creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati ??equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.






Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati ??FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile



per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel

dx

Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come

Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange

ASCIA

indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.

VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.

Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.

Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di

H



equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.

[Errori OCR]
«Indietro Continua»






















Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













CAPITOLO IV.
IL calcolo differenziale e integrale.
Le sue due divisioni fondamentali.



Il calcolo del indiretti funzioni, secondo le considerazioni spiegato nel capitolo precedente, è necessariamente diviso in due parti (o, più correttamente, viene scomposto in due differenti calcoli completamente distinte, anche se intimamente collegata per loro natura), secondo che è proposto per trovare le relazioni tra le grandezze ausiliarie (l'introduzione del che costituisce lo spirito generale di questo calcolo) per mezzo delle relazioni tra i corrispondenti grandezze primitive; o, al contrario, per cercare di scoprire queste equazioni diretti mediante delle equazioni indiretti originariamente stabiliti. Tale è, infatti, costantemente il duplice scopo di analisi trascendente.

Questi due sistemi hanno ricevuto nomi diversi, a seconda del punto di vista sotto il quale tale analisi è stata considerata. Il metodo infinitesimo, propriamente detta, essendo stato il più comunemente impiegato per le ragioni che sono state date, quasi tutti i geometri utilizzano abitualmente le denominazioni di Differen ziale calcolo e di integrale Calcolo, stabilito da Leibnitz, e quali sono, in realtà, molto conseguenze razionali della sua concezione. Newton, in accordo con il suo metodo, chiamato il primo il calcolo delle flussioni, e il secondo il calcolo di fluenti, espressioni che erano comunemente impiegati in Inghilterra. Infine, seguire ing teoria eminentemente filosofica fondata da Lagrange, si sarebbe chiamato il calcolo delle derivate funzioni, e l'altro il calcolo delle primitive funzioni. Continuerò a fare uso dei termini di Leibnitz, come più conveniente per la formazione di espressioni secondarie, anche se ho dovuto, secondo le proposte formulate nel capitolo precedente, di impiegare contemporaneamente tutte le diverse concezioni, si avvicina il più possibile a quella di Lagrange.



Le loro relazioni con l'altro.

Il calcolo differenziale è evidentemente la base logica del calcolo integrale; perché non lo facciamo e non possiamo sapere come integrare direttamente eventuali altre espressioni differenziali rispetto a quelli prodotti dalla differenziazione delle dieci semplici funzioni che costituiscono gli elementi generali della nostra analisi. L'arte di integrazione consiste, quindi, essenzialmente nel portare tutti gli altri casi, per quanto possibile, di dipendere finalmente solo questo piccolo numero di integrazioni fondamentali.

Nel considerare l'intero corpo del dell'analisi trascendente, come ho caratterizzato nel capitolo precedente, non è in prima evidente quale può essere l'utilità peculiare del calcolo differenziale, indipendentemente di questo rapporto necessario con il calcolo integrale, che sembra se deve essere, di per sé, l'unico direttamente indispensabile. Infatti, l'eliminazione dei i infinitesimi o dei i derivati, introdotto come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni, costituendo, come abbiamo visto, l'oggetto finale ed invariabile di calcolo di funzioni indirette, è naturale pensare che il calcolo che insegna come dedurre dalle equazioni tra queste grandezze ausiliari, quelli che esistono tra le grandezze primitive stessi, dovrebbe rigorosamente bastare per i bisogni generali di analisi trascendentale senza il nostro percepire, a prima vista, che cosa speciale e parte costante della soluzione della domanda inversa può avere in tale analisi. Sarebbe un errore reale, anche se un comune, da assegnare al calcolo differenziale, per spiegare la sua peculiare, dirette e influenza necessaria, la destinazione di formare le equazioni differenziali, da cui il calcolo integrale poi ci consente di arrivare le equazioni finite; per la formazione primitiva di equazioni differenziali non è e non può essere propriamente, l'oggetto di qualsiasi calcolo, poiché, al contrario, si forma per sua natura indispensabile punto di partenza di qualsiasi calcolo qualunque. Come, in particolare, potrebbe calcolo differenziale, che di per sé è ridotto ad insegnare i mezzi di differenziare le diverse equazioni, una procedura generale adottata per stabilire loro? Ciò che in ogni applicazione di analisi trascendente realmente facilita la formazione di equazioni, è infinitesimale metodo, e non il infinitesimo calcolo, che è perfettamente distinto da essa, anche se è il suo complemento indispensabile. Tale considerazione sarebbe, quindi, dare una falsa idea di destinazione speciale che caratterizza il calcolo differenziale nel sistema generale di analisi trascendente.



Ma dobbiamo comunque molto imperfettamente concepire il vero peculiare importanza di questo primo ramo di calcolo di funzioni indiretti, se abbiamo visto in esso un semplice lavoro preliminare, non avendo altro oggetto generale ed essenziale che per preparare basi indispensabili per il calcolo integrale. Come le idee su questo argomento sono generalmente confusi, penso che dovrei qui a spiegare in maniera sommaria questa importante relazione, come ho vista, e per dimostrare che in tutte le applicazioni di analisi trascendente un primario, diretta, e parte necessaria è costantemente assegnato al calcolo differenziale.



1. Uso della il differenziale calcolo come preparazione per quella del l' integrale. Nel formare le equazioni differenziali di ogni fenomeno qualunque, è molto raro che ci limitiamo introdurre differenzialmente solo le grandezze cui relazioni sono ricercati. Per imporre tale condizione sarebbe diminuire inutilmente le risorse presentate dall'analisi trascendente per l'espressione delle leggi matematiche di fenomeni. Più frequentemente si introducono nelle equazioni primitive, attraverso i loro differenziali, altre grandezze cui relazioni sono già noti o suppone che sia così, e senza la considerazione di cui sarebbe spesso impossibile stabilire le equazioni. Così, per esempio, nel problema generale della rettifica di curve, l'equazione differenziale,

ds t = dy * + dx t , o ds t = dx t + dy t + dz 2 , non è solo stabilito tra la variabile indipendente funzione desiderata s e x, a cui si riferisce, ma, al tempo stesso, vi sono stati introdotti, come intermediari indispensabili, i differenziali di uno o due altre funzioni, y , z, che sono tra i dati del problema; non sarebbe stato possibile formare direttamente l'equazione tra ds e dx, che, inoltre, essere peculiare di ogni curva considerato. È lo stesso per la maggior parte delle domande. Ora, in questi casi è evidente che l'equazione differenziale non è immediatamente adatto per l'integrazione. È precedenza necessario che l'differiscono entials delle funzioni supposti essere conosciuto, che sono stati impiegati come intermediari, dovrebbe essere completamente eliminato, in modo che le equazioni possono essere ottenute fra i differenziali di funzioni che sola ricercate e quelle del realmente il variabili indipendenti, dopo di che la domanda dipende solo il calcolo integrale. Ora questa eliminazione preparatoria di taluni differenziali, al fine di ridurre gli infinitesimi al minor numero possibile, appartiene semplicemente calcolo differenziale; perché deve evidentemente essere fatto determinando, mediante delle equazioni tra le funzioni supposti essere conosciuto, presi come intermediari, i rapporti dei loro differenziali, che è solo una domanda di differenziazione. Così, per esempio, nel caso di rettifiche, sarà prima necessario calcolare dy, o dy e dz, differenziando l'equazione o le equazioni di ciascuna curva proposti; dopo aver eliminato queste espressioni, la formula differenziale generale sopra enunciata conterrà quindi solo ds e dx ; essere arrivati ??a questo punto, l'eliminazione dei infinitesimi può essere completata solo dal calcolo integrale.



Tale è, poi, l'Ufficio Generale necessariamente appartenente al calcolo differenziale nella soluzione completa delle questioni che esatto l'impiego di analisi trascendente; per produrre, per quanto possibile, l'eliminazione di infinitesimi, che è, per ridurre in ogni caso le equazioni differenziali primitive in modo che essi contengono soltanto le differenze delle variabili realmente indipendenti, e quelli delle funzioni ricercata, provocando a scomparire, per eliminazione, i differenziali di tutte le altre funzioni note che possono essere presi come intermediari al momento della formazione del l'differiscono
«Indietro Continua»






















Giacinto




























































































































































































Gli utenti che utilizzano screen reader possono fare clic su questo link per attivare la modalità di accessibilità. Questa modalità presenta le stesse funzioni principali, ma risulta maggiormente compatibile con il reader.


Libri




The Philosophy of Mathematics
























Leggi eBook

Trova questo libro nella versione stampata




AbeBooks.it


Trova in una biblioteca
Tutti i venditori »






Copertina anteriore


1 Recensione
Modifica recensione



The Philosophy of Mathematics
Di Auguste Comte







Informazioni su questo libro


Termini di servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













ential equations of the problem which is under consideration.

2. Employment of the Differential Calculus alone. For certain questions, which, although few in number, have none the less, as we shall see hereafter, a very great importance, the magnitudes which are sought enter directly, and not by their differentials, into the primitive differential equations, which then contain differentially only the different known functions employed as intermediaries, in accordance with the preceding explanation. These cases are the most favourable of all; for it is evident that the differential calculus is then entirely sufficient for the complete elimination of the infinitesimals, without the question giving rise to any integration. This is what occurs, for example, in the problem of tangents in geometry; in that of velocities in mechanics, &c

3. Employment of the Integral Calculus alone. Finally, some other questions, the number of which is also very small, but the importance of which is no less great, present a second exceptional case, which is in its nature exactly the converse of the preceding. They are those in which the differential equations are found to be immediately ready for integration, because they contain, at their first formation, only the infinitesimals which relate to the functions sought, or to the really independent variables, without its being necessary to introduce, differentially, other functions as intermediaries. If in these new cases we introduce these last functions, since, by hypothesis, they will enter directly and not by their differentials, ordinary algebra will suffice to eliminate them, and to bring the question to depend on only the integral calculus. The differential calculus will then have no special part in the complete solution of the problem, which will depend entirely upon the integral calculus. The general question of quadratures offers an important example of this, for the differential equation being then dA=ydx, will become immediately fit for integration as soon as we shall have eliminated, by means of the equation of the proposed curve, the intermediary function y, which does not enter into it differentially. The same circumstances exist in the problem of cubatures, and in some others equally important.



Three classes of Questions hence resulting. As a general result of the previous considerations, it is then necessary to divide into three classes the mathematical questions which require the use of the transcendental analysis; the first class comprises the problems susceptible of being entirely resolved by means of the differential calculus alone, without any need of the integral calculus; the second, those which are, on the contrary, entirely dependent upon the integral calculus, without the differential calculus having any part in their solution; lastly, in the third and the most extensive, which constitutes the normal case, the two others being only exceptional, the differential and the integral calculus have each in their turn a distinct and necessary part in the complete solution of the problem, the former making the primitive differential equations undergo a preparation which is indispensable for the application of the latter. Such are exactly their general relations, of which too indefinite and inexact ideas are generally formed.

Let us now take a general survey of the logical composition of each caloulus, beginning with the differential.



THEDIFFERENTIALCALCULUS.

In the exposition of the transcendental analysis, it is customary to intermingle with the purely analytical part (which reduces itself to the treatment of the abstract principles of differentiation and integration) the study of its different principal applications, especially those which concern geometry. This confusion of ideas, which is a consequence of the actual manner in which the science has been developed, presents, in the dogmatic point of view, serious inconveniences in this respect, that it makes it difficult properly to conceive either analysis or geometry. Having to consider here the most rational co-ordination which is possible, I shall include, in the following sketch, only the calculus of indirect functions properly so called, reserving for the portion of this volume which relates to the philosophical study of concrete mathematics the general examination of its great geometrical and mechanical applications.

Two Cases: explicit and implicit Functions. The fundamental division of the differential calculus, or of the general subject of differentiation, consists in distinguishing two cases, according as the analytical functions which are to be differentiated are explicit or implicit; from which flow two parts ordinarily designated by the names of differentiation of formulas and differentiation of equations. It is easy to understand, a priori, the importance of this classification. In fact, such a distinction would be illusory if the ordinary analysis was perfect; that is, if we knew how to resolve all equations algebraically, for then it would be possible to render every implicit function explicit; and, by differentiating it in that state alone, the second part of the differential calculus would be immediately comprised in the first, without giving rise to any new difficulty. But the algebraical resolution of equations being, as we have seen, still almost in its infancy, and as yet impossible for most cases, it is plain that the case is very different, since we have, properly speaking, to differentiate a function without knowing it, although it is determinate. The differentiation of implicit functions constitutes then, by its nature, a question truly distinct from that presented by explicit functions, and necessarily more complicated. It is thus evident that we must commence with the differentiation of formulas, and reduce the differentiation of equations to this primary case by certain invariable analytical considerations, which need not be here mentioned.



These two general cases of differentiation are also distinct in another point of view equally necessary, and too important to be left unnoticed. The relation which is obtained between the differentials is constantly more indirect, in comparison with that of the finite quantities, in the differentiation of implicit functions than in that of explicit functions. We know, in fact, from the considerations presented by Lagrange on the general formation of differential equations, that, on the one hand, the same primitive equation may give rise to a greater or less number of derived equations of very different forms, although at bottom equivalent, depending upon which of the arbitrary constants is eliminated, which is not the case in the differentiation of explicit formulas; and that, on the other hand, the unlimited system of the different primitive equations, which correspond to the same derived equation, presents a much more profound analytical variety than that of the different functions, which admit of one same explicit differential, and which are distinguished from each other only by a constant term. Implicit functions must therefore be regarded as being in reality still more modified by differentiation than explicit functions. We shall again meet with this consideration relatively to the integral calculus, where it acquires a preponderant importance.



Two Sub-cases: A single Variable or several Variables. Each of the two fundamental parts of the Differential Calculus is subdivided into two very distinct theories, according as we are required to differentiate functions of a single variable or functions of several independent variables. This second case is, by its nature, quite distinct from the first, and evidently presents more complication, even in considering only explicit functions, and still more those which are implicit. As to the rest, one of these cases is deduced from the other in a general manner, by the aid of an invariable and very simple principle, which consists in regarding the total differential of a function which is produced by the simultaneous increments of the different independent variables which it contains, as the sum of the partial differentials which would be produced by the separate increment of each variable in turn, if all the others were constant. It is necessary, besides, carefully to remark, in connection with this subject, a new idea which is introduced by the distinction of functions into those of one variable and of several; it is the consideration of these different special derived functions, relating to each variable separately, and the number of which increases more and

I
« IndietroContinua »




Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













più in proporzione come l'ordine di derivazione diventa più alta, e anche quando le variabili diventano più numerosi. Deriva da questo che i rapporti differenziali a funzioni di più variabili sono, per loro natura, sia molto più indiretta, e soprattutto molto più indeterminata, di quelli relativi alle funzioni di una singola variabile. Questo è più evidente nel caso di funzioni implicite, in cui, al posto di semplici costanti arbitrarie che eliminazione provoca a scomparire quando formiamo le equazioni differenziali adeguati per le funzioni di una sola variabile, sono le funzioni arbitrarie delle variabili proposte che vengono poi eliminati; da cui deve risultare particolari difficoltà quando queste equazioni vengono a integrarsi.

Infine, per completare questa sintesi abbozzo delle diverse parti essenziali del calcolo differenziale corretta, devo aggiungere, che nella differenziazione di funzioni implicite, sia di una singola variabile o di diversi, è necessario fare un'altra distinzione; che del caso in cui è richiesto di differenziare contemporaneamente diverse funzioni di questo tipo, combinati in certe equazioni primitive, da quella in cui tutte queste funzioni sono separati.

Le funzioni sono evidentemente, infatti, ancora più implicito nel primo caso rispetto al secondo, se si considera che la stessa imperfezione di analisi ordinaria, che proibisce nostra convertire ogni funzione implicita in una funzione esplicita equivalente, in modo analogo rende incapaci di separare le funzioni che entrano contemporaneamente in qualsiasi sistema di equazioni. È quindi necessario differenziare, non solo senza sapere come risolvere le equazioni primitive, ma anche senza essere ing grado di effettuare le eliminazioni corrette fra loro, producendo così una nuova difficoltà.

[Errori OCR]



Riduzione del l' intera per la differenziazione dei i dieci elementari funzioni. Tale, quindi, sono la naturale connessione e la distribuzione logica delle diverse teorie principali che compongono il sistema generale di differenziazione. Poiché la differenziazione delle funzioni implicite è dedotta da quella di funzioni esplicite da un unico principio costante, e la differenziazione delle funzioni di più variabili è diminuito di un altro principio fisso a quella di funzioni di una sola variabile, l'intera del calcolo differenziale è finalmente trovato a riposo sulla differenziazione delle funzioni esplicite con una singola variabile, l'unico che viene sempre eseguito direttamente. Ora è facile capire che questa prima teoria, la base necessaria di tutto il sistema, consiste semplicemente nella differenziazione delle dieci funzioni semplici, che sono gli elementi uniformi di tutte le combinazioni analitiche, e l'elenco dei quali è stato dato in il primo capitolo, a pagina 51; per la differenziazione delle funzioni composti è evidentemente dedotto, in modo immediato e necessario, da quella dei semplici funzioni che li compongono. È, quindi, alla conoscenza di questi dieci differenziali fondamentali, nonché a quello dei due principi generali appena citati, che portano sotto tutti gli altri casi possibili, che l'intero sistema di differenziazione è adeguatamente ridotta. Vediamo, dalla combinazione di queste diverse considerazioni, come semplice e come perfetto è l'intero sistema di calcolo differenziale. Costituisce certamente, nelle sue relazioni logiche, lo spettacolo più interessante che l'analisi matematica può presentare alla nostra comprensione.



Trasformazione dei derivati ??Funzioni per le nuove Varia Bles. Il disegno generale che ho appena sommariamente disegnato sarebbe tuttavia presentare un deficit importante, se non ho fatto qui distintamente indicare una teoria finale, che costituisce, per sua natura, il complemento indispensabile del sistema di differenziazione. È quella che ha per oggetto la trasformazione costante di funzioni derivate, come risultato di cambiamenti determinati nelle variabili indipendenti, donde risulta la possibilità di riferimento a nuove variabili tutte le formule generali differenziali primitively stabiliti per gli altri. Questa domanda è ora risolta nel più completo e il modo più semplice, come tutti quelli di cui il calcolo differenziale è composta. È facile immaginare l'importanza generale che deve avere in qualsiasi delle applicazioni di analisi trascendente, le risorse fondamentali di cui può essere considerata augmenting, da noi permettendo di scegliere (per formare le equazioni differenziali, in innanzitutto, con più facilità) il sistema di variabili indipendenti che possono sembrare essere la più vantaggiosa, anche se non è definitivamente mantenuta. È così, ad esempio, che la maggior parte delle principali questioni di geometria sono risolti molto più facilmente facendo riferimento alle linee e superfici rettilinee coordinate, e che può, tuttavia, avere occasione per esprimere queste linee, ecc, analiticamente con l'aiuto di polari coordinate, o in qualsiasi altro modo. Ci sarà quindi in grado di iniziare la soluzione differenziale del problema impiegando il sistema rettilinea, ma solo come fase intermedia, da cui, per la teoria generale qui denominato, possiamo passare al sistema finale, che a volte non poteva avere stato considerato direttamente.

[Errori OCR]



Diversi ordini di differenziazione. Nella classifica logica del del calcolo differenziale, che ha appena ricevuto, alcuni possono essere inclini a suggerire una grave omissione, visto che non ho suddiviso ognuna delle sue quattro parti essenziali secondo un'altra considerazione generale, che sembra in un primo momento visualizzare molto importante; cioè che di ordine superiore o inferiore di differenziazione. Ma è facile capire che questa distinzione ha alcuna influenza reale nel calcolo differenziale, in quanto non dà luogo ad alcuna nuova difficoltà. Se, infatti, il calcolo differenziale non è stato rigorosamente completo, cioè se non sapessimo come differenziare a volontà qualsiasi funzione qualunque sia, la differenziazione al secondo o superiore ordine di ogni funzione determinata potrebbe generare particolari difficoltà. Ma l'universalità perfetta del calcolo differenziale chiaramente ci dà la certezza di essere in grado di differenziare, a qualsiasi ordine qualsiasi, tutte le funzioni note qualunque, la questione ridursi ad una differenziazione costantemente ripetuta del primo ordine. Questa distinzione, poco importante come per il calcolo differenziale, acquisisce, tuttavia, una grande importanza nel calcolo integrale, a causa della estrema imperfezione di quest'ultimo.

Analytical Applications. Infine, anche se questo non è il posto giusto per prendere in considerazione le varie applicazioni del calcolo differenziale, ma un'eccezione possono essere fatte per coloro che consistono nella soluzione di questioni che sono puramente analitico, che dovrebbe, infatti, essere trattati logicamente in prosecuzione di un sistema di differenziazione, a causa della omogeneità evidente delle considerazioni coinvolti. Queste domande possono essere ridotte a tre quelli essenziali.



In primo luogo, il sviluppo in serie di funzioni di una o più variabili, o, più in generale, la trasformazione di funzioni, che costituisce la più bella e la più importante applicazione del calcolo differenziale per analisi generale, e che comprende, oltre alla serie fondamentale scoperto da Taylor, la notevole serie scoperto da Maclaurin, Jchn Bernoulli, Lagrange, & c:

In secondo luogo, il generale teoria di maxima e minimi valori per ogni funzione qualunque, di una o più variabili; uno dei problemi più interessanti che l'analisi può presentare, per quanto elementare Può ora sono diventati, e per la soluzione completa di che si applica naturalmente il calcolo differenziale:

In terzo luogo, la determinazione generale del valore reale delle funzioni che si presentano sotto un indeter minate aspetto di alcune ipotesi fatte sui valori delle variabili corrispondenti; che è il meno esteso e meno importante di tre.

La prima domanda è certamente il principale in tutti i punti di vista; è anche il più suscettibile di ricevere un nuovo seguito estensione, soprattutto concepire, in modo più ampio rispetto a quanto è stato ancora fatto, l'impiego del calcolo differenziale nella trasformazione di funzioni, sul quale soggetto Lagrange ha lasciato alcuni suggerimenti preziosi.

Avendo così sommariamente, anche se forse troppo breve, considerati i punti principali del calcolo differenziale, io ora procedere a un altrettanto rapido esposizione di un quadro sistematico di del calcolo integrale, propriamente detto, cioè il soggetto astratto di integrazione.
«Indietro Continua»






















Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













Calcolo integrale.

La sua fondamentale Division. La divisione fondamentale del calcolo integrale si fonda sul principio stesso di quello del calcolo differenziale, nel distinguere l'integrazione di esplicite formule differenziali, e l'integrazione dei impliciti differenziali o di equazioni differenziali. La separazione di questi due casi è ancora molto più profonda rispetto alla integrazione rispetto alla differenziazione. Nel calcolo differenziale, infatti, questa distinzione poggia, come abbiamo visto, solo sulla estrema imperfezione di analisi ordinaria. Ma, d'altra parte, è facile vedere che, anche se tutte le equazioni possono essere risolte algebricamente, equazioni differenziali sarebbe comunque costituire un caso di integrazione ben distinta da quella presentata dalle formule differenziali espliciti; per, limitandoci, per motivi di semplicità, al primo ordine, e ad una funzione singola y di una singola variabile x, supponendo qualsiasi equazione differenziale fra x, y,

dy dy e -, da risolvere con riferimento -, la Expres dx dx

sione della funzione derivata essendo poi generalmente trovata contenere la stessa funzione primitiva, che è oggetto della dell'indagine, la domanda di integrazione non avrà affatto cambiato natura, e la soluzione non sarà davvero fatto alcuna altra progressi quello di aver portato l'equazione differenziale proposto essere di solo il primo grado relativamente alla funzione derivata, che è di per sé di scarsa importanza. Il differenziale non sarebbe quindi determinata in maniera molto meno implicita rispetto a prima, per quanto riguarda l'integrazione, che continuerebbe a presentare sostanzialmente la stessa caratteristica diffi cnlty. La risoluzione algebrica delle equazioni non poteva fare il caso che stiamo considerando rientrare la semplice integrazione dei differenziali esplicite, tranne nei casi particolari in cui l'equazione differenziale proposta non conteneva la stessa funzione di primitivo, che avrebbe

[grafico]



Di conseguenza ci permettono, per risolverlo, per trovare - a dx

termini di x soltanto, e quindi di ridurre la domanda alla classe di quadrature. Ancora maggiori difficoltà sarebbero evidentemente essere trovati in equazioni differenziali di ordine superiore, o contenenti simultaneamente diverse funzioni di più variabili indipendenti.

L'integrazione di equazioni differenziali è quindi necessariamente più complicato di quello di differenziali esplicite, dall'elaborazione di che durano è stato creato calcolo integrale, e su cui sono stati fatti altri dipendere quanto è stato possibile. Tutti i vari metodi analitici che sono stati proposti per integrare le equazioni differenziali, che sia la separazione delle variabili, il metodo di moltiplicatori, ecc, hanno infatti per oggetto per ridurre queste integrazioni a quelli di formule differenziali, l'unico che , per sua natura, possono essere intraprese direttamente. Purtroppo, imperfetta come ancora questa base necessaria di tutta calcolo integrale, l'arte di ridurre ad esso l'integrazione di equazioni differenziali è ancora meno avanzate.

Suddivisioni: una variabile o . Diversi Ciascuno di questi due rami fondamentali del calcolo integrale è prossima suddivisi in due altri (come nel calcolo differenziale, e per motivi precisamente analoghe), secondo come noi consideriamo funzioni con una singola variabile, o funzioni con diversi indipendenti variabili.



Questa distinzione è, come quello precedente, ancora più importante per l'integrazione di differenziazione. Ciò è particolarmente notevole in riferimento alle equazioni differenziali. Infatti, quelle che dipendono da diverse variabili indipendenti possono evidentemente presentare questa difficoltà caratteristico Mnch più grave, che la funzione desiderata può essere differenzialmente definita da una semplice relazione tra i diversi derivati ??particolari relativi alle diverse variabili prese separatamente. Risulta quindi più difficile e anche la più ampia ramo del calcolo integrale, che è comunemente chiamato il Inter gral Calcolo della parziali differenze, creato da D'Alembert, e in cui, secondo il proprio apprezzamento di Lagrange, geometri dovrebbe avere visto davvero un nuovo calcolo, il carattere filosofica di cui non è ancora stata determinata con precisione sufficiente. Una differenza molto evidente tra questo caso e quello di equazioni con una singola variabile indipendente è costituito, come è stato già osservato, nelle funzioni arbitrarie che prendono il posto delle semplici costanti arbitrarie, per dare alle corrispondenti integrali tutto il corretto generalità .

È appena il caso di dire che questo ramo superiore di analisi trascendentale è ancora del tutto nella sua infanzia, poiché, anche nel caso più semplice, che di un'equazione del primo ordine fra le derivate parziali di una singola funzione con due variabili indipendenti, non è ancora del tutto in grado di ridurre l'integrazione a quella delle equazioni differenziali ordinarie. L'integrazione delle funzioni di più variabili è molto più avanzato nel caso (infinitamente più semplice in realtà) in cui si ha a che fare solo con formule differenziali esplicite. Possiamo allora, infatti, quando queste formule soddisfano le neces condizioni ne- di integrabilità, ridurre sempre la loro integrazione a quadrature.



Altri Suddivisioni : diversi ordini di Differentia . Zione Una nuova distinzione generale, applicabile come una suddivisione per l'integrazione dei differenziali esplicite o implicite, con una variabile o più, è tratto dalla alta er o minore ordine di i differenziali : una distinzione che, come abbiamo sopra osservato, non dà luogo ad alcuna domanda speciale nel calcolo differenziale.

Relativamente alle esplicite differenziali, sia di una variabile o di vari, la necessità di distinguere loro diversi ordini appartiene solo alla estrema imperfezione del calcolo integrale. Infatti, se si potesse sempre integrare ogni formula differenziale del primo ordine, l'integrazione di una formula di secondo ordine, o di qualsiasi altro, sarebbe evidentemente non formare una nuova domanda, poiché, integrando in un primo momento in primo grado , saremmo arrivati ??al espressione differenziale di ordine immediatamente precedente, dal quale, da una serie adeguata di integrazioni analoghi, saremmo certi di arrivare infine la funzione primitiva, l'oggetto finale di queste operazioni. Ma la poca conoscenza che possediamo sull'integrazione del persino il primo ordine provoca piuttosto un altro stato di cose, in modo che un ordine superiore di differenziali produce nuove difficoltà; per, avendo formule differenziali di qualsiasi ordine sopra il primo, può accadere che wo può essere in grado di integrarli, o una volta o più volte di seguito, e che può essere ancora in grado di tornare alle funzioni primitive, se questi lavori preliminari hanno prodotto, per i differenziali di ordine inferiore, espressioni il cui integrali non sono noti. Questa circostanza deve avvenire tanto più spesso (il numero delle note integrali essendo ancora molto piccolo), visto che questi integrali successive sono generalmente molto diverse funzioni dei derivati ??che li hanno prodotti.



Con riferimento alle implicite differenziali, la distinzione di ordini è ancora più importante; per, oltre al motivo precedente, l'influenza dei quali è evidentemente analogo in questo caso, ed è ancora maggiore, è facile intuire che l'ordine superiore di equazioni differenziali nasce inseparabilmente domande di una nuova natura. Infatti, anche se si potrebbe integrare ogni equazione del primo ordine relativa ad una singola funzione, che sarebbe non essere sufficiente per ottenere l'integrale finale di un'equazione di qualsiasi ordine qualsiasi, in quanto ogni equazione differenziale non è riducibile a quella di un ordine immediatamente inferiore. Così, per esempio, se abbiamo dato alcun

dx (Py

rapporto tra x, y, - e . -R- per determinare un func

dy dx 1

zione y di una variabile x, non potrà dedurne immediatamente, dopo aver effettuato una prima integrazione, la

dy corrispondente rapporto differenziale tra x, y, e -,

da cui, da una seconda integrazione, potremmo risalire alle equazioni primitive. Questo non sarebbe necessariamente svolgersi, almeno senza introdurre nuove funzioni ausiliarie, a meno che il proposto equazione del secondo ordine non contiene la funzione richiesta y, insieme con i suoi derivati. Come principio generale, equazioni differenziali dovranno essere considerati presentando casi che sono sempre più implicito, in quanto sono di un ordine superiore, e che non può essere fatta dipendere da uno all'altro solo con metodi speciali, l'indagine di cui conseguentemente forma una nuova classe di domande, con ri



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













SPECT a cui noi, come sappiamo ancora poco qualsiasi cosa, anche per le funzioni di una sola variabile. *

Un altro equivalente distinzione. Ancora più lontano, quando esaminiamo più profondamente questa distinzione di diversi ordini di equazioni differenziali, troviamo che esso può essere sempre fatta a venire sotto una distinzione generale finale, relativa alle equazioni differenziali, che rimane per essere notato. Equazioni differenziali con una o più variabili indipendenti possono contenere semplicemente una singola funzione, oppure (in un caso evidentemente più complicato e più implicito, che corrisponde alla differenziazione delle funzioni implicite simultanee) è possibile che sia determinare contemporaneamente diverse funzioni dal equazioni differenziali in cui si trovano uniti, insieme con i loro diversi derivati. È chiaro che un tale stato di questione presenta necessariamente una nuova difficoltà speciale, che di separare i diversi funzioni desiderate, formando per ciascuna, dalle equazioni differenziali proposti, un'equazione differenziale isolato che non contiene altre funzioni o loro derivati . Questo lavoro preliminare, che è analogo all'eliminazione di algebra, è evidentemente indispensabile prima di qualsiasi integrazione diretta, poiché non possiamo intraprendere generale (se non con artifici speciali che sono molto raramente applicabile) per determinare direttamente diverse funzioni distinte contemporaneamente.

Ora è facile stabilire l'esatta coincidenza e necessaria di questa nuova distinzione con il precedente quella rispettando l'ordine di equazioni differenziali. Sappiamo, infatti, che il metodo generale per funzioni isolare nelle equazioni differenziali simultanee consiste essenzialmente nella formazione di equazioni differenziali, separatamente per ogni funzione, e di un ordine pari alla somma di tutti quelli delle diverse equazioni proposti. Questa trasformazione può sempre essere effettuata. D'altra parte, ogni equazione differenziale di qualsiasi ordine in relazione ad una singola funzione può evidentemente essere sempre ridotto al primo ordine, introducendo un adeguato numero di equazioni differenziali ausiliari, contenente contemporaneamente i diversi derivati ??anteriori considerate nuove funzioni essere determinati. Questo metodo è, infatti, a volte stato effettivamente impiegato con successo, anche se non è quello naturale.

[grafico]


* L'unico caso importante di questa classe, che è stato finora completamente trattata è l'integrazione generale dei lineari equazioni di qualsiasi ordine qualunque, a coefficienti costanti. Anche questo caso infine dipende dalla risoluzione algebrica delle equazioni di un grado uguale all'ordine di differenziazione.

\



Ecco, dunque, sono due ordini necessariamente equivalenti di condizioni nella teoria generale di equazioni differenziali; la simultaneità di un numero maggiore o minore di funzioni, e la maggiore o minore dell'ordine di differenziazione di una singola funzione. Aumentando l'ordine delle equazioni differenziali, possiamo isolare tutte le funzioni; e, artificialmente moltiplicando il numero di funzioni, possiamo ridurre tutte le equazioni al primo ordine. Esiste, pertanto, in entrambi i casi, solo una e la stessa difficoltà da due diversi punti di vista. Ma, tuttavia possiamo concepire, questa nuova difficoltà è nondimeno reale, e costituisce nondimeno, per sua natura, una marcata separazione tra l'integrazione delle equazioni del primo ordine e che di equazioni di ordine superiore. Preferisco indicare la distinzione sotto quest'ultima forma come più semplice, più generale, e più logico.



Quadrature. Dalle considerazioni diverse che sono state indicate rispettando la dipendenza logica delle varie parti principali del calcolo integrale, vediamo che l'integrazione di formule differenziali esplicite del primo ordine e di una singola variabile è la base necessaria di tutte le altre integrazioni , che non riusciremo mai nell'effettuare ma finora come li riduciamo al caso elementare, evidentemente, l'unico che, per sua natura, è in grado di essere trattati direttamente. Questa semplice integrazione fondamentale è spesso indicato con il comodo espressione di quadrature, visto che ogni integrante di questo tipo, Sf (x) dx, può, infatti, essere considerato pari alla superficie di una curva, l'equazione di cui in co rettilinea -ordinates sarebbero i / f (x). Tale classe di domande corrisponde, nel calcolo differenziale, al caso elementare di differenziazione delle funzioni esplicite di una singola variabile. Ma la domanda integrale è, per sua natura, molto diverso complicato, e soprattutto molto più ampia rispetto alla domanda differenziale. Quest'ultimo è, infatti, necessariamente ridotta, come abbiamo visto, alla differenziazione delle dieci semplici funzioni, gli elementi di tutto che sono considerati nell'analisi. D'altra parte, l'integrazione di funzioni composti non necessariamente da quella dei semplici funzioni, ogni combinazione di cui può presentare particolari difficoltà rispetto al calcolo integrale. Risultati qui la portata naturalmente a tempo indeterminato, e il così vario complicazione della domanda di Quadra Tures, su cui, a dispetto di tutti gli sforzi di analisti, siamo ancora in possesso così poco conoscenza completa.

In decomposizione questa domanda, come è naturale, secondo le diverse forme che possono assumere il funzione derivata, distinguiamo il caso di algebriche funzioni e dei trascendentali funzioni.



L'integrazione dei trascendentali funzioni. L'integrazione veramente analitica di funzioni trascendenti è ancora molto poco avanzata, sia per esponenziale, o logaritmica, o circolari funzioni. Ma un numero molto limitato di casi di questi tre tipi sono ancora stati trattati, e quelli scelti tra le più semplici; e ancora i calcoli necessari sono nella maggior parte dei casi estremamente laboriosa. Una circostanza che dovremmo particolarmente notare nella sua connessione filosofica è che le diverse procedure di quadratura hanno alcuna relazione a qualsiasi vista generale di integrazione, e consistono di semplici artifici molto inccherent con l'altro, e molto numerosi, a causa del molto limitata misura di ciascuno.

Uno di questi artifici dovrebbe, tuttavia, qui essere notato che, senza essere in realtà un metodo di integrazione, è tuttavia notevole per la sua generalità; è il procedimento inventato da Jchn Bernoulli, e conosciuto sotto il nome di integrazione per parti, per mezzo del quale ogni integrale può essere ridotto ad un altro che a volte è risultato essere più facile da ottenere. Questa relazione ingegnoso merita di essere notato per un altro motivo, come aver suggerito la prima idea di quella trasformazione di integrali ancora sconosciute, che ha recentemente ricevuto una maggiore estensione, e di cui M. Fourier soprattutto ha fatto in modo nuovo e importante un utilizzo negli domande analitici prodotti dalla teoria di calore.

Integrazione di algebriche funzioni. Per quanto riguarda l'integrazione di funzioni algebriche, è più avanzata. Tuttavia, sappiamo appena qualche cosa in relazione irra funzioni aggiuntive, gli integrali dei quali sono stati ottenuti solo in casi estremamente limitati, in particolare rendendoli razionale. L'integrazione di funzioni razionali è finora l'unica teoria del calcolo integrale, che ha ammesso di essere trattati in modo veramente completo; in un punto logico di vista, si forma, quindi, la sua parte più soddisfacente, ma forse anche la meno importante. È anche essenziale osservazione, per havo una giusta idea di estrema imperfezione del calcolo integrale, che questo caso, limitata com'è, non è del tutto risolto tranne per quanto riguarda correttamente integrazione letta in modo astratto; per, in esecuzione, la teoria trova il suo progresso più frequentemente abbastanza fermato, indipendentemente della complicazione dei calcoli, dalla imperfezione di analisi ordinaria, visto che rende l'integrazione infine dipende dalla risoluzione algebrica delle equazioni, che limita notevolmente la sua uso.



Per comprendere in modo generale lo spirito delle diverse procedure che sono impiegati in quadrature, si deve osservare che, per loro natura, possono essere primitively fondate soltanto sulla differenziazione dei dieci semplici funzioni. I risultati di questo, al contrario considerati, stabilire come molti teoremi diretti del calcolo integrale, le sole che possono essere conosciuti direttamente. Tutta l'arte di integrazione successivamente consiste, come si è detto all'inizio di questo capitolo, nel ridurre tutti gli altri quadrature, per quanto possibile, a questo piccolo numero di elementari, che purtroppo siamo in molti casi incapaci di effetto .



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























Leggi eBook

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


1 Recensione
Modifica Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













ragionamento, deve essere fondata sulla sola osservazione, e che costituiscono la base necessaria di tutte le deduzioni.

La superiorità scientifica della geometria deriva dai fenomeni che ritiene essere necessariamente la più universale e il più semplice di tutti. Non solo possono tutti 'i corpi di natura dar luogo a indagini geometriche, così come quelle meccaniche, ma ancora più lontano, fenomeni geometrico esisterebbe ancora, anche se tutte le parti del dell'universo dovrebbero essere considerati come beni. La geometria è quindi, per sua natura, più generale meccanica. Allo stesso tempo, i suoi fenomeni sono più semplici, perché sono evidentemente indipendenti di fenomeni meccanici, mentre questi ultimi sono sempre complicato con i primi. Le stesse relazioni valgono nel confronto con la geometria termologia astratto.

Per queste ragioni, nella nostra classificazione mettiamo geometria prima parte del calcestruzzo matematica ; quella parte dello studio di cui, oltre alla sua propria importanza, serve come base indispensabile di tutto il resto.

Prima di considerare direttamente lo studio filosofico di diversi ordini di richieste che costituiscono la nostra geometria attuale, dovremmo ottenere una idea chiara e precisa della destinazione generale di che la scienza, visto in tutte le sue cuscinetti. Tale è l'oggetto di questo capitolo.

. Definizione geometria viene comunemente definito in modo molto vago e del tutto impropria, come la scienza di estensione. Un miglioramento su questo sarebbe dire che la geometria ha per oggetto la misura di estensione; ma una tale spiegazione sarebbe molto insufficiente, anche se, in fondo, corretta, e sarebbe molto da dare qualche idea del vero carattere generale della scienza geometrica.



Per fare questo, penso che dovrei prima spiegare due divertenti fon- idee, che, molto semplice in se stessi, sono stati singolarmente oscurate con l'impiego di considerazioni metafisiche.

L' idea di spazio. La prima è quella di spazio. Questa concezione consiste propriamente semplicemente nel fatto che, invece di considerare l'estensione nei corpi stessi, l'abbiamo vista in un mezzo indefinito, che noi consideriamo come contenente tutti gli organi della dell'universo . Questa nozione è naturalmente suggerito da osservazione, quando pensiamo di l'impressione che un corpo avrebbe lasciato in un fluido in cui era stato collocato. È evidente, infatti, che, per quanto riguarda le sue relazioni geometriche, tale impressione può essere sostituito per il corpo stesso, senza alterare i ragionamenti rispetto esso. Per quanto riguarda la natura fisica di questo indefinito spazio, siamo spontaneamente portati a rappresentare a noi stessi, ad essere del tutto analogo al mezzo reale in cui viviamo; in modo che se questo mezzo era liquido invece di gassosa, nostro geometrico spazio sarebbe certamente essere concepito come liquida. Questa circostanza è, del resto, solo molto secondario, l'oggetto essenziale di tale concezione essendo solo per farci consideriamo estensione separatamente dai corpi che si manifestano a noi. Possiamo facilmente capire in anticipo l'importanza di questa immagine fondamentale, poiché ci permette di studiare fenomeni geometrico in sé, astrazione essendo fatto di tutti gli altri fenomeni che li accompagnano costantemente in corpi reali, senza howover, esercitare alcuna influenza su di loro. La creazione regolare di questa astrazione generale deve essere considerato come il primo passo che è stato fatto nello studio razionale della geometria, che sarebbe stato impossibile se fosse stato necessario prendere in considerazione, insieme con la forma e la grandezza dei corpi, tutta la loro altre proprietà fisiche. L'uso di una tale ipotesi, che è forse la più antica concezione filosofica creato dalla mente umana, è diventata così familiare a noi, che abbiamo difficoltà esattamente valutare la sua importanza, cercando di apprezzare le conseguenze che deriverebbero dalla sua soppressione.



Diversi tipi di estensione. La seconda concezione geometrica preliminare che dobbiamo esaminare è quella di diversi tipi di estensione, designati dalla parole di volume, di superficie, la linea, e anche il punto, e di cui la spiegazione ordinaria è così insoddisfacente. *

Anche se è evidentemente impossibile concepire qualsiasi estensione assolutamente priva di una qualsiasi delle tre dimensioni fondamentali, è altrettanto incontestabile che, in un gran numero di volte, anche di utilità immediata, domande geometrici dipendono solo due dimensioni, considerati separatamente dal il terzo, o in una sola dimensione, considerati separatamente dagli altri due. Ancora una volta, indipendentemente di questo motivo diretta, lo studio di estensione con una sola dimensione, e poi con due, si presenta chiaramente come un preliminare indispensabile per facilitare lo studio dei corpi completi di tre dimensioni, la teoria immediata di cui sarebbe troppo com * Lacroix giustamente criticato l'espressione di solido, comunemente usato dai geometri per designare un volume. è certo, infatti, che quando vogliamo considerare separatamente una certa porzione di spazio indefinito, concepito come gassosa, abbiamo mentalmente solidificare il suo involucro esterno, in modo che una linea ed una superficie sono abitualmente, alla nostra mente, proprio come solido come un volume. può anche essere osservato che la maggior parte in genere, in modo che i corpi possono penetrare l'un l'altro con più facilità, siamo obbligati ad immaginare l'interno di i volumi di essere vuota, che rende ancora più sensibile la scorrettezza della parola tolid.



complicata. Questi sono i due motivi generali che obbligano geometri considerare separatamente estensione con riferimento ad una o due dimensioni, nonché relativamente a tutti e tre insieme.

I concetti generali di superficie e di linea sono stati formati dalla mente umana, in modo che possa essere in grado di pensare, in modo permanente, di estensione in due direzioni, oppure in uno solo. Le espressioni iperboliche abitualmente impiegati da geometri per definire queste nozioni tendono a trasmettere false idee su di loro; ma, ha esaminato in se stessi, non hanno altro scopo che per permetterci di ragionare con facilità rispetto di questi due tipi di estensione, rendendo completa astrazione di ciò che non deve essere preso in considerazione. Ora per questo è sufficiente concepire la dimensione che si vuole eliminare per diventare gradualmente più piccola, gli altri due rimanenti stesso, fino ad arrivare ad un tale grado di tenuity che non può più fissare l'attenzione. È così che abbiamo naturalmente acquisire la vera idea di una superficie, e, da una seconda operazione analoga, l'idea di una linea, ripetendo per ampiezza quanto avevamo dapprima fatto per spessore. Infine, se ancora una volta ripetere la stessa operazione, arriviamo all'idea di un punto, o di una estensione considerato solo con riferimento al suo posto, l'astrazione di essere fatto di tutto grandezza, e di conseguenza progettato per determinare le posizioni.

Superfici evidentemente hanno inoltre la proprietà generale di volumi esattamente circoscrivono; e allo stesso modo, linee, a loro volta, circoscrivono superfici e sono limitate da punti. Ma questa considerazione, a cui troppa importanza è dato spesso, è soltanto uno secondario.



Superfici e linee sono, quindi, in realtà, sempre concepiti con tre dimensioni; sarebbe, infatti, impossibile rappresentare a se stessi una superficie altrimenti che come una piastra estremamente sottile, e una linea altrimenti che come un filo infinitamente bene. È anche evidente che il grado di tenuity attribuito ogni individuo alle dimensioni dei quali desidera fare astrazione non è sempre identica, perché deve dipendere dal grado di sottigliezza dei suoi abituali osservazioni geometriche. Questa mancanza di uniformità ha, inoltre, non inconveniente reale, in quanto è sufficiente, in modo che le idee di superficie e di linea dovrebbero soddisfare la condizione essenziale della loro destinazione, per ognuno di rappresentare a se stesso le dimensioni che devono essere trascurati come essere più piccolo di tutti coloro la cui grandezza della sua esperienza quotidiana gli dà modo di apprezzare.

Noi quindi vediamo come priva di ogni significato sono le fantastiche discussioni dei metafisici sulle fondamenta della geometria. Va anche osservato che queste idee primordiali sono abitualmente presentati dai geometri in maniera non filosofica, poiché, ad esempio, spiegano le nozioni di diversi tipi di misura in un ordine assolutamente l'inverso della loro dipendenza naturale, che produce spesso più gravi inconvenienti in istruzione elementare.

L'oggetto finale DI GEOMETRIA.

Questi preliminari essendo stabilito, si può procedere direttamente alla definizione generale di geometria, continuando a concepire questa scienza come avente per oggetto finale misura di estensione.

E 'necessario in questa materia per andare in un approfondito


.
«Indietro Continua»




















Singular Solutions. In questa enumerazione sistematica delle varie parti essenziali del calcolo integrale, considerati nelle loro relazioni logiche, ho designedly neg
«Indietro Continua»




















[Errori OCR]
«Indietro Continua»


















Leibniz così felicemente eseguito, mezzo secolo più tardi, dopo alcune modifiche intermedie delle idee di Fermat introdotte da Wallis, e ancora di più di Barrow; e lui è stato quindi il vero creatore di analisi trascendente, come ad esempio che oggi impieghiamo esso. Questa scoperta ammirevole era così maturo (come tutte le grandi concezioni del dell'intelletto umano al momento della loro manifestazione), che Newton, dal canto suo, era arrivato, allo stesso tempo, o poco prima, ad un metodo esattamente equivalente, considerando questa analisi in un punto molto diverso di vista, che, anche se più logico in sé, è davvero meno atto a dare al metodo fondamentale comune tutta la portata e la funzione che sono stati impartita ad esso dalle idee di Leibnitz. Infine, Lagrange, vengano meno le considerazioni eterogenei che avevano guidato Leibnitz e Newton, è riuscita a ridurre l'analisi trascendente, nella sua massima perfezione, a un sistema puramente algebrico, che vuole solo più attitudine per le sue applicazioni pratiche.



Dopo questo sommario sguardo alla storia generale del dell'analisi trascendente, si procederà alla esposizione dogmatica dei tre concetti principali, al fine di conoscere esattamente le loro proprietà caratteristiche, e di mostrare l'identità necessaria dei metodi che sono là derivati. Cominciamo con quello di Leibnitz.

METODO DI Leibnitz. Infinitamente piccoli elementi. Questo consiste nell'introdurre nel calcolo, al fine di facilitare la creazione di equazioni, gli infinitamente piccoli elementi di cui tutte le quantità, i rapporti tra le quali sono ricercati, sono considerati da comporre. Questi elementi o dif ferentials avranno certe relazioni fra loro, che sono sempre e necessariamente più semplice e facile da scoprire quelli dei quantitativi primitive, e mediante dei quali saranno abilitati (da un calcolo speciale avente per oggetto peculiare l'eliminazione di questi infinitesimi ausiliari) per tornare alle equazioni desiderati, che sarebbe stato più frequentemente impossibile da ottenere direttamente. Questa analisi indiretta può avere diversi gradi di indirectness; per, quando c'è troppa difficoltà nel formare immediatamente l'equazione tra i differenziali di grandezze considerate, una seconda applicazione del medesimo artifizio generale dovrà essere realizzato, e tali differenziali essere trattata, a loro volta, come nuove quantità primitive , e un rapporto ricercato tra loro elementi infinitamente piccoli (che, con riferimento agli oggetti finali della questione, sarà secondo differenziali), e così via; la stessa trasformazione ammettendo di essere ripetuto un numero di volte, a condizione di fine eliminando il numero sempre crescente di quantità infinitesimali introdotte come ausiliari.



Una persona non ancora familiarità con queste considerazioni non percepisce immediatamente come l'impiego di queste quantità ausiliari possono facilitare la scoperta delle leggi di analisi di fenomeni; per i infinitamente piccoli incrementi di grandezze previste sono delle stesse specie con loro, sembrerebbe che le loro relazioni non devono essere ottenuti con più facilità, in quanto il valore maggiore o minore di un quantitativo non può, infatti, esercitare alcuna influenza sulla un'indagine che è necessariamente indipendenti, per sua natura, di ogni idea di valore. Ma è facile, tuttavia, per spiegare molto chiaramente, e in modo del tutto generale, quanto la questione deve essere semplificata tale artifizio. A questo scopo, è necessario iniziare distinguere diversi ordini di infinitamente piccole quantità, una precisa idea di ottenibili considerandoli come sia le successive potenze della stessa primitiva infinitamente piccola quantità, o come quantitativi che possono essere considerati come aventi rapporti finiti con questi poteri; di modo che, per fare un esempio, il secondo, terzo, ecc, differenziali di qualsiasi variabile sono classificati come infinitamente piccole quantità di secondo ordine, il terzo, e c, perché è facile da scoprire in loro multipli finiti di secondo, terzo, (kc, poteri di un certo differenziale primo. Queste idee preliminari stanno costituendo, lo spirito della dell'analisi infinitesimale consiste nel trascurare costantemente le quantità infinitamente piccole in confronto con quantità finite, e generalmente i infinitamente piccole quantità di qualsiasi ordine qualunque rispetto con tutti quelli di ordine inferiore. è insieme evidente quanto una tale libertà deve facilitare la formazione delle equazioni tra i differenziali di quantità, poiché, al posto di questi differenziali, possiamo sostituire questi altri elementi come si può scegliere, e come sarà più semplice da considerare, solo avendo cura di conformarsi a questa sola condizione, che i nuovi elementi differiscono dai precedenti solo quantità infinitamente piccole in confronto con loro. È così che sarà possibile, in geometria, per trattare le linee curve come composto di un'infinità di elementi rettilinei, superfici curve come formata di elementi piani, e, in meccanica, movimenti variabili come una serie infinita di moti uniformi, riuscendo uno un altro a infinitamente piccoli intervalli di tempo.



Esempi. Considerando l'importanza di questa concezione ammirevole, penso che dovrei qui per completare l'illustrazione del suo carattere fondamentale dall'indicazione sintesi di alcuni esempi principali.

1. . Tangenti Let It Be necessari per determinare, per ogni punto di una curva piana, l'equazione di cui viene data, la direzione della sua tangente; una domanda la cui soluzione generale era l'oggetto primitivo dei i inventare ors di analisi trascendentale. Considereremo th tangente come secante unisce due punti infinitamente vicini l'uno all'altro; e poi, viene designato per dy e dx infinitamente piccole differenze di coordinate di questi due punti, i principi elementari di geometria saranno sorve



dy diatamente dare l'equazione t = -r- per la trigonometrica

tangente di angolo che è fatta con l'asse delle ascisse la tangente desiderata, essendo questo il modo più semplice di fissare la posizione in un sistema di rettilinei coordinate. Questa equazione, comune a tutte le curve, sia stabilita, la questione si riduce ad un semplice problema analitico, che consisterà nell'eliminare lo infinitesimi dx e dy, che sono stati introdotti come ausiliari, determinando in ciascun caso particolare, per mezzo di equazione della curva proposto, il rapporto di dy per dx, che sarà costantemente fatto da uniforme e metodi molto semplici. 2. Soluzione di un arco. In secondo luogo, supponiamo che vogliamo conoscere la lunghezza di arco di qualsiasi curva, considerata come una funzione delle coordinate di sue estremità. Sarebbe impossibile stabilire un'equazione direttamente THT tra questo arco s e queste coordinate, mentre è facile trovare il rapporto relativo tra i differenziali di queste diverse grandezze. I più semplici teoremi di geometria elementare saranno infatti dare in una sola volta, considerando i infinitamente piccolo arco ds come una linea a destra, le equazioni

ds t = dy t + dx \ o ds i = dx t + dy 1 J R dz t , a seconda che la curva è di curvatura singolo o doppio. In entrambi i casi, la questione è ora interamente all'interno del dominio di analisi, che, con l'eliminazione dei differenziali (che è l'oggetto peculiare del calcolo



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























eBook - GRATIS

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


0 , pacchetti
Scrivi Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













funzioni indiretti), ci porteranno indietro da questa relazione a quello che esiste tra le quantità finite stessi in esame.

3. Quadratura di una curva. Sarebbe lo stesso con la quadratura delle aree curvilinee. Se la curva è un piano uno, e di cui rettilinee coordinate, noi concepire l'area A compresa tra questa curva, l'asse delle ascisse, e due estremi coordinate, per aumentare di una quantità infinitamente piccola dA, come il risultato di un corrispondente incremento di ascissa. La relazione tra queste due differenziali può essere immediatamente ottenuta con grande facilità sostituendo l'elemento curvilineo della zona proposto rettangolo formato dalla estrema ordinata e l'elemento di ascisse, da cui evidentemente differisce solo per una quantità infinitamente piccola di il secondo ordine. In questo modo in una volta dare, qualunque sia la curva, il molto semplice equazione differenziale

dA. = YDX, dal quale, quando viene definita la curva, il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre l'equazione finita, che è l'oggetto immediato del problema.

4. Velocità in Variable movimento. Allo stesso modo, in Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.



5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.

Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.

E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.



Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per

Q



lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.

Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.

All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.



Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.

Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
«Indietro C



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























eBook - GRATIS

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


0 , pacchetti
Scrivi Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













zione è senza dubbio strettamente sufficiente a dissipare ogni incertezza circa il legittimo impiego di analisi di Leibnitz. Ma il metodo infinitesimale è così importante, che offre ancora, in quasi tutte le sue applicazioni, una superiorità tale pratica negli altri concetti generali che sono stati successivamente proposti, che ci sarebbe stata una vera e propria imperfezione nel carattere filosofico della scienza se si potesse non giustificarsi, e aveva bisogno di essere logicamente fondata su considerazioni di un altro ordine, che sarebbe poi cessa di essere impiegato.

Era, quindi, di estrema importanza per stabilire direttamente e in maniera generale la necessaria razionalità del metodo infinitesimale. Dopo vari tentativi più o meno imperfetta, geometra distinta, Carnot, presentato finalmente la vera spiegazione logica diretta del metodo di Leibnitz, mostrando di essere fondato sul principio della necessaria compensazione di errori, questo essere, infatti, la manifestazione precisa e luminosa di ciò che Leibniz aveva vagamente e confusamente percepito. Carnot ha così reso la scienza un servizio essenziale, anche se, come vedremo verso la fine di questo capitolo, tutto questo impalcature logico del metodo infinitesimo, propriamente detta, è molto probabilmente suscettibile di soli esistenza provvisorio, in quanto è radicalmente vizioso nella sua natura. Tuttavia, non dobbiamo mancare di notare il sistema generale di ragionamento proposto da Carnot, al fine di legittima direttamente all'analisi di Leibnitz. Ecco la sostanza di esso:

Nello stabilire l'equazione differenziale di un fenomeno, sostituiamo, per gli elementi immediati di diverse grandezze considerate, altri infinitesimi più semplici, che differiscono da loro infinitamente piccolo in confronto con loro; e questa sostituzione costituisce l'artificio principale del metodo di Leibnitz, che senza di essa avrebbe posseduto reale impianto per la formazione di equazioni. Carnot riguarda tale ipotesi come realmente producendo un errore nell'equazione così ottenuta, e che per questo si chiama imperfetta , solo, è chiaro che questo errore deve essere infinitamente piccola. Ora, invece, tutte le operazioni di analisi, sia di differenziazione o di integrazione, che sono eseguiti su queste equazioni differenziali, al fine di sollevare le equazioni finite eliminando tutti gli infinitesimi introdotte come ausiliari, produrre costantemente , per loro natura, come è facilmente visibile, altri errori analoghi, in modo che una compensazione esatta avviene, e le equazioni finali, nelle parole di Carnot, diventa perfetta. visite Carnot, come indicazione certa ed invariabile della effettiva costituzione di questa compensazione necessaria, l'eliminazione completa dei vari infinitamente piccole quantità, che è sempre, infatti, l'oggetto finale di tutte le operazioni di analisi trascendente; perché se abbiamo commesso nessun altro infrazioni delle regole generali del ragionamento di quelli quindi preteso dalla natura stessa del metodo infinitesimale, gli infinitamente piccoli errori così prodotti non possono aver generato diverso infinitamente piccoli errori in tutte le equazioni, e le relazioni sono necessariamente di un'esattezza rigorosa appena esistono tra quantità finite sola, poiché i soli errori le possibili devono essere quelli finiti, mentre nessuno quali può essere inserito. Tutto questo ragionamento generale si fonda sulla concezione di quantità infinitesimali, considerato indefinitamente diminuendo, mentre quelli da cui sono derivati ??sono considerati fisso.






Illustrazione per tangenti. Così, per illustrare questa esposizione estratto da un solo esempio, prendiamo nuovamente la questione di tangenti, che è il più facile da un

dy alyze completamente. Noi considerare l'equazione t = -,
ottenuto sopra, come essere colpiti con un infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.






dy
t = -, dy-2axdx,
ascia



essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.

Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.

Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.



Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, che ho appositamente soffermati perché ammette di essere più facilmente comprensibile nel suo complesso, e il più rapidamente descritto.

METODO DI NEWTON.

Newton ha successivamente presentato il suo proprio metodo di concepire l'analisi trascendentale sotto diverse forme. Ciò che è attualmente il più comunemente adottata è stato designato da Newton, a volte sotto il nome del del metodo di primo e ultimo Ra tios, a volte sotto quella della il metodo di limiti.

Metodo di limiti. Lo spirito generale di analisi trascendente, da questo punto di vista, consiste nell'introdurre come ausiliari, al posto dei quantitativi primitive, o in concomitanza con essi, al fine di facilitare la creazione di equazioni, i limiti di della ra tios di incrementi simultanei di queste quantità; o, in altre parole, le finali rapporti di tali incrementi; limiti o rapporti finali che possono essere facilmente dimostrato di avere un determinato e valore finito. Un calcolo speciale, che è l'equivalente del calcolo infinitesimale, viene quindi impiegata per passare le equazioni tra questi limiti alle corrispondenti equazioni tra le quantità primitive stessi.



La potenza che è dato da una tale analisi, di esprimere con più facilità le leggi matematiche di fenomeni, dipende in generale su questo, che, poiché il calcolo si applica, non alle stesse incrementi delle quantità proposte, ma per i limiti di rapporti di tali incrementi, possiamo sempre sostituiamo per ogni incremento qualsiasi altra grandezza più facile da esaminare, a condizione che il loro rapporto finale è il rapporto di uguaglianza, o, in altre parole, che il limite del loro rapporto è unità. È evidente, infatti, che il calcolo dei limiti sarebbe in alcun modo limitati da questa sostituzione. Partendo da questo principio, troviamo quasi equivalente dei servizi offerti dall'analisi di Leibnitz, che vengono poi semplicemente concepiti sotto un altro punto di vista. Così curve vengono considerati come i limiti di una serie di poligoni rettilinei, moti variabili come i limiti di una raccolta di moti uniformi di durate costantemente decrescenti, e così via.

. Esempi 1. . Tangenti Supponiamo, per esempio, che vogliamo determinare la direzione della tangente ad una curva; considereremo come il limite verso che tenderebbe a secante, che dovrebbe ruotare attorno al punto in modo che il secondo punto di intersezione debba indefinitamente avvicinarsi alla prima. Rappresentando le differenze di coordinate dei due punti di Ay e Ax, avremmo in ogni istante, per la tangente trigonometrica del dell'angolo che la secante forma con l'asse di ascisse,

Ay Ax ! Da cui, prendendo i limiti, si otterrà, relativamente alla tangente in sé, questa formula generale di analisi trascendente, ._. Ay





Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























eBook - GRATIS

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


0 , pacchetti
Scrivi Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente

Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo

- = + 2AX AAX.

ASCIA

Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:

\ AX / \ AX /

\ AX / \ AXJ \ AX /

secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.



Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.

Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.

Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.

Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il fluxion delle ascisse saremo costante, come l'elemento di tempo; per tutte le altre quantità generate, il movimento non può essere concepito per essere uniforme, ad eccezione di un infinitamente piccolo tempo. Ora la velocità essendo in generale secondo la sua concezione meccanica, il rapporto di ogni spazio al tempo impiegato in attraversarlo, e questa volta essere qui proporzionale all'incremento di ascissa, ne consegue che la flussioni di dell'ordinata, della dell'arco , della zona, ecc, sono davvero niente altro (respingendo l'esame intermedio di tempo) rispetto ai rapporti finali di incrementi di queste quantità diverse per l'incremento delle ascisse. Questo metodo di flussioni e fluenti è, quindi, in realtà, solo un modo di rappresentare, da un confronto in prestito dalla meccanica, il metodo di rapporti di primi e ultimi, che sola può essere ridotto a un calcolo. È evidente, quindi, offre gli stessi vantaggi generali in varie applicazioni principali di analisi trascendente, senza che sia necessario presentare prove speciali di questo.

[grafico]






METODO DI Lagrange.

Derivati ??funzioni. La concezione di Lagrange, nella sua semplicità ammirevole, consiste nel rappresentare l'analisi trascendente come un grande artifizio algebraio, per cui, al fine di facilitare la creazione di equazioni, si introduce, in luogo delle funzioni primitive, o contemporaneamente con loro, loro derivati ??funzioni; cioè, secondo la definizione di Lagrange, il coefficiente del primo termine del dell'incremento di ciascuna funzione, disposte secondo i poteri ascendenti del l'incremento della sua variabile. La speciale calcolo di funzioni indirette ha per oggetto costante, anche qui, come nelle concezioni di Leibnitz e di Newton, per eliminare questi derivati ??che sono stati quindi impiegati come ausiliari, al fine di dedurre dalle loro relazioni corrispondenti equazioni tra il primitivo grandezze.

Una estensione di ordinaria Analisi. L'analisi trascendentale è, dunque, nient'altro che un semplice anche se molto notevole estensione di analisi comune. Geometri sono stati a lungo abituati ad introdurre nelle indagini analitiche, al posto delle grandezze stessi che desideravano studiare, loro differenti potenze, o loro logaritmi, o loro seni, ec, per semplificare le equazioni, e anche per ottenerli più facilmente. Questa successiva derivazione è un artificio della stessa natura, solo di maggiore estensione, e procurarsi, di conseguenza, molto più importante delle risorse per questo oggetto comune.

Ma, anche se facilmente si può concepire, un priori, che la considerazione ausiliario di questi derivati ??può FA cilitare la creazione di equazioni, non è facile spiegare perché questo deve necessariamente seguire questa modalità di derivazione piuttosto che da qualsiasi altra trasformazione. Tale è il punto debole della grande idea di Lagrange. I vantaggi precisi di questa analisi non possono ancora essere afferrati in modo astratto, ma mostrati solo considerando separatamente ciascuna questione principale, in modo che la verifica è spesso estremamente laborioso.



Esempio. Tangenti. Questo modo di concepire l'analisi trascendente può essere meglio illustrata dalla sua applicazione alla più semplice dei problemi sopra esaminati, cioè di tangenti.

Invece di concepire tangente come il prolungamento della infinitamente piccolo elemento di curva, secondo il concetto di Leibnitz, o come il limite delle le secanti, secondo le idee di Newton-Lagrange ritiene, secondo il suo carattere semplice geometrica, analoga alle definizioni di antichi, per essere una linea retta tale che nessuna altra linea destra può passare attraverso il punto di contatto tra essa e la curva. Quindi, per determinare la sua direzione, dobbiamo cercare l'espressione generale della sua distanza dalla curva, misurata in qualsiasi direzione qualunque-in che del ordinata, per esempio, e disporre della costante arbitraria relativa alla inclinazione della linea di destra, che necessariamente entrare in tale espressione, in modo tale da diminuire la separazione il più possibile. Ora questa distanza, essendo evidentemente pari alla differenza delle due coordinate della curva e della linea di destra, che corrispondono allo stesso nuovo ascissa x + h, sarà rappresentato dalla formula

(FHX) -t) h + QH, i + rh, 3 + etc, in cui t indica, come sopra, la trigonomet sconosciuta
«Indietro Continua»



Giacinto




























































































































































































Gli Utenti Che utilizzano screen reader tariffa possono clic collegamento this do per Attivare la Modalità di accessibilità. This Modalità Presenta le stesse FUNZIONI Principali, ma risulta maggiormente compatibile con il lettore.


Libri




Filosofia della matematica
























eBook - GRATIS

TROVA this libro Nella versione stampata




AbeBooks.it


TROVA in biblioteca Una
Tutti i venditori »






copertina anteriore


0 , pacchetti
Scrivi Recensione



Filosofia della matematica
Di Auguste Comte







Informazioni su this libro


Termini di Servizio














Immagini della pagina

PDF

ePub













tangente Rical del dell'angolo che la riga desiderata forma con l'asse di ascisse, e f '{x) la funzione derivata della ordinata f (x). Questo fermo restando, è facile vedere che, disponendo di t modo per fare il primo termine della formula precedente uguale a zero, noi rendere l'intervallo tra le due linee il meno possibile, in modo che qualsiasi altra linea for'Which t non aveva il valore così determinato necessariamente discostarsi più lontano dalla curva proposta . Abbiamo, quindi, per la direzione della tangente ricercato, l'espressione generale t = f '(x), un risultato esattamente equivalenti a quelle fornite dal metodo infinitesimale e il metodo di limiti. Dobbiamo ancora trovare f '(x) in ciascuna curva particolare, che è una semplice questione di analisi, del tutto identica a quelli che sono presentati, in questa fase delle operazioni, con gli altri metodi. Dopo queste considerazioni al momento i principali concetti generali, non dobbiamo fermarci ad esaminare alcune altre teorie proposte, come ad esempio di Eulero Calcolo di Vanishing quantità, che sono davvero modificazioni più o meno importanti, e, inoltre, non sono più utilizzati -di metodi precedenti .

Devo ora di stabilire il confronto e l'apprezzamento di questi tre metodi fondamentali. La loro per fetto e necessaria la conformità è il primo ad essere provata in modo generale.

Identità fondamentale DEI TRE METODI.

È, in primo luogo, risulta da quanto precede, considerando questi tre metodi come la loro destinazione effettiva, indipendentemente delle loro idee preliminari, che tutti consistono nello stesso artifici logico generale, che è stato caratterizzato nel primo capitolo; cioè, l' introduzione di un certo sistema di grandezze ausiliarie, avere rapporti uniformi a quelle che sono gli oggetti speciali di dell'indagine, e sostituiti loro espressamente per facilitare l'espressione analitica delle leggi matematiche dei fenomeni, anche se hanno infine essere eliminati con l'aiuto di un calcolo speciale. È questo che mi ha determinato per definire regolarmente all'analisi trascendente come il calcolo della indiretti FUNC zioni, per marcare il suo vero carattere filosofica, allo stesso tempo evitando ogni discussione sul miglior modo di concepire e applicazione. L'effetto generale di questa analisi, qualunque sia il metodo impiegato, è, quindi, per portare ogni domanda matematica molto più rapidamente all'interno del potere di l' calcolo, e quindi di diminuire notevolmente la grave difficoltà che di solito è presentato dal passaggio dal concreto l'astratto. Qualunque sia il progresso noi possiamo fare, non possiamo mai sperare che il calcolo sarà mai in grado di cogliere tutte le domande di natura filosofia, geometrica, o meccanico, o thermological, ecc, immediatamente dopo la sua nascita, il che, evidentemente, comporta una contraddizione. Ogni problema sarà costantemente richiederà un certo lavoro preliminare da eseguire, in cui il calcolo può essere di alcun aiuto, e che, per sua natura, non può essere sottoposto a regole astratte e invariabili; è quella che ha per oggetto speciale la creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati ??equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.






Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati ??FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile



per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel

dx

Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come

Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange

ASCIA

indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.

VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.

Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.

Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di

H



equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.

Filosofia della matematica...Filosofia della matesis...metafisica della mathesix...creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati ??equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.






Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati ??FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile



per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel

dx

Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come

Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange

ASCIA

indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.

VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.

Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.

Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di

H



equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.Filosoa della matematica
Anno 2009-10
Il programma di Hilbert, e Godel (1900-1931)
INDICE
Presentazione 1
L0Europa e lamatematica all0inizio del Novecento 5
La nuova logica: Scienza o immagine speculare del mondo? 13
Il metodo assiomatico 19
Avventure di una parola 43
Heidelberg; 1904 57
Definitheit 67
Il teorema di Lowenheim ?? Skolem 85
Il teorema di completezza 99
Il programma di Hilbert 127
Presentazione
Ma la cosa strana e appunto che con quei valori immaginari
o in qualche modo impossibili si possano tuttavia compiere
le ordinarie operazioni e alla ne ottenere un risultato tangibile! . . .
Non ti fa pensare a un ponte di cui ci sono solo i pilastri a un capo e all'altro,
e che uno attraversa tranquillo come se ci fosse tutto intero?
Io non ho mai messo in dubbio che la matematica abbia ragione;
solo mi sembra strano che certe volte, si direbbe, va contro la ragione . . .
Robert Musil
Lo scopo del corso e di studiare i problemi e le ricerche che nel periodo indicato
hanno portato alla costituzione della logica matematica contemporanea.
Il cosiddetto programma di Hilbert ha svolto un ruolo decisivo catalizzando,
per la formazione degli strumenti necessari per la sua realizzazione, un ampio
spettro di contributi e interessi.
Nella tradizione storiograca si traccia una linea che va da Frege a Russell,
magari accostandovi quella di Boole e Peano, e che porta sia alla invenzione
dei linguaggi simbolici formali e del sistema logico dei Principia mathematica
sia alla nascita della losoa analitica. La logica del primo e del secondo
ordine sarebbero ritagliate dalla logica dei Principia. Si tratta di un racconto
fuorviante e infedele, dovuto piu che altro alla ignoranza della storia della
matematica, a sua volta dovuta al pregiudizio che non possa esservi nulla di
losocamente interessante.
Senza voler sminuire l'importanza della faticosa elaborazione della teoria
dei tipi da parte di Russell1, la logica che viene presentata nel primo manuale
contemporaneo, i Grundzuge der theoretischen Logik di David Hilbert
e Wilhelm Ackermann del 1928 nonostante la parentela con quella di Russell
ha alle spalle una storia diversa, se pure non disgiunta e non insensibile
1Godel nel 1931 fara riferimento proprio ai Principia mathematica, che con la teoria
di Zermelo era uno dei due sistemi allora ritenuti onnicomprensivi di tutta la matematica
esistente. Godel piu precisamente aerma ivi nell'introduzione che nei due sistemi sono
incluse tutte le tecniche e le forme dimostrative della matematica. Apparentemente questo
gli farebbe gioco per dare un signicato assoluto al risultato di impossibilita, ma Godel non
segue questa strada, anzi e consapevole (in una discussione con Zermelo ad esempio) che
il risultato dipende dall'uso di metodi dimostrativi ristretti. Questi concetti e apparenti
incongruenze dovranno risultare chiarite alla ne del nostro studio.
1
alle in uenze del logicismo2 . Le sue radici aondano in due problematiche
indipendenti e interne alla matematica, quella della assiomatizzazione della
teoria degli insiemi e quella della particolare proposta fondazionale che
Hilbert ha iniziato a concepire nel 1904 e ha ripreso in modo esplicito e sistematico
a partire dal 1917, partendo dalla sua visione della natura e del ruolo
del metodo assiomatico.
Lo sviluppo del corso sara dunque, in un conciso riassunto, il seguente.
Innanzi tutto si presenteranno le questioni fondazionali sul tappeto all'inizio
del Novecento, che si possono distinguere in due sde. Da una parte la
richiesta di Hilbert di dimostrare la non contraddittorieta3 della teoria dei
numeri reali, che egli aveva presentato assiomaticamente nel 1900; dall'altra
la necessita di risolvere le contraddizioni emerse nella teoria degli insiemi
sviluppata da Georg Cantor (1845-1918).
La teoria degli insiemi verra assiomatizzata nel 1908 da Ernst Zermelo
(1871-1953); un aspetto insoddisfacente del suo sistema consisteva nell'uso
della nozione di \proprieta denita" [denit] nell'assioma di esistenza dei
sottoinsiemi. I tentativi di darne una versione precisa portarono, attraverso
il lavoro di Hermann Weyl (1885-1955) e di Thoralf Skolem (1887-1963) a
individuare quelle che diventeranno le formule dei linguaggi del primo ordine.
Intanto, le contraddizioni possibili con i concetti insiemistici dei numeri
cardinali e ordinali erano note a Cantor, Hilbert stesso e Zermelo almeno a
partire dal 1895. Le loro reazioni non furono isteriche: Cantor pensava che
fossero evitabili con opportune distinzioni4; Hilbert vi vedeva inizialmente
solo il segno della impossibilita di assiomatizzare la teoria. Quando tuttavia
nel 1903 Russell pubblico la sua antinomia, Hilbert ritenne che il problema
dovesse essere arontato per le corna; nel 1904 propose un modo di fondare
assiomaticamente la logica e l'aritmetica attraverso una dimostrazione diretta
di non contraddittorieta.
Per dimostrare la non contraddittorieta assoluta di una teoria non si ha
a disposizione il metodo che si sfrutta per la non contraddittorieta relativa,
2Le somiglianze appaiono forti se, seguendo l'abitudine di Russell, si lasciano cadere i
simboli di tipo, rispettando solo mentalmente i loro vincoli; la precisione formale peraltro,
per quel che riguarda assiomi e regole, non era il forte di Russell. Godel esprimera la sua
delusione per l'approssimazione della presentazione della logica nei Principia
3In italiano sinonimi di non contraddittorieta sono \coerenza" e \consistenza", quest'ultima
parola molto usata e (perche) tuttavia derivata per assonanza dall'inglese consistency
e in italiano di signicato non univoco.
4Tra insiemi \compiuti" [fertig] e no, o in seguito tra totalita consistenti e inconsistenti.
2
quello cioe di interpretare la teoria in un'altra supposta gia non contraddittoria
5. A ne Ottocento i successivi rimandi avevano portato tutte le teorie
classiche a essere dipendenti, per la loro non contraddittorieta, da quella dell'aritmetica.
Una dimostrazione di non contraddittorieta assoluta non puo
basarsi che sulla denizione secondo cui una teoria e non contraddittoria se
dai suoi assiomi non si deriva alcuna contraddizione.
Una dimostrazione di non contraddittorieta deve essere una dimostrazione
relativa a dimostrazioni, cioe a successioni di formule e di frasi. Perche essa
sia una vera dimostrazione matematica, i suoi oggetti devono essere enti
matematici; Hilbert pensava di poter aermare che i simboli sono oggetti
concreti, e quindi assoggettabili a manipolazioni combinatorie matematiche.
Nel 1904 David Hilbert (1862-1943) diede solo un esempio di una tale
dimostrazione di non contraddittorieta per un frammento molto semplice di
aritmetica. Quando negli anni venti riprese il suo programma, questa volta
in reazione agli attacchi dell'intuizionismo alla matematica classica, il lavoro
della sua scuola, con i contributi esterni di Skolem, incomincio ad accumulare
risultati che diventeranno il nucleo della teoria logica, dall'esistenza dei
modelli numerabili ad anticipazioni del teorema di completezza logica (Godel
1930). Alla ne degli anni venti, una discussione tra Skolem e Zermelo metter
a in chiaro la dierenza tra l'uso della logica del primo ordine e quella del
secondo ordine per lo sviluppo della teoria degli insiemi.
Hilbert pensava a una nuova disciplina, che chiamo \metamatematica",
che avrebbe arontato con il metodo da lui indicato diverse questioni \di
tipo gnoseologico" sulle dimostrazioni. Tale disciplina non decollava tuttavia,
nonostante risultati parziali, forse perche era attardata dalla costruzione
hilbertiana della logica stessa6 o forse proprio per l'ambiguita sulla natura
matematica dei simboli, che si ri etteva sugli strumenti matematici ammissibili;
no a quando Kurt Godel (1906-1978) non ebbe l'idea di dichiarare che
i simboli sono numeri.
Magari non si sa che cosa sono i numeri, ma certo sono enti matematici
ai quali si possono applicare tutte le risorse dell'aritmetica, opportunit
a che Godel mise subito a frutto dimostrando due teoremi che aossa-
5Cos ad esempio di dimostra la non contraddittorieta relativa reciproca della geometria
euclidea e di quella non euclidea, o la non contraddittorieta relativa della geometria euclidea
rispetto alla teoria dei numeri reali, attraverso la interpretazione data dalla geometria
analitica.
6Vedremo come Hilbert perfezionasse progressivamente lo strumento logico.
3
vano le speranze di Hilbert di una dimostrazione di non contraddittorieta
dell'aritmetica.
L'idea che i simboli sono numeri per diventare operativa richiede che si
dimostri che le usuali manipolazioni sintattiche (ad esempio la congiunzione
di due frasi) sono in eetti operazioni aritmetiche. Godel lo fece, con una
trattazione che viene chiamata aritmetizzazione (dei linguaggi), mettendo le
basi della possibilita oggi nota a tutti di elaborare su un calcolatore, che
lavora con i numeri in rappresentazione binaria, qualunque discorso relativo
a qualunque argomento, scientico o letterario. Questa e stata la parte decisiva
del suo lavoro, con la quale ha dimostrato che il progetto di Hilbert
di una metamatematica era possibile. Nel contempo, con un'altra ingegnosa
soluzione, Godel stesso dimostrava l'opposto di quelle che erano le aspettative
di Hilbert. Tuttavia una previsione, o una speranza sbagliata su quello
che sara possibile dimostrare non incia il valore di un pensatore.
Dopo il 1931 si continuera naturalmente a discutere se il programma di
Hilbert, inteso restrittivamente come ricerca di una dimostrazione di non
contraddittorieta per l'aritmetica, sia davvero stato aossato da Godel, o se
possa essere resuscitato, opportunamente riformulato, o modicato; Godel
stesso contribuira alla discussione7. Ma e fuori di dubbio che nella forma
originaria e stato falsicato nello stesso momento che se ne dimostrava la
fattibilita attraverso l'aritmetizzazione. Il programma di Hilbert non vive
tuttavia solo quest'attimo fuggente: le tecniche e le dimostrazioni di Godel,
piu che l'enunciato dei suoi teoremi, costituiranno la base della nascita della
teoria della calcolabilita e dei calcolatori.
La prima parte delle lezioni sara dedicata alla storia, sopra accennata, delle
questioni fondazionali e della precisazione dei concetti della logica del primo
ordine; la seconda parte sara una esposizione dettagliata della dimostrazione
di Godel.
7In particolare, oltre alle osservazioni immediatamente a ridosso del teorema, con \Uber
eine bisher noch nicht benutze Erweiterung des niten Standpunktes", Dialectica, 12, 1958,
pp. 280-7; trad. it. in Opere, vol. 2, Bollati Boringhieri, Torino, 2002, pp. 245-50.
4
L'Europa e la matematica all'inizio del Novecento
Alla ne dell'Ottocento e nei primi anni del Novecento molti matematici si
dedicano alla manutenzione della loro disciplina o, per usare parole diventate
comuni, a problemi di fondamenti, in modo piu esplicito e dedicato di quanto
e avvenuto in altre epoche nelle quali si sono dovuti arontare dicolta
dovute all'emergere di fenomeni inaspettati e all'esigenza di costruire un quadro
coerente entro cui darne ragione. Due episodi noti del passato sono la
scoperta delle grandezze incommensurabili nell'antica Grecia e l'intervento
degli innitesimi nelle prime formulazioni del calcolo innitesimale1.
Nell'Ottocento la matematica vive una crisi di crescita, o di abbondanza,
che e parte ed elemento attivo del piu generale impetuoso sviluppo della
societa europea. Per dare un'idea a chi non sia esperto, si potrebbe dire che
all'inizio del secolo la matematica era piu o meno quella che oggi si studia
nella scuola secondaria (a parte i risultati piu avanzati dell'analisi), alla ne
del secolo era quella che oggi si studia all'universita.
La reazione alla crescita, in campo matematico, e straordinariamente simile
a quella che si manifesta nella societa e nella cultura. I testimoni piu
sensibili dei cambiamenti sociali sono gli artisti e gli scrittori. Se consideriamo
i paesi di lingua tedesca, la Germania e l'impero austro-ungarico, sia
perche sono quelli dove lo sviluppo economico e stato piu forte, soprattutto
dal punto di vista del collegamento con i progressi scientici, sia perche le
vicende di cui vogliamo interessarci hanno l il loro centro2, abbiamo un romanziere
che osserva con acuta comprensione le vicende della societa e dello
spirito, Robert Musil (1880-1942). La vita moderna basata sulla tecnologia
guidata dalla scienza prende forma in quegli anni.
Supponendo che uno fosse venuto al mondo nel 1871, anno di
nascita della Germania, costui, arrivato sui trent'anni, avrebbe
1I greci reagirono non arontando direttamente il problema, ma elaborando con Eudosso
ed Euclide la teoria delle proporzioni, nella quale consideravano solo i rapporti tra
grandezze, commensurabili o incommensurabili tra loro. I fondatori del calcolo innitesimale
furono costretti alla discussione, sia perche provocati da critiche come quelle del
vescovo Berkeley, sia perche l'uso disinvolto degli innitesimi (come anche quello delle serie
innite) portava anche a risultati paradossali o contraddittori. Non trovarono tuttavia
una risposta se non nel corso dell'Ottocento con soluzioni che si inseriscono in sviluppi che
portano proprio alla congiuntura che vogliamo considerare.
2Nella universita di Gottingen dove lavora Hilbert, a Vienna dove studiera Godel.
5
gia potuto accorgersi che nel corso della sua esistenza la lunghezza
della rete ferroviaria europea era triplicata e in tutto il mondo piu
che quadruplicata, il traco postale si era moltiplicato per tre, le
linee telegrache addirittura per sette; e molte altre cose si erano
sviluppate nello stesso senso.
L'ecacia dei motori era cresciuta dl 50 al 90 per cento; nello
stesso periodo la lampada a petrolio era stata progressivamente
sostituita dall'illuminazione a gas, dalla luce di Auer e dall'elettricit
a che produce sempre nuovi sistemi di illuminazione; le
carrozze a cavalli, che avevano resistito per millenni, dalle automobili;
e gli aeroplani non solo erano venuti al mondo, ma erano
gia usciti dall'infanzia.
Anche la durata media della vita si era sensibilmente alzata grazie
ai progressi della medicina e dell'igiene, e le relazioni fra i
popoli dal tempo dell'ultimo con itto armato si erano fatte considerevolmente
piu amichevoli e duciose. L'uomo che viveva tali
esperienze poteva ben credere che si fosse nalmente giunti al tanto
atteso progresso durevole dell'umanita, e chi non lo riterrebbe
normale, trattandosi dell'epoca in cui lui stesso e al mondo?3
Queste trasformazioni materiali sono accompagnate da una esplosione culturale
in tutti i campi, scienza, letteratura, arte, scienze dello spirito. L'inizio
del Novecento e un periodo di grande euforia.
[d]alla mentalita, liscia come l'olio, degli ultimi due decenni del
secolo diciannovesimo era insorta improvvisamente in tutta l'Europa
una febbre vivicante. Nessuno sapeva bene cosa stesse
nascendo; nessuno avrebbe potuto dire se ne sarebbe stata una
nuova arte, un uomo nuovo, una nuova morale o magari un nuovo
ordinamento della societa.4.
Musil descrive la Vienna degli anni che precedono la prima guerra mondiale,
la Vienna che era il centro culturale del mondo e dove si espressero,
in contemporanea o a pochi anni di distanza Mahler, Schonberg, Klimt,
3R. Musil, L'uomo senza qualita, 1930, 1933, vol. II, Mondadori, p. 713. Le successive
citazioni sono tratte dalla stessa fonte.
4Il \grande evento", che sta per nascere ma nessuno se ne e accorto, e l'obiettivo della
Azione Parallela in L'uomo senza qualita.
6
Schiele, Freud, Wittgenstein, Loos, Krauss e tanti altri5. Ricordare questi
nomi signica gia alludere al carattere fratturato dello spirito del tempo,
un misto di creativita e di insoerenza che si manifestava nella prevalenza
dell'immaginazione e dell'irrazionale, nella scoperta dell'inconscio.
Lo stesso apprezzamento della scienza aveva una venatura irrazionale:
Quasi tutti gli uomini oggi si rendono ben conto che la matematica
e entrata come un demone in tutte le applicazioni della vita
. . . 6
Se e attuazione di sogni ancestrali il poter volare con gli uccelli e
navigare con i pesci, penetrare nel corpo di gigantesche montagne,
inviare messaggi con la rapidita degli dei, scorgere e udire cio che e
invisibile e lontano, sentir parlare i morti . . . se luce, calore, forza,
godimento, comodita sono i sogni primordiali dell'uomo, allora la
ricerca odierna non e scienza soltanto: allora e anche magia, e un
rito di grandissima forza sentimentale e intellettuale, che induce
Dio a sollevare l'una dopo l'altra le pieghe del suo manto, una
religione la cui dogmatica e retta e penetrata dalla dura, agile,
coraggiosa logica matematica, fredda e tagliente come una lama
di coltello.
Il grande evento febbrilmente atteso e stato il macello della grande guerra.
Anticipato da inquietudini, disagio, paura, immotivate se non da un senso
quasi di colpa per l'eccesso di ricchezza, e dalla preoccupazione che il sogno
non potesse durare.
E
dicile descrivere in poche parole l'aspetto fondamentale di
quelle debolezze [di uno spirito abbandonato alla liberta]. Lo si
potrebbe scorgere nel esempio nel fatto che le imponenti costruzioni
intellettuali erette autonomamente dalla losoa per spiegare
il mondo, le ultime delle quali sorte fra la meta del diciottesimo
e la meta del diciannovesimo secolo, sono state scalzate
5A. Janik e S. Toulmin, La grande Vienna, Garzanti, 1975.
6[La citazione continua con \Forse non tutti credono alla storia del diavolo a cui si
puo vendere l'anima, ma quelli che di anima devono intendersene, perche in qualita di
preti, storici e artisti ne traggono lauti guadagni, attestano che essa e stata rovinata dalla
matematica, e che la matematica e l'origine di un perdo raziocinio che fa s dell'uomo il
padrone del mondo, ma lo schiavo della macchina".]
7
dalle trasformazioni della vita, ma soprattutto dai risultati stessi
del pensiero e dell'esperienza; senza che l'abbondanza delle nuove
cognizioni, quasi ogni giorno portate alla luce dalla scienza, abbia
condotto a una nuova mentalita, salda, ancorche provvisoria,
anzi senza che si sia ridestata una volonta seria ed esplicita in tal
senso, sicche l'abbondanza di cognizioni non e piu soltanto una
gioia, ma e diventata anche un peso.
Si accusa chi e responsabile della crescita incontrollata, cioe la scienza:
[Ulrich] ricordava benissimo come era tornata di moda l'\insicurezza".
Si erano sempre piu moltiplicate le lagnanze di gente che aveva
una professione un po' incerta, poeti, critici, donne e quelli che
sono di professione \i giovani"; costoro accusavano la scienza pura
di essere una cosa nefasta e che faceva a pezzi ogni altra opera dell'uomo
senza saperla mai rimettere insieme, e chiedevano a gran
voce una nuova fede umana, il ritorno a tutti i valori primordiali,
originali, sorgivi . . .
Quale scienza e quella considerata nefasta? Una scienza che rovescia in
modo troppo rapido per essere digeribile i prodotti di conoscenze che non
sono controllabili, perche sono accompagnate da un distacco tra il soggetto
e l'esperienza. Sicche
secondo l'opinione dei non matematici tutti questi antichissimi
sogni atavici si sono avverati in modo totalmente diverso dall'immaginazione
primitiva . . . Noi abbiamo conquistato la realta
e perduto il sogno.
Il distacco era tanto piu forte quando piu si capiva del mondo sico, perche
la comprensione avveniva soprattutto attraverso linguaggi matematici.
Quando Einstein studio e il calcolo tensoriale ebbe a dichiarare, ammirato
e sorpreso, che
in tutta la mia vita non ho mai lavorato tanto duramente, e l'animo
mi si e riempito di un grande rispetto per la matematica,
la parte piu sottile della quale avevo nora considerato, nella mia
dabbenaggine, un puro lusso.
8
Una matematica che parlava di cose invisibili e astratte, senza riscontro diretto
nell'esperienza sensibile forniva alla scienza i mezzi per il controllo della
natura.
All'interno della matematica si ripete la condizione generale della societa:
una proliferazione di beni e di ricchezza, e una preoccupazione, che si puo
cercare di formulare in domande piu precise del vago disagio psicologico: di
cosa parliamo, quali garanzie di verita abbiamo, o anche solo di sensatezza?
Anche se questa ombra non impedisce di continuare ad andare avanti.
Un elenco di nuovi argomenti matematici, che rendono impossibile continuare
a considerarla come la scienza dei numeri e delle gure, come e stato
per millenni, non riesce a essere esauriente: numeri complessi, quaternioni,
algebre, geometrie non euclidee, invarianti, vettori, matrici, gruppi (gruppi
di sostituzione, gruppi di movimenti), ideali e, in una parola che riassume e
rappresenta la nuova natura della matematica, l'innito. Georg Cantor, il
creatore con Richard Dedekind (1831-1916) della teoria degli insiemi aveva
detto che l'essenza della matematica e la liberta.
Ma lo \spirito abbandonato alla liberta" sente il peso delle nuove conoscenze,
non tutte compatibili con le precedenti. Per fare un esempio semplice,
pensiamo ai numeri complessi. Questi sono stati accettati e capiti, con la rappresentazione
geometrica nel piano, solo all'inizio dell'Ottocento. Ma nella
coscienza popolare continuavano e continuano a essere sospettati. La
p
??1
ripugna alla mente (come il quadrilatero non euclideo di Saccheri) perche
ripugna alla natura del numero, che e pensato come una grandezza. Quindi
anche gli irrazionali in verita sono sospetti, come testimonia l'esperienza
scolastica. Non si sa a quale esperienza farli corrispondere.
Non e un caso che questo argomento sia stato inserito da Musil nel quadro
di imbarazzo da abbondanza che ha delineato7.
(Torless) Ma . . . questa unita [immaginaria] non esiste . . . non puo
esistere . . . con certezza matematica, e impossibile.
(Banenberg) Non e lo stesso in fondo, coi numeri irrazionali? Una
divisione che non nisce mai, una frazione il cui valore non verra
fuori mai e poi mai, anche se calcoli per cent'anni! E cosa ti
immagini quando ti dicono che due linee parallele si intersecano
nell'innito? Io credo che se fossimo troppo coscienziosi non
esisterebbe la matematica.
7R. Musil, I turbamenti del giovane Torless, 1906.
9
(Torless) Ma la cosa strana e appunto che con quei valori immaginari
o in qualche modo impossibili si possano tuttavia compiere
le ordinarie operazioni e alla ne ottenere un risultato tangibile!
. . . Non ti fa pensare a un ponte di cui ci sono solo i pilastri a un
capo e all'altro, e che uno attraversa tranquillo come se ci fosse
tutto intero?
Io non ho mai messo in dubbio che la matematica abbia ragione;
solo mi sembra strano che certe volte, si direbbe, va contro la
ragione . . .
A questa, e a piu grandi dicolta connesse ad esempio all'innito, c'e inizialmente
una risposta ottimistica implicita: la matematica e un prodotto
della mente umana. La stessa mente che portava in essere nuovi oggetti
era la mente che otteneva successi parziali confortanti nella fondazione della
matematica: la denizione dei numeri reali (1870), la denizione dei numeri
naturali (1888) attraverso la quale tutta la matematica, basata su di essi,
sarebbe apparsa un prodotto rigoroso della ragione8. Non si sarebbe piu
dovuto ammettere che \Dio ha creato gli interi, tutto il resto e opera dell'uomo",
secondo il motto di Kronecker, ma si poteva aermare che l'uomo
aveva creato i numeri.
Richard Dedekind aveva realizzato questa impresa sulla base dei concetti
di rappresentazione e di sistema (funzioni e insiemi). La rappresentazione
e \una capacita dello spirito senza la quale e impossibile ogni pensiero, la
capacita di mettere in rapporto cose con cose, di far corrispondere una cosa
a un'altra ovvero di rappresentare una cosa mediante un'altra cosa"; mentre
\capita spesso che diverse cose a; b; c : : : considerate per qualche ragione sotto
uno stesso punto di vista, siano riunite insieme nella mente, e allora uno dice
che esse formano un sistema S".
Per Dedekind si trattava di nozioni logiche, come per i suoi contemporanei,
Boole ad esempio: \la logica e possibile solo per l'esistenza nella mente
di nozioni generali, quali la capacita di concepire una classe"9. Era una logica
che non si esauriva nelle regole deduttive, e non si identicava con quelle, ma
aveva una funzione costitutiva, o creativa. La logica tradizionale si riduceva
8R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen, Vieweg, Braunschweig, 1888; trad.
it. con il titolo \Che cosa sono e a cosa servono i numeri?", in Scritti sui fondamenti della
matematica, Bibliopolis, Napoli, 1982.
9G. Boole, The Mathematical Analysis of Logic, MacMillan, Cambridge, 1847.
10
a un principio, il principio di comprensione, secondo il quale a ogni concetto
corrisponde la classe degli oggetti che vi ricadono.
Tuttavia questa logica aveva generato anche mostri, contraddizioni e aporie,
che mostravano la dicolta di ragionare in modo pacico sui nuovi enti
da essa stessa creati, o davano la sensazione di andare contro la ragione. Dalla
crisi spirituale prodotta dall'opulenza della liberta creativa doveva nascere
una nuova logica, una logica contro la logica naturale.
11
.
12
La nuova logica:
scienza o immagine speculare del mondo?
Le contraddizioni piu discusse erano quella di Cantor del massimo cardinale,
quella di Burali-Forti e Cantor del massimo ordinale, quella di Russell1.
La contraddizione del massimo cardinale si puo brevemente formulare in
questo modo: l'insieme K dei numeri cardinali dovrebbe avere un numero
cardinale maggiore di tutti gli altri cardinali, il cardinale massimo; ma per il
teorema di Cantor del 1892, la cardinalita di K e minore di quella dell'insieme
delle funzioni da K in un insieme con due elementi (o come si dira in seguito
dell'insieme P(K) di tutti i sottoinsiemi di K). In versione semplicata, si
considera l'insieme universo2 V e la sua potenza P(V ).
La contraddizione del massimo ordinale e analoga: l'insieme di tutti gli
ordinali e bene ordinato, e quindi dovrebbe avere un numero ordinale
, ma
allora
+ 1 sarebbe un ordinale ancora maggiore.
La contraddizione di Russell considera la classe3 di tutte le classi che non
contengono se stesse come elemento, in simboli
fx j x =2 xg;
e rileva che tale classe nello stesso tempo appartiene e non appartiene a se
stessa.
Bertrand Russell (1872-1970) era convinto che il teorema di Cantor fosse
sbagliato, perche era aezionato alla classe universale e alla sua esistenza.
Nel cercare un errore nella dimostrazione di Cantor, che egli riformula in
modo da applicarla a P(x) invece che alle funzioni, fu portato a considerare
la classe delle classi che non appartengono a se stesse4.
1Per informazioni piu dettagliate sulla teoria degli insiemi no all'assiomatizzazione di
Zermelo del 1908, come pure sulla costruzione della teoria dei tipi da parte di Russell, si
vedano le dispense del corso di Filosoa della matematica del 2008-09.
2Il simbolo V per l'universo e notazione moderna.
3Russell usava la terminologia delle classi, a preferenza di \insieme".
4Russell espresse per la prima volta l'antinomia in termini di predicati che si applicano
o no a se stessi, in una bozza di un capitolo de The principles of mathematics, vol. I,
Cambridge Univ. Press, Cambridge, England, 1903 (trad. it. I principi della matematica,
Longanesi, Milano, 1963), nel maggio del 1901, e nella lettera a Frege del 1902; quindi di
nuovo in questi termini nel x78 dei Principles, e sia in termini di predicati sia in termini
di classi nel x100.
13
Infatti la dimostrazione di Cantor, riformulata per P(x), conduce a queste
considerazioni. Supponendo che esista una iniezione f tra P(x) e x, si
vuole denire un sottoinsieme z di x diverso da tutti i sottoinsiemi, quindi
una contraddizione, che esclude l'esistenza di f. Ogni sottoinsieme e f??1(y)
per qualche y 2 x; y 2 im(f) e perche il sottoinsieme cercato sia diverso da
f??1(y) si puo giocare su y, mettendolo in z se e solo se y =2 f??1(y); si denisce
quindi
z = fy 2 x j y =2 f??1(y)g;
che si puo considerare una sorta di sottoinsieme antidiagonale: esso dierisce
da tutti gli f??1(y); infatti se fosse z = f??1(y), la sua immagine mediante f
sarebbe f(z) = y, ma y 2 z se e solo se y =2 f??1(y) = f??1(f(z)) = z che e
una contraddizione.
Nel caso che x sia la classe universale, P(x)  x si puo pensare iniettable
in x con la funzione identica, e l'insieme della dimostrazione e fy j y =2 yg,
che e la classe considerata da Russell5.
Sempre Russell trovo una formulazione unitaria per le contraddizioni
citate6:
Data una proprieta ' e una funzione f tali che, se ' appartiene
a tutti gli elementi di u, f`u esiste, ha la proprieta ' e non appartiene
a u; allora l'assunzione che esista una classe w di tutti
i termini che hanno la proprieta ', e che f`w esista porta alla
conclusione che f`w ha e non ha al contempo la proprieta '.
L'antinomia di Russell si ottiene prendendo cone ' la proprieta di non appartenere
a se stesso, e come f la funzione identica: quella di Burali-Forti
prendendo la proprieta di essere un ordinale e f`w = ordinale di w; quella
di Cantor prendendo la proprieta di essere un cardinale e f`w = cardinale di
P(w).
5In eetti Russell presenta in modo analogo a quello qui esposto una \semplicazione
della dimostrazione di Cantor", in \On Some Diculties in the Theory of Transnite Numbers
and Order Types", Proceed. London Mathematical Society, (2) 4 (1906), pp. 29-53,
ristampato in B. Russell, Essays in Analysis (a cura di D. Lackey), George Allen&Unwin,
London, 1973, pp. 134-64. Nei Principles x100 aerma anche che \io fui condotto ad esso
[rompicapo] nel tentativo di conciliare la dimostrazione di Cantor circa l'impossibilita che
esista un numero cardinale massimo con la supposizione molto plausibile che la classe di
tutti i termini [. . . ] abbia necessariamente il maggior numero possibile di elementi".
6\On some diculties . . . ", cit.
14
Erano note poi altre antinomie7, come quella del bibliotecario della Bodleiana
G. G. Berry: \il minimo numero non denibile con meno di venticinque
sillabe", che e denibile con ventiquattro sillabe; quella di J. Richard8, una
di Konig, e fu riesumata anche quella del mentitore il cretese Epimenide che
aerma: \Io sto mentendo".
David Hilbert nel 1903, lettera del 7 novembre9, informo Gottlob Frege
(1848-1925) di aver scoperto le contraddizioni tre o quattro anni prima, e
che anche Zermelo ne aveva trovate dopo che egli gli aveva comunicato le
sue. Secondo una testimonianza di Husserl in un appunto del 16 aprile 1902
conservato nel Nachlass, Zermelo glie ne avrebbe esposta una forse nel 1901, o
meglio l'osservazione che un insieme M tale che P(M)  M e inconsistente,
considerando fx 2 M j x =2 xg. Infatti z = fx 2 M j x =2 xg e certo un
sottoinsieme di M, e quindi se P(M)  M appartiene a M. Allora ci si puo
chiedere se z 2 z e si ha che z 2 z $ z =2 z. Il primo teorema del lavoro di
Zermelo del 1908 con l'assiomatizzazione della teoria10 dimostra proprio con
lo stesso argomento che ogni insieme M possiede almeno un sottoinsieme che
non e elemento di M, da cui segue che il dominio B degli insiemi non e un
insieme.
Hilbert avrebbe trovato che non puo esistere alcun S tale che se x 2 S
allora P(x) 2 S e se T  S allora
S
T 2 S. Infatti allora P(
S
S) 2 S e di
qui segue che gli elementi di P(
S
S) appartengono all'unione di S, quindi
P(
S
S) 
S
S11.
Nell'occasione, Hilbert espresse il suo convincimento che le contraddizioni
mostrino la inadeguatezza della logica tradizionale. Anche Russell pensava
7Russell le considera tutte in B. Russell, \Mathematical Logic as based on the Theory
of Types", American Journal of Mathematics, 30 (1908), pp. 222-62, ristampato in B.
Russell, Logic and Knowledge (a cura di R. C. Marsh), George Allen&Unwin, London,
1956, pp. 57-102, e in J. van Heijenoort, From Frege to Godel, Harvard Univ. Press,
Cambridge, MA, , 1967, pp. 152-82, per mostrare come tutte dipendano dal fenomeno del
circolo vizioso.
8Vi torneremo piu avanti, a proposito della dimostrazione di Godel.
9La corrispondenza di Frege e Hilbert, e con altri contemporanei, e in G. Frege, Wissenschaftlicher
Briefwechsel, Felix Meiner, Hamburg, 1976; trad. it. Alle origini della
nuova logica, Boringhieri, Torino 1983.
10E. Zermelo, \Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische
Annalen, 65 (1908), pp. 261-81; trad. inglese in van Heijenoort, cit., pp.
199-215.
11Si veda V. Peckhaus e R. Kahle, \Hilbert's paradox", Historia Mathematica, 29 (2002),
pp. 157-75 e A. Kanamori, \Zermelo and set theory", Bulletin Symbolic Logic, 10 (2004),
n. 4, pp. 489-553.
15
di dover costruire la logica rivedendo il suo cardine che era il principio di
comprensione. Non bastava irregimentare la logica come aveva fatto Frege
quando aveva costruito un \linguaggio in formule del pensiero puro" (Begri-
schrift, 1879); Frege era restato disarmato quando si cap che non erano le imprecisioni
e le vaghezze del linguaggio naturale a provocare le contraddizioni,
ma il principio di comprensione
8P9x8z(z 2 x $ P(z))
(per ogni proprieta P esiste un insieme x che e la sua estensione, ovvero ogni
comprensione [intensione] ha una estensione).
Russell cerco di limitare il principio sperimentando varie restrizioni, provando
anche a escludere ragionevolmente le classi grandi, no a che accetto
la diagnosi di Poincare che la fonte delle contraddizioni era il circolo vizioso,
che si manifestava nelle denizioni impredicative; per evitarlo occorreva che
\cio che in un modo qualunque concerne tutti di qualsiasi o alcuni (indeterminati)
degli elementi di una classe, non [sia] esso stesso uno degli elementi
della classe"; in altri termini \cio che coinvolge una variabile apparente [vincolata
12] non deve essere uno dei possibili valori di quella variabile". La
costruzione di un sistema logico che rispettasse automaticamente senza dirlo
(che sarebbe stata una nuova epifania del circolo vizioso) questa restrizione
porto alla teoria dei tipi inserita nei Principia mathematica del 1910-12-13.
Ma a parte il motivo di insoddisfazione dovuto al fatto che la restrizione
predicativa mutilava la matematica, a meno di non assumere l'assioma di
riducibilita, che di fatto negava quella restrizione, la verita e che i logicisti
procedevano con l'Angelus Novus di Walter Benjanim, con il viso rivolto al
passato; la soluzione che adottavano, riesumata dall'arsenale delle concezioni
intellettuali elaborate dalla tradizione, a parte le varianti formali e sostanziali
era quella di una logica forte, costitutiva, che riteneva di denire l'essere, non
un insieme di tecniche. La restrizione predicativa ha senso solo se si pensa
che le denizioni creino gli enti che deniscono.
Il linguaggio, a parte la veste simbolica, non era uno strumento ma la
sostanza della ragione, lo specchio o il canale, non intelligente, attraverso i
quale il mondo veniva comunicato.
6.124 Le proposizioni della logica descrivono l'armatura del
mondo o, piuttosto, la rappresentano. Esse trattano di nulla . . .
12Nel linguaggio di Peano sono chiamate variabili reali e apparenti quelle che altrimenti
sono dette rispettivamente libere e vincolate.
16
6.13 La logica non e una dottrina, ma un'immagine speculare
del mondo
aermava il loro profeta Wittgenstein13.
Wittgenstein si spingera piu in la, come vedremo, a dedurre da queste
assunzioni l'impossibilita del programma di Hilbert.
La prospettiva di Hilbert era diversa; nella lettera citata esprimeva a Frege
la convinzione che la logica tradizionale apparisse del tutto inadeguata,
alla luce delle contraddizioni. Hilbert non aveva ancora incominciato ad affrontare
il problema di una revisione della logica, ma ne aveva una concezione
pluralista e strumentale, come di uno strumento necessario per determinare
le relazioni di dipendenza tra diverse proposizioni.
Secondo una testimonianza di Edmund Husserl (1859-1938), dal 1901 a
Gottingen, in occasione di una conferenza da lui tenuta nel 1901 presso la
societa matematica di Gottingen in cui aveva discusso i problemi logici della
teoria dei numeri reali, Hilbert avrebbe osservato:
Quando supponiamo che una proposizione sia decisa sulla base
degli assiomi di un dominio, che cosa possiamo usare oltre agli
assiomi? Alles Logische. Was ist das? Tutte le proposizioni
che sono libere da ogni particolarita relativa a un campo di conoscenze,
che sono indipendenti da ogni particolare assioma, da
ogni contenuto di conoscenza14. Ma si apre uno spettro di possibilit
a. Il dominio logico algoritmico, quello dei numeri, della
combinatorica, della teoria generale degli ordinali. Alla n ne,
la piu generale teoria degli insiemi non e essa stessa pura logica?
La logica combinatoria basta a derivare lo Schnittpunktsatz 15 dal
teorema di Pascal (senza assioma di continuita); la logica dei numeri
interviene quando si usa Archimede, e per usare l'assioma
di completezza si deve fare ricorso alla teoria degli insiemi.16
13L. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, 1921.
14Questa e ancora la denizione, di tipo qualitativo, di \verita logica".
15[Si intende qualsiasi teorema che usi solo proprieta di incidenza e intersezione.]
16L'appunto di Husserl si trova nella edizione di Philosdophie der Arithmmetik (1891),
Martinus Nijho, The Hague, 1969, p. 445; si veda anche J. C. Webb, Mechanism,
Mentalism and Metamathematics, Reidel, Dordrecht, 1980, p. 85.
17
La consapevolezza sulla forza di diverse logiche gli derivava dai risultati ottenuti
nello studio della geometria che aveva appena concluso17 con la pubblicazione
delle Grundlagen der Geometrie, nel 1899, alle quali si riferisce il
carteggio con Frege.
Spiegava Hilbert a Frege che il difetto decisivo della logica tradizionale
stava nell'assunzione che un concetto sia determinato quando per ogni entita
e determinato se essa cade o no sotto il concetto18; alludeva probabilmente al
principio di comprensione, della cui responsabilita molti si rendevano conto,
ma non erano note al momento proposte alternative; invece secondo Hilbert
occorreva che gli assiomi che deniscono il concetto siano non contraddittori.
La restrizione da porre nel principio di comprensione era dunque la non
contraddittorieta del concetto intensionale denito assiomaticamente. Hilbert
aveva iniziato a utilizzare il metodo assiomatico nel suo studio della
geometria, e ne diventera il paladino piu convinto e autorevole.
17A partire dal 1891. Si veda M. Hallett e U. Majer (a cura di), David Hilbert's Lectures
on the Foundations of Geometry, 1891-1902 , Springer, Berlin, 2004.
18In realta Hilbert stesso, quando Cantor gli aveva parlato della totalita di tutti i cardinali
aveva a caldo risposto che gli sembrava legittima, in quanto era denito se un ente
fosse un cardinale oppure no; presto accetto pero la posizione di Cantor che la riteneva
inconsistente.
18
Il metodo assiomatico
Il metodo assiomatico che si precisa nell'ultima parte dell'Ottocento, e ben
diverso da quello euclideo, ed e anche inizialmente chiamato da alcuni (in
Italia ad esempio) metodo ipotetico-deduttivo, per segnalare una rottura. In
verita i nuovi ingredienti erano antichi. Il metodo assiomatico considera gli
assiomi come proposizioni primitive (cioe non conseguenza di alcuna altra)
tra termini o concetti primitivi (cioe non deniti esplicitamente in termini
di altri); di essi si suppone solo di conoscere le mutue relazioni ssate dagli
assiomi, ma non un signicato indipendente. Come dice Enriques1,
La forma logica che si vuole dare ai postulati e precisamente quella
di relazioni aventi un signicato indipendente dal particolare
contenuto dei concetti.
Sono le relazioni tra i concetti che hanno signicato, non i concetti.
Le proposizioni primitive sono considerate arbitrarie, non nel senso che dipendano
dal ghiribizzo del matematico, ma nel senso che non sono giusticate
come proposizioni vere in qualche dominio della realta.
Il metodo si impone come modo di introdurre nuove teorie. Soprattutto in
campo algebrico verso la meta dell'Ottocento, in Inghilterra, sono studiate
proprieta di operazioni analoghe ma non identiche a quelle dei numeri; le
proprieta delle operazioni che si vogliono indagare costituiscono gli assiomi
di nuove \algebre" che non hanno alle spalle una interpretazione; prevale e
precede l'aspetto formale2.
D'altra parte la logica formale, n dai tempi di Aristotele e degli Stoici,
come dice la parola tratta forme, schemi, che vengono interpretati in ciascuna
applicazione, e un sillogismo e valido o corretto, cos come qualsiasi inferenza
secondo la logica contemporanea, se in tutte le interpretazioni nelle quali
le premesse sono vere anche la conclusione e vera. Illustriamo il carattere
formale della logica con un esempio.
1F. Enriques, Per la storia della logica (1922), Zanichelli, 1987.
2Forse la scelta di questi argomenti originali era dovuta anche all'arretratezza della
matematica inglese, rimasta indietro nel campo dell'analisi per la fedelta alle notazioni e
ai metodi di Newton; alcune di queste algebre apparivano interpretazioni forzate, come
quella di Hamilton per l'algebra degli intervalli di tempo; altri studi riguardavano algebre
importanti, come quella dei quaternioni, che non godono della proprieta commutativa
della moltiplicazione, o quella di Boole, per le leggi del pensiero (interpretazione peraltro
apparentemente poco matematica).
19
Esempio Si chieda se il seguente sillogismo e valido, cioe se la conclusione e
conseguenza logica delle premesse.
Nessun triangolo rettangolo e equilatero
(I) Qualche triangolo isoscele e equilatero
Qualche triangolo rettangolo non e isoscele,
Se qualcuno risponde di s, questi non ha il senso della conseguenza logica,
perche gli si potrebbe rispondere che allora anche il seguente
Nessun cane e ruminante
(II) Qualche quadrupede e ruminante
Qualche cane non e quadrupede
sarebbe valido, che e un esempio dello stesso sillogismo.
In eetti il sillogismo in esame non e ne il primo ne il secondo, ma
Nessun S e M
(III) Qualche P e M
Qualche S non e P
dove S; P;M sono simboli di predicati.
La domanda in verita era se il sillogismo proposto sia un esempio di
un sillogismo valido, ma questo si tende a dimenticare, anche quando si fa
matematica.
Il sillogismo di sopra si puo addirittura scrivere, nella formalizzazione
tradizionale:
E: S M
I : P M
O: S P
Non c'e bisogno che ci siano solo simboli, la formalizzazione totale, per
avere il formale. Basta, e occorre, che ci siano variabili, o almeno il concetto
di variabile. Il carattere formale della logica non si manifesta nelle regole3,
ma nella possibilita di diverse interpretazioni (per i sillogismi, delle lettere
S; P;M su predicati).
Poiche la verica della validita di un sillogismo non e praticamente eseguibile
passando in rassegna davvero tutte le possibili interpretazioni, e si
3Quando l'uomo primitivo dice \non c'e fumo senza arrosto, vedo fumo, deve esserci
un arrosto", non sta applicando il modus ponens.
20
sono inventate tecniche nite. Lo stesso per i linguaggi logici piu ricchi della
logica contemporanea. Con la tecnica dei diagrammi di Venn ad esempio per
il sillogismo considerato si ottiene
&%
'$
&%
'$
&%
'$

P S
M
che non fornisce la conclusione, per certicare la quale ci dovrebbe essere una
crocetta in S \  P. Non c'e la crocetta, e neppure S \  P e tutto tratteggiato,
e non possiamo dire in base alle premesse se S \  P e vuoto o no,
dipende da S e P.
Esiste come abbiamo visto una interpretazione dei simboli di predicato
S; P;M per cui S \  P e vuoto e una per cui non lo e.
In campo matematico, la lezione della logica (di essere un discorso formale)
si era persa, perche si era imposta a partire da Descartes la convinzione che
matematica e logica divergessero, e solo la prima fosse una vera ars inveniendi
, e che in essa il discorso avesse un contenuto. D'altra parte anche ai tempi
di Euclide la trattazione formale non si era sposata con quella matematica.
Gli Elementi di Euclide sono impostati con assiomi (postulati) iniziali, ma
vengono date denizioni dei termini primitivi (punto e retta) e le inferenze
formali non vi hanno posto.
Il metodo assiomatico moderno, sollecitato anche dalle ricerche geometriche
oltre che algebriche, fu messo a punto e teorizzato da molti matematici,
tra i quali Pasch, Peano, Pieri, Enriques, Hilbert. Enriques testimonia4 che
ogni pensatore del periodo dovette in un certo senso riscoprire \come una conquista
personale" la rivoluzione che si era attuata nella concezione della natura
della scienza matematica e della sua metodologia, acquisendo\coscienza
matura del signicato di una rivoluzione compiuta nei secoli". L'enfasi era
4Enriques, Per la storia della logica, cit.
21
giustiticata, perche mai prima si era avuta la consapevolezza che il discorso
matematico fosse formale.
Il lavoro rivolto a sistemare le geometrie non euclidee e i loro rapporti con
quella euclidea, come anche la nuova geometria proiettiva, hanno indotto a
interrogarsi su cosa fosse una scienza deduttiva, come era sempre stato vanto
sbandierato dalla matematica:
Perche la geometria diventasse una vera scienza deduttiva era necessario
che le derivazioni delle conseguenze fossero indipendenti
dal senso dei concetti geometrici, come devono esserlo dalle gure.
Nel corso di una deduzione, e lecito e puo essere utile pensare al
signicato dei concetti geometrici in giuoco; ma non e necessario;
quando diventa necessario, e segno di un difetto delle deduzioni
e di un'inadeguatezza delle proposizioni assunte per sostenere la
dimostrazione5.
Il merito principale del metodo assiomatico e riconosciuto nel fatto che le
teorie hanno sempre la possibilita di ricevere diverse interpretazioni,
[le quali] invitano a tradurre l'una nell'altra diverse forme di
intuizione6
Con le parole di Hilbert7
La circostanza [che tutti gli enunciati di una teoria valgono anche
per ogni altro sistema di enti che si sostituiscano a quelli pensati,
purche siano soddisfatti gli assiomi] , pero, non puo mai rappresentare
un difetto di una teoria* [* ne e piuttosto un grandissimo
pregio] e in ogni caso e inevitabile.
Il pregio e ad esempio espresso un po' ingenuamente da Pasch generalizzando
il principio di dualilta:
5M. Pasch, Vorlesungen uber neuere Geometrie, Teubner, Leipzig, 1882, p. 82. Pasch
fu il primo a segnalare la necessita di assiomi dell'ordine.
6Enriques, Per la storia della logica, cit.
7Lettera a Frege del 29 dicembre 1899, vedi oltre.
22
Quando si deduce [. . . ] un teorema da un gruppo di proposizioni
{ che chiameremo generatori { il valore della deduzione travalica
lo scopo iniziale. Infatti, se si derivano dai generatori proposizioni
corrette, allora cambiando con altri i concetti geometrici [. . . ] si
ottiene senza duplicare la dimostrazione una proposizione che e
conseguenza dei generatori cos modicati8.
Questa situazione si esprime dicendo che la teoria non e categorica, la
categoricita essendo appunto la proprieta di avere un solo modello, a meno
di isomorsmi.
Che tutte, o la maggior parte delle teorie siano non categoriche era una
constatazione empirica; si sarebbe voluto fare una eccezione per teorie come
quella dei numeri che si pensava esprimessero le proprieta matematiche di
concetti fondamentali. La questione sara chiarita solo dallo sviluppo successivo
della logica matematica.
Esempio La teoria assiomatica dei gruppi e data dai seguenti assiomi
8x; y; z((x
y)
z = x
(y
z))
8x(x
e = x)
8x9y(x
y = e)
che aermano la proprieta associativa di una operazione, indicata da \
",
l'esistenza di un elemento neutro e e l'esistenza di un inverso per ogni oggetto.
Un modello della teoria e una struttura che soddisfa gli assiomi (e nel
caso particolare e detta un gruppo). I teoremi della teoria sono gli enunciati,
scritti nel linguaggio degli assiomi (cioe che fanno intervenire i concetti primitivi,
e quelli deniti9 oltre alle variabili e agli operatori logici), che valgono
in tutti i modelli. Sono chiamati anche teoremi gli enunciati dimostrabili,
con una dimostrazione che sia una catena nita di assiomi e applicazioni di
regole logiche. Le due denizioni coincidono ma i matematici all'inizio del
8Pasch, cit. p. 98.
9Una volta che si dimostri che per ogni x esiste un solo inverso,
8x9y(x
y = e ^ 8z(x
z = e ! z = y));
si puo introdurre un simbolo di operazione denito x??1 con il nuovo assioma 8x(x
x??1 = e).
23
Novecento non lo sapevano (e non lo sanno) e usavano e usano i due concetti
come equivalenti senza chiara consapevolezza.
Esistono gruppi niti delle piu varie specie. Alcuni sono formati da numeri,
ad esempio gli interi modulo 2, o Z2, cioe l'insieme f0; 1g con le operazioni
individuate dall'interpretazione e ; 0 e
; +(mod 2); vericare la proprieta
associativa non e immediato, se prima non si dimostra che e e anche elemento
neutro a sinistra; questa proprieta, cos come l'esistenza di un inverso destro
e sinistro, richiede all'inizio dello sviluppo della teoria una derivazione non
semplice, tanto che spesso le si inseriscono entrambe negli assiomi.
Esiste anche il gruppo banale con un solo elemento, che si indica in genere
con feg, prendendo la costante stessa come elemento, e denendo l'operazione
come costante. Un altro gruppo, esempio di altri dello stesso genere, per ogni
n, e l'insieme delle permutazioni di tre lettere

a b c
a b c

a b c
b c a

a b c
c a b


a b c
a c b

a b c
b a c

a b c
c b a

se si interpreta e come l'identita

a b c
a b c

e il prodotto \
" come la composizione consecutiva di due permutazioni10:

a b c
f(a) f(b) f(c)




a b c
g(a) g(b) g(c)

=

a b c
g(f(a)) g(f(b)) g(f(c))

Esistono anche gruppi inniti, come i numeri interi Z con e ; 0 e
; +,
o R con 0 e l'addizione, oppure con 1 e la moltiplicazione.
10Una permutazione di tre lettere di puo identicare con una funzione biiettiva f :
fa; b; cg ??! fa; b; cg, ad esempio 
a b c
b c a

con la f tale che f(a) = b; f(b) = c; f(c) = a.
24
La pluralita delle interpretazioni e anche una losoa della matematica,
che ad esempio ore una scusa per non rispondere alla domanda su cosa sono
gli enti matematici di cui parla una teoria, ma non e questo il motivo per cui
era apprezzata, quanto il fatto che avesse una funzione euristica
Pare quasi che agli occhi mortali, con cui ci e dato esaminare una
gura sotto un certo rapporto, si aggiungano mille occhi spirituali
per contemplarne tante diverse trasgurazioni; mentre l'unita
dell'oggetto splende alla ragione cos arricchita, che ci fa passare
con semplicita dall'una all'altra forma11.
Hilbert si e dedicato alla geometria elementare non (solo) per correggere
o completare Euclide, ma per svolgere una serie di indagini logiche, come ha
spiegato in una lettera a Frege12
Io sono stato costretto dalla necessita a stabilire il mio sistema
di assiomi: volevo rendere possibile la comprensione di quelle,
fra le proposizioni della geometria, che ritengo essere i risultati
piu importanti delle indagini geometriche: ossia che l'assioma
delle parallele non e conseguenza dei rimanenti assiomi, che lo
stesso vale per l'assioma di Archimede ecc. Volevo rispondere
alla domanda tendente a stabilire se la proposizione che in due
rettangoli equivalenti e di ugual base sono uguali anche gli altri
lati, puo venir dimostrata o vada piuttosto assunta come un nuovo
postulato, come gia fa Euclide. In generale, volevo stabilire la
possibilita di comprendere e dare una risposta a domande del
tipo: perche la somma degli angoli interni di un triangolo vale due
retti? E volevo inoltre chiarire come questo fatto fosse collegato
all'assioma delle parallele.
Nel sistema delle Grundlagen queste domande sono arontabili in modo perfettamente
determinato e \per molte di esse si ottiene una risposta assai
sorprendente e anzi del tutto inattesa".
Piu in generale Hilbert era interessato a rivalutare il posto autonomo
della geometria nel panorama della matematica. Mentre si sviluppava impetuosamente
l'analisi, la geometria si interrogava sulla propria funzione e sul
11Enriques, cit. L'unita dell'oggetto non e costituita dunque dagli enti, ma dai problemi
che si possono formulare e trattare nella teoria.
12Lettera del 29 dicembre 1899.
25
proprio signicato. L'intuizione geometrica era scaduta a livelli minimi di
considerazione e adabilita. La geometria rientrava nella matematica solo
attraverso l'analitica.
Gli obiettivi che Hilbert si pose, e realizzo nelle Grundlagen erano innanzi
tutto quello di fondare le geometria indipendentemente dai numeri, e al contrario
ricambiare la dipendenza denendo geometricamente i numeri e le loro
operazioni in modo da ottenere un corpo con le caratteristiche dei numeri
reali; in secondo luogo quello di chiarire il ruolo del principio di continuita in
geometria. La continuita era stata denita, da Cantor e Dedekind, in modo
aritmetico, mentre la geometria non pareva in grado di fornire un fondamento
alla continuita, nonostante l'idea comune che trattasse grandezze continue.
Inne Hilbert sentiva la necessita di chiarire i rapporti tra geometria del piano
e dello spazio, per una serie di questioni connesse alla forza deduttiva dei
due sistemi13.
Come dichiaro a Frege, Hilbert riusc a compiere le analisi che lo interessavano
solo con la impostazione assiomatica. Egli era convinto tuttavia di un
valore generale di questo metodo, non solo in matematica. Egli fu a quanto
pare fortemente in uenzato dalla ri essione di Heinrich Hertz (1857-1894)14
Nell'introduzione ai suoi Principi della Meccanica15, Hertz aveva esposto
una metodologia che si ritrovera in Hilbert nella concezione che gli assiomi,
se non contraddittori tra loro, stabiliscono il signicato dei concetti.
Secondo Hertz il signicato dei concetti di base di una teoria dipende solo
dalla loro coerenza. A tale conclusione si perviene se si ri ette, dice Hertz,
sull'incompletezza delle denizioni e sull'impossibilita di cogliere con le parole
l'essenza delle cose. \Possiamo, con le nostre concezioni, con le nostre
parole, rappresentare completamente la natura di una cosa? Certamente no".
Noi ci formiamo immagini o simboli di oggetti esterni e la forma che diamo
ad essi e tale che \le necessarie conseguenze delle immagini nel pensiero sono
sempre le immagini delle necessarie conseguenze in natura delle cose rap-
13Qualcuno (Bolyai) pensava che il quinto postulato potesse essere dimostrabile nella
geometria dello spazio; molti teoremi della geometria piana avevano una dimostrazione
molto piu semplice (con un piano immerso) nello spazio; si trattava solo di una sempli-
cazione o erano possibili risultati nuovi? Si veda G. Lolli, Da Euclide a Godel, il Mulino,
Bologna 2004, cap. 3.4, \Hilbert e la geometria".
14Anche Enriques riconosce il suo debito con Hertz, in Per la storia della logica, cit..
15H. R. Hertz, Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt, J.
A. Barth, Leipzig 1894; ed. italiana a cura di G. Gottardi I principi della meccanica
presentata in connessione nuova, La Gogliardica Pavese, Pavia 1995.
26
presentate". Questo presuppone una certa conformita tra natura e pensiero
ma soprattutto la coerenza legale delle nostre immagini. Il signicato dei
concetti di base dipende dalla loro coerenza. Null'altro e necessario.
I termini teorici non sono mai adeguatamente deniti16. Con termini come
\velocita", o il nome di un elemento come \oro" connettiamo un ampio
numero di relazioni con altri termini e se tra tutte queste relazioni non troviamo
contraddizioni che ci oendano, siamo percio soddisfatti e non chiediamo
altro.
Se ci sembra che la nozione di elettricita, ad esempio, sia incoerente e
perche { secondo Hertz, interessato proprio a questo concetto { abbiamo
accumulato troppe relazioni, piu di quelle che si possono conciliare tra loro,
e di conseguenza abbiamo una vaga sensazione di incoerenza, che ci porta
ad interrogarci sulla natura dell'elettricita. Le incoerenze possono e devono
essere eliminate da un'analisi logica degli elementi di una scienza, ma nel
frattempo non impediscono il successo anche travolgente di una teoria.
Molte di tali suggestioni si ritrovano nella concezione che gli assiomi sono
denizioni implicite dei concetti che li soddisfano, o denizioni per postulati,
denizioni descrittive, come si dira anche per un certo breve periodo.
Tale idea di un nuovo tipo di denizioni, oltre a quelle nominali e reali,
andava tuttavia contro l'inerzia di una lunga tradizione logica, il cui paladino
in questa occasione si presenta sotto le vesti di Frege.
Hilbert fu quasi costretto a precisare la sua concezione del metodo assiomatico,
e a diventarne un sostenitore deciso, dalle obiezioni che Frege mosse,
pur apprezzandolo, al suo lavoro.
Nel paragrafo 6 Lei dice: \Gli assiomi di questo gruppo deniscono
il concetto della congruenza o del movimento". Ma allora,
perche mai essi non vengono chiamati denizioni?17
ed ammannisce a Hilbert una lezione di logica.
16In modo analogo, il matematico Beppo Levi, a proposito dei termini primitivi di una
teoria assiomatica, aermava: \e ben vero che un sistema dato di postulati puo dare di
un'idea primitiva una determinazione, in rapporto alle altre idee, minore di quella che
eettivamente si attribuisce a quel nome nel discorso comune; ma la vera e completa determinazione
di una idea primitiva non e possibile, comunque complesso sia il sistema
dei contrassegni che per essa si vogliono enunciare; noi non potremo mai identicare le
idee, ma potremo solo aermare che tra esse sussistono certe relazioni", B. Levi, \Antinomie
logiche?", Annali di Matematica, (3) 15 (1908), pp. 187-216, footnote (*), p. 188,
ristampato in Opere scelte, vol. 2, Cremonese, Roma, 1999, pp. 629-58.
17Lettera di Frege a Hilbert del 27 dicembre 1899.
27
Resta . . . anche oscuro che cosa Lei chiami punto. A tutta
prima vien fatto di pensare ai punti nel senso della geometria
euclidea, e la Sua aermazione { che gli assiomi esprimono fatti
fondamentali della nostra intuizione18 { conferma tale opinione.
In seguito pero Lei intende per punto una coppia di numeri. Resto
dubbioso di fronte alle aermazioni che per mezzo degli assiomi
della geometria si raggiunge la descrizione completa e precisa delle
relazioni, e che gli assiomi deniscono il concetto del \fra". Con
cio si ascrive agli assiomi qualcosa che e compito delle denizioni.
Cos facendo vengono { a mio parere { seriamente confusi i conni
tra assiomi e denizioni, e accanto al signicato tradizionale della
parola \assioma" { quale risulta nell'aermazione che gli assiomi
esprimono fatti fondamentali dell'intuizione { mi sembra ne aori
un secondo, che peraltro non mi riesce di cogliere esattamente.
Secondo Frege le denizioni non sono asserzioni (come lo sono princpi, assiomi,
teoremi), ma stipulazioni, mediante le quali ad un segno o ad una
espressione viene attribuito un signicato per mezzo della denizione stessa.
[Le asserzioni] non possono contenere nessuna parola e segno di
cui non siano gia completamente ssati in precedenza il senso e
il signicato o il contributo all'espressione del pensiero, cosicche
non rimanga alcun dubbio sul senso dell'enunciato . . . Assiomi e
teoremi non possono dunque mai stabilire per la prima volta il
signicato di un segno o di una parola che ricorra in essi.
Attribuisco il nome di assiomi a enunciati che sono veri, ma che
non vengono dimostrati perche la loro conoscenza scaturisce da
una fonte conoscitiva di natura extra-logica, che possiamo chiamare
intuizione spaziale. Il fatto che gli assiomi siano veri ci
assicura di per se che essi non si contraddicono tra loro, e cio non
abbisogna di alcuna ulteriore dimostrazione.
La risposta di Hilbert19 e altrettanto puntigliosa.
18[\Gli assiomi della geometria possono essere divisi in cinque gruppi. Ciascuno di questi
gruppi esprime certi corrispondenti fatti fondamentali per la nostra intuizione", Hilbert,
Grundlagen der Geometrie, cap. 1, x1.]
19Lettera del 29 dicembre 1899.
28
Lei dice: \Sono di tutt'altro tipo le spiegazioni del paragrafo 120,
nel quale i signicati delle parole, punto, retta . . . non vengono
indicati, ma presupposti come noti". Proprio qui si trova il punto
cardinale dell'equivoco. Io non voglio presupporre nulla come
noto; io vedo nella mia spiegazione del paragrafo 1 la denizione
dei concetti di punto, retta, piano, se si tornano ad assumere
come note caratteristiche21 tutti gli assiomi dei gruppi I-V. Se
si cercano altre denizioni di \punto", ricorrendo per esempio a
perifrasi come \privo di estensione" ecc., si capisce che debbo
oppormi nel modo piu deciso a siatti tentativi; si va infatti alla
ricerca di qualcosa la dove non la si potra mai trovare, per il
semplice motivo che non e la dove la si cerca.
Quindi in riferimento all'aermazione di Frege che gli assiomi sono veri:
Mi ha molto interessato leggere nella Sua lettera proprio questa
frase, poiche io, da quando ho cominciato a ri ettere, scrivere e
tenere conferenze su questo argomento, ho sempre detto esattamente
il contrario: se assiomi arbitrariamente stabiliti non sono
in contraddizione, con tutte le loro conseguenze, allora essi sono
veri, allora esistono gli enti deniti per mezzo di quegli assiomi.
Questo e per me il criterio della verita e dell'esistenza.
20Ricordiamo come iniziano le Grundlagen con il primo capitolo dedicato ai cinque
gruppi di assiomi e il primo paragrafo che esordisce cos:
definizione Consideriamo tre distinti insiemi di oggetti. Gli oggetti del primo
siano chiamati punti e denotati da A;B;C; : : :; gli oggetti del secondo siano
chiamati rette e denotati da a; b; c; : : :; gli oggetti del terzo siano chiamati piani
e denotati da ; ; ; : : :
. . .
I punti, le rette e i piani sono pensati soddisfare certe mutue relazioni e queste
relazioni sono denotate da parole come \giace", \fra", \congruente". La descrizione
precisa e matematicamente completa di queste relazioni segue dagli
assiomi della geometria.
Seguono gli assiomi divisi in cinque gruppi, assiomi di incidenza, di ordine, di congruenza,
delle parallele, di continuita.
21Nella terminologia del tempo, le note caratteristiche erano quelle condizioni che permettevano
di riconoscere se un oggetto soddisfaceva o no a una denizione. Una denizione
consisteva di un insieme di note caratteristiche.
29
Questa importante aermazione era stata ribadita e applicata da Hilbert in
un altro lavoro del 1899, pubblicato nel 1900, relativo alla assiomatizzazione
del sistema dei numeri reali, sul quale torneremo. Per quanto riguarda la critica
che i \punti" hanno diversi signicati in diverse parti dell'opera, si tocca
con mano l'utilita del metodo assiomatico per stabilire le relazioni logiche tra
diverse proposizioni. Il principio ispiratore e la tecnica inizialmente piu usata
e la proprieta che un enunciato ' e indipendente da un insieme di enunciati
T, cioe non e dimostrabile a partire da T se e solo se :' e compatibile con
T, se T non e contraddittorio, cioe in termini moderni
T 2 ' se e solo se T [ f:'g ha un modello
ovvero
T j= ' se e solo se T [ f:'g e contraddittorio,
a seconda che si usi la versione semantica o quella deduttiva.
Questa proprieta non era invero dimostrata, perche non erano ben deniti
i concetti fondamentali: come abbiamo detto il concetto di \dimostrazione"
oscillava tra la versione dedutttiva e quella semantica, ma l'intuizione soggiacente
era valida, tanto piu che l'equivalenza di sopra vale sia per la nozione
di conseguenza logica j= sia per la nozione deduttiva di derivabilita `.
Nei diversi modelli usati per le dimostrazioni di indipendenza i concetti
primitivi vengono per forza ad assumere diversi signicati:
Lei dice . . . che ad esempio \fra" e concepito in modo diverso a
pagina 20 e che ivi il punto e una coppia di numeri. Certamente,
si comprende da se che ogni teoria e solo un telaio, uno schema di
concetti unitamente alle loro mutue relazioni necessarie, e che gli
elementi fondamentali possono venir pensati in modo arbitrario.
Se con i miei punti voglio intendere un qualunque sistema di enti,
per esempio il sistema: amore, legge, spazzacamino22. . . . , allora
bastera che assuma tutti i miei assiomi come relazioni tra questi
enti perche le mie proposizioni, per esempio il teorema di Pitagora,
valgano anche per essi. In altre parole: ogni teoria puo essere
22[Si tramanda che gia nel 1891 Hilbert avesse sostenuto che le parole `punto", \retta" e
\piano" dovevano poter essere sostituite da \tavola", \sedia" e \boccale di birra"; lo aerma
O. Blumenthal nella nota biograca inserita nelle opere scelte di Hilbert, Gesammelte
Abhandlungen, Springer, Berlin, 1932-5.]
30
sempre applicata a inniti sistemi di elementi fondamentali. Anzi
occorre soltanto applicare una trasformazione biunivoca e convenire
che gli assiomi per gli enti trasformati debbano essere uguali a
quelli che valgono per i loro corrispondenti. Di fatto anche questa
circostanza si applica sovente, ad esempio col principio di dualita
ecc., e io l'applico alle mie dimostrazioni di indipendenza. Tutti
gli enunciati di una teoria dell'elettricita valgono naturalmente
anche per ogni altro sistema di enti che si sostituiscano al posto
dei concetti magnetismo, elettricita . . . , purche siano soddisfatti
gli assiomi richiesti.
Con la maturazione, Hilbert diventera sempre piu convinto che il metodo
assiomatico fosse quello piu adatto e naturale per lo sviluppo consapevole
di tutte le teorie scientiche. Il manifesto di questa sua concezione fu una
conferenza del 1917, con la quale Hilbert riprese a interessarsi di fondamenti
e questioni gnoseologiche23.
Hilbert nell'occasione osservera che ogni dominio di conoscenze, non solo
matematiche, e formato da dati che sono reciprocamente ordinati e formano
una intelaiatura di concetti. Quando esaminiamo in profondita una determinata
teoria, ogni volta riconosciamo che alla base dell'intelaiatura dei suoi
concetti ci sono poche, ben individuate proposizioni e che queste sole bastano
per costruire da esse, secondo principi logici, l'intera intelaiatura.
Lo stesso ruolo e svolto nella statica dal teorema sul parallelogramma
delle forze, nella meccanica ad esempio dalle equazioni
dierenziali del movimento di Lagrange, e nell'elettrodinamica
dalle equazioni di Maxwell insieme con il postulato della rigidit
a e della carica dell'elettrone. La termodinamica puo venire
costruita interamente sul concetto di funzione di energia e sulla
denizione di temperatura e di pressione come derivate dalle sue
variabili (entropia e volume). Al centro della teoria elementare
della radiazioni c'e il teorema di Kirchko sulle relazioni tra scissione
e assorbimento. Nel calcolo della probabilita il principio
fondamentale e la legge degli errori di Gauss, nella teoria dei gas
23D. Hilbert, \Axiomatisches Denken", Mathematische Annalen, 78 (1918), pp. 405-15;
trad. it. \Pensiero assiomatico", in D. Hilbert, Ricerche sui fondamenti della matematica
(a cura di M. V. Abrusci), Bibliopolis, Napoli, 1978, pp. 177-88. Torneremo in seguito
su questo importante; ora consideriamo solo le dichiarazioni di esaltazione del metodo
assiomatico in ogni dominio scientico.
31
il teorema dell'entropia come logaritmo negativo della probabilita
dello stato . . .
Da un primo punto di vista, questi teoremi fondamentali possono
essere ritenuti come gli assiomi dei singoli campi conoscitivi.
Con la crescita delle conoscenze si e tuttavia fatta sentire l'esigenza, in ciascun
campo, di fondare gli stessi teoremi fondamentali, ritenuti come assiomi,
dimostrandoli.
Ma, esaminando criticamente queste \dimostrazioni", ci si puo
rendere conto che esse in se stesse non sono dimostrazioni bens,
in sostanza, esse rendono possibile soltanto la riconduzione a certi
teoremi piu profondi che, a loro volta, possono essere quindi
riguardati come nuovi assiomi al posto dei teoremi da dimostrare.
In questo modo sono sorti quelli che oggi vengono detti propriamente
assiomi della geometria, dell'aritmetica, della statica,
della meccanica, della teoria dell'irraggiamento e della termodinamica.
Questi assiomi costituiscono un livello di assiomi piu
profondo rispetto a quello caratterizzato dalle proposizioni, prima
menzionate, poste originariamente alla base dei singoli campi
conoscitivi. Il procedimento del metodo assiomatico, qui esposto,
equivale percio ad un approfondimento dei fondamenti dei singoli
campi conoscitivi, quale diviene necessario in ogni costruzione,
man mano che la si sviluppa, la si innalza e ci si vuol garantire
della sua sicurezza.
Perche la teoria di un campo conoscitivo (cioe l'intelaiatura di
concetti che la esprime) possa servire al suo scopo (cioe ad orientare
e ad ordinare), devono essere soddisfatti principalmente due
requisiti: si deve orire in primo luogo un quadro complessivo
della dipendenza (risp. indipendenza) dei teoremi della teoria, e
in secondo luogo una garanzia della non contraddittorieta di tutti
i teoremi della teoria.
L'utilita delle indagini sulla dipendenza e illustrata con l'ovvio esempio
dell'assioma delle parallele in geometria, ma anche con le ricerche sull'assioma
di continuita, e altre. Hilbert insiste tuttavia sulle teorie siche.
32
Un altro esempio di indagine sulla dipendenza degli assiomi e
oerto dalla meccanica classica. Come si e notato sopra, le equazioni
lagrangiane del moto possono essere prese provvisoriamente
come assiomi della meccanica: su di esse infatti, nella loro formulazione
generale per forze e condizioni aggiuntive arbitrarie,
si puo certo fondare tutta la meccanica. Ma, con un'indagine
piu approfondita, si mostra che nella costruzione della meccanica
non e necessario presupporre sia forze arbitrarie sia condizioni
aggiuntive arbitrarie, e che percio il sistema delle ipotesi puo venire
ridotto. Questa conoscenza ci porta da un lato al sistema
di assiomi di Boltzmann che assume soltanto forze, e invero in
particolare forze centrali, ma nessuna condizione aggiuntiva, e
al sistema di assiomi di Hertz che rigetta le forze e procede con
condizioni aggiuntive, e in particolare con vincoli rigidi. Entrambi
questi sistemi di assiomi, percio, costituiscono un livello piu
profondo dello sviluppo dell'assiomatizzazione della meccanica.
Per quel che riguarda la non contraddittorieta
succede spesso di ritenere ovvia la non contraddittorieta interna
di una teoria, mentre in verita per dimostrarla sono necessari
profondi sviluppi matematici. Consideriamo, ad esempio, un problema
tratto dalla teoria elementare della conduzione del calore,
cioe la distribuzione della temperatura all'interno di un corpo
omogeneo la cui supercie superiore e mantenuta ad una determinata
temperatura variante da punto a punto. Il postulato del
mantenimento dell'equilibrio della temperatura non contiene allora
nessuna contraddizione interna alla teoria. Ma per riconoscere
questo fatto e necessaria la dimostrazione che e sempre risolubile
il noto problema dei valori al contorno, della teoria del potenziale;
infatti solo la soluzione di questo problema al contorno mostra
che e possibile in generale una distribuzione di temperatura che
soddis alle equazioni della conduzione del calore.
In sica inoltre non basta la non contraddittorieta interna ma anche quella
con i campi vicini; al momento della conferenza, Hilbert poteva ricordare i
propri studi sugli assiomi della teoria elementare dell'irraggiamento, la cui
non contraddittorieta egli aveva ricondotto a quella dell'analisi.
33
D'altra parte gia nel 1900, nella sua presentazione dei problemi matematici,
il sesto problema era intitolato alla \Trattazione matematica degli
assiomi della sica"24, dove aveva dichiarato:
Inoltre, a complemento delle modalita di trattazione proprie della
sica, spetta ai matematici il compito di esaminare ogni volta con
precisione se un assioma aggiunto ex novo non sia in contraddizione
con gli assiomi precedenti. Il sico, spesso, si vede costretto dai
risultati dei suoi esperimenti a fare di tanto in tanto nuove assunzioni,
nel corso dello sviluppo della sua teoria, appellandosi, per
quanto concerne la non contraddittorieta delle nuove assunzioni
con gli assiomi precedenti, meramente proprio a quegli esperimenti
oppure ad una certa sensibilita sica: un procedimento, questo,
che e inammissibile nella costruzione rigorosamente logica di una
teoria. L'auspicata dimostrazione della non contraddittorieta di
tutte le assunzioni fatte mi sembra importante, anche perche lo
sforzo di eseguire una tale dimostrazione spinge sempre, e con
molta ecacia, anche ad una esatta formulazione degli assiomi
stessi.
Le considerazioni che Hilbert espone a Frege sulla sua concezione dell'esistenza
matematica, sul rapporto tra non contraddittorieta ad esistenza,
erano state anticipate, come indica lo stesso Hilbert, in una conferenza del
1899, pubblicata nel 1900, sul concetto di numero25.
Sul concetto di numero
Hilbert aveva esordito mettendo a confronto due diversi modi di procedere
negli studi rispettivamente sui principi della teoria dei numeri e su quelli
della geometria.
24D. Hilbert, \Mathematische Probleme", Nachrichten von der Koniglichen Gesellschaft
der Wissenschaften zu Gottingen, 1900, pp. 253-97; trad. it. parziale in Ricerche sui
fondamenti . . . , cit., pp. 145-62.
25\ Uber den Zahlbegri", Jahresbericht der DMV, 8 (1900), pp. 180-4; trad. it. in
Ricerche sui fondamenti . . . , cit., pp. 139-43.
34
Partendo dai numeri interi positivi, i naturali26 \si arriva al numero negativo
chiedendo l'eseguibilita generale della sottrazione"27, quindi si deniscono
i razionali e i reali.
Possiamo chiamare metodo genetico questo modo di introduzione
del concetto di numero, poiche il piu generale concetto di numero
reale viene ottenuto mediante successive estensioni del semplice
concetto di numero.
Nella costruzione della geometria ci si comporta in modo sostanzialmente
diverso. Qui si comincia con l'assunzione della esistenza
di tutti gli elementi . . . e quindi si pongono questi elementi in
certe relazioni tra di loro mediante certi assiomi . . .
. . .
Vogliamo chiamare metodo assiomatico il procedimento di indagine
che e qui coinvolto.
Ci domandiamo se realmente il metodo genetico sia il solo adeguato
per lo studio del concetto di numero e il metodo assiomatico
sia il solo adeguato per i fondamenti della geometria; appare interessante
anche paragonare i due metodi e ricercare quale sia il
metodo piu vantaggioso quando si tratti di un'indagine logica dei
fondamenti della meccanica e di altre discipline siche.
La mia opinione e questa: nonostante l'alto valore pedagogico
ed euristico del metodo genetico, tuttavia per una denita presentazione
e per una piena sicurezza del contenuto della nostra
conoscenza merita la preferenza il metodo assiomatico.
26Qui Hilbert considera come naturali i numeri di conto: 1,2, . . . .
27Tecnicamente, si considerano le coppie hm; ni a rappresentare m?? n, si denisce una
relazione di equivalenza hm; ni  hp; qi $ m + q = n + p, e si deniscono gli interi
relativi come classi di equivalenza rispetto a questa relazione, ponendo 0 = [hn; ni];+n =
[hn + 1; 1i];??n = [h1; n + 1i]; la operazione di addizione e denita da [hm; ni] + [hp; qi] =
[hm + p; n + qi], e quella di moltiplicazione da [hm; ni]
[hp; qi] = [hmp + nq; mq + npi].
In modo analogo si introducono i razionali come classi di coppie di interi, e i reali come
insiemi di razionali con le sezioni di Dedekind, o come successioni di Cauchy.
35
Quindi Hilbert procede nel seguente modo: \Pensiamo un sistema di cose;
chiamiamo numeri queste cose, e indichiamoli con a; b; c; : : :". Pensiamo a
certe relazioni descritte dai seguenti assiomi28.
I. Assiomi del collegamento. E sempre denita l'addizione con l'esistenza dello
0, elemento neutro destro e sinistro, e sono sempre risolubili in modo unico
le equazioni a + x = b e x + a = b
E
denita la moltiplicazione con l'esistenza dell'elemento neutro 1 destro e
sinistro e la risolubilita unica delle equazioni a
x = b e x
a = b per a 6= 0.
II. Assiomi del calcolo. Le proprieta associativa e commutativa per somma e
prodotto e la distributivita del prodotto rispetto alla somma, a destra e a
sinistra.
III. Assiomi dell'ordinamento. La relazione < e un ordine totale ed e compatibile
con somma e prodotto, cioe
a > b implica a + c > b + c e se c > 0 anche a
c > b
c.
IV. Assiomi della continuita.
IV1. (Assioma archimedeo) Se a > 0 e b > 0 e possibile sommare a con se
stesso tante volte che a + a + : : : + a > b.
IV2. (Assioma della completezza [Vollstandigkeit]) Non e possibile aggiungere
al sistema dei numeri un altro sistema di cose in modo tale che anche
nel sistema risultante dalla riunione dei due sistemi siano soddisfatti tutti gli
assiomi I, II, III, IV1; ovvero, brevemente, i numeri costituiscono un sistema
di cose che, se si conservano tutti gli assiomi, non e piu capace di alcuna
estensione.
I primi commenti di Hilbert riguardano la non indipendenza degli assiomi;
gli assiomi per 0 e 1 sono sovrabbondanti; la legge commutativa dell'addizione
e conseguenza degli assiomi I e della legge associativa dell'addizione e di
entrambe le distributive
Dimostrazione. Si ha
28Che riassumiamo, salvo per l'assioma di continuita riportato alla lettera. Gli assiomi
erano stati esposti nelle Grundlagen, all'inizio del capitolo III, meno quello di continuita,
nella prima edizione; la continuita nella forma sotto utilizzata era stata aggiunta anche
per la geometria nella traduzione francese delle Grundalgen apparsa nel 1900, oltre che
nelle successive edizioni, a riprova che Hilbert lo concep proprio nel 1899.
36
(a + b)(1 + 1) = (a + b)1 + (a + b)1 = a + b + a + b
= a(1 + 1) + b(1 + 1) = a + a + b + b
quindi
a + b + a + b = a + a + b + b;
e dalla risolubilita unica delle equazioni lineari, due volte, una a destra e una a
sinistra si ha b + a = a + b.
La legge commutativa della moltiplicazione e conseguenza degli assiomi
I, III, IV1 e dei restanti assiomi del calcolo, ma non da questi meno l'assioma
di Archimede. Hilbert, che ha ricavato questo risultato dal suo lavoro sul
sistema delle Grundlagen a proposito del teorema di Pascal, osserva che
questo fatto ha un particolare signicato per gli assiomi della geometria.
Inne
Gli assiomi IV1 e IV2 sono indipendenti l'uno dall'altro; essi non
contengono alcuna asserzione sul concetto di convergenza o sull'esistenza
del limite; eppure, si puo mostrare che da essi segue
il teorema di Bolzano[-Wierstrass] sull'esistenza del punto di accumulazione
29. Percio riconosciamo la corrispondenza del nostro
sistema di numeri con l'ordinario sistema dei numeri reali.
Hilbert non accenna alla dimostrazione della usuale formulazione della
continuita30, ne fornisce alcun commento sulla forma peculiare dell'assioma
IV2, di cui non poteva non essere consapevole della dierenza dai restanti e
da quelli usuali di tutte le teorie: non parla delle relazioni tra gli elementi
del dominio, ma del dominio stesso. Non sappiamo dunque come lo avesse
concepito.
Il lavoro dell'assiomatizzatore non nisce con l'enunciazione degli assiomi
e lo studio della loro indipendenza. Nell'introduzione sopra riassunta del
29Allude al teorema secondo il quale ogni insieme superiormente limitato di numeri
naturali ha un estremo superiore (o versioni equivalenti) che e normalmente usato per
esprimere la proprieta di continuita.
30Non e dicile peraltro immaginare quale fosse: chiamiamo R un sistema soddisfacente
agli assiomi; supponiamo che esista in R un sottoinsieme X limitato superiormente ma
privo di estremo superiore. Deniamo una sezione di R ponendo nella classe inferiore
tutti i numeri razionali che sono minori o uguali a qualche elemento di X. Questa sezione
individua un nuovo numero, quindi R puo essere esteso con l'aggiunta di questo e la
opportuna chiusura.
37
lavoro sul concetto di numero, prima di denire come metodo assiomatico il
procedimento seguito in geometria, Hilbert aveva avvertito:
Sorge allora la necessita di mostrare la non contraddittorieta e
la completezza di questi assiomi; cioe si deve mostrare che l'uso
degli assiomi ssati non puo portare mai a contraddizioni e inoltre
che il sistema degli assiomi basta per la dimostrazione di tutti i
teoremi geometrici.
In riferimento al sistema di assiomi proposto per i reali, Hilbert osserva
che \per dimostrare la non contraddittorieta degli assiomi costitutivi, occorre
soltanto un'idonea modica dei noti metodi argomentativi". Non e per
nulla chiaro a cosa pensasse, in considerazione del fatto che si dovrebbe trattare
di una dimostrazione di non contradittorieta assoluta, non relativa a
qualche altro sistema; nella esposizione dei problemi matematici torna sull'argomento
a proposito del problema n. 2, la non contraddittorieta degli
assiomi aritmetici, aermando piu cautamente31:
Ora sono convinto che si deve riuscire a trovare una dimostrazione
della non contradittorieta degli assiomi aritmetici, se in considerazione
dello scopo pressato si rielaborano con precisione e si
modicano in modo opportuno i noti metodi inferenziali della
teoria dei numeri irrazionali.
Sulla portata della dimostrazione di non contraddittorieta invece aerma
recisamente
In questa dimostrazione [di non contraddittorieta] io vedo anche
la dimostrazione dell'esistenza della totalita dei numeri reali ovvero
{ nel modo di esprimersi di G. Cantor { la dimostrazione che
il sistema dei numeri reali e un insieme consistente (compiuto).
Al termine dell'articolo osservera che al contrario, se si volesse arrivare in
modo simile alla dimostrazione dell'esistenza di una totalita di tutte le cardinalit
a, si fallirebbe perche tale totalita non esiste, e un sistema inconsistente
(incompiuto),
La concezione dell'esistenza come conseguenza della non contraddittorieta
secondo Hilbert libera dalle obiezioni rivolte in generale contro l'esistenza di
insiemi inniti.
31Ricerche sui fondamenti . . . , p. 157.
38
[. . . ] come insieme dei numeri reali non abbiamo da pensare,
ad es., la totalita di tutte le possibili leggi secondo cui si possono
susseguire gli elementi di una successione fondamentale, ma
piuttosto { come e stato appena spiegato { un sistema di cose
le cui relazioni sono date mediante quel sistema nito e chiuso
di assiomi I-IV e su cui valgono nuove asserzioni solo se possono
essere derivate da quegli assiomi per mezzo di un numero nito
di inferenze logiche.
Il \non abbiamo da pensare" signica che si tratta proprio di un'altra cosa:
Ovviamente, secondo la concezione sopra accennata [del sistema
assiomatizzato in \ Uber den Zahbegri"], l'aggregato dei numeri
reali, cioe il continuo, non e per esempio la totalita di tutti i
possibili sviluppi decimali, ne la totalita di tutte le possibili leggi
secondo cui possono procedere gli elementi di una successione
fondamentale; bens, e un sistema di cose le cui relazioni reciproche
sono regolate mediante gli assiomi ssati e per le quali sono
veri tutti e soli quei fatti che possono essere ricavati dagli assiomi
mediante un numero nito di inferenze logiche32.
Per un pieno dispiegamento delle potenzialita e del signicato del metodo
assiomatico, Hilbert indica dunque, a parte l'esame logico degli assiomi che
si esprime nella dipendenza o indipendenza, la necessita della dimostrazione
di non contraddittorieta. Due aspetti si pongono come problematici. Come
fare una tale dimostrazione, e il suo rapporto con l'esistenza dell'oggetto della
teoria.
I due problemi sono collegati, perche era opinione comune che la non contraddittoriet
a di una teoria si potesse dimostrare solo esibendo un modello.
Di quale mezzo disponiamo per dimostrare che certe proprieta, o
certi requisiti (o come altrimenti si vogliano chiamare) non sono
fra loro contraddittori? L'unico mezzo che io conosca e il seguente:
presentare un oggetto che possieda tutte quelle proprieta, o
citare un caso in cui tutti quei requisiti siano soddisfatti. Non
dovrebbe essere possibile dimostrare la non contraddittorieta per
altra via33
32\Mathematische Probleme", cit., trad. it. p. 157, problema 2.
33Frege a Hilbert, lettera del 6 gennaio 1900.
39
Allo stesso modo si esprime Poincare34:
Di solito per dimostrare che una denizione non implica una contraddizione,
si procede con un esempio; si cerca un esempio di un
oggetto che soddis la denizione [. . . ] Ma una tale dimostrazione
non e sempre possibile.
Nel caso della teoria dei numeri, come e chiaro a Hilbert sia nel lavoro sul
concetto di numero sia nella esposizione dei problemi matematici, occorre
seguire un'altra via, per avere la non contraddittorieta assoluta. Nel 1900
Hilbert e ottimista, ma oscuro o reticente. Nel 1904 dara la sua indicazione,
che peraltro incontrera subito obiezioni tecniche, da parte di Poincare e di
altri.
Si noti che Poincare condivide l'idea che \[in matematica] esistenza puo
avere un solo signicato, assenza di contraddizioni"35. Tuttavia sa che non
sempre e possibile, con un esempio, e contesta il tentativo originale di Hilbert.
Probabilmente la situazione di stallo gli fa gioco, in quanto vi scorge
l'opportunita di legittimare il ruolo dell'intuizione sintetica a priori, quando
la dimostrazione con un esempio non e possibile.
Ma sono espresse anche opposizioni all'idea che la dimostrazione di non
contraddittorieta abbia qualcosa a che fare con l'esistenza matematica. La
scuola di Peano in generale, e Couturat, non condividono tale posizione.
Esplicitamente contrario, per la sua sducia nelle costruzioni linguistiche, e
il fondatore dell'intuizionismo Luitzen Brouwer (1881-1966) nel 1907:
Anche se risultasse palese che tali costruzioni non possono mai
esibire la forma linguistica di una contraddizione, esse sono matematiche
solo in quanto sono costruzioni linguistiche e non hanno
nulla a che fare con la matematica, che e al di fuori dell'edicio
[linguistico] [. . . ]
Supponiamo di avere in qualche modo dimostrato, senza pensare
a una interpretazione matematica, che un sistema costruito
34H. Poincare, Science et methode, Flammarion, Paris, 1908, pp. 161-63.
35H. Poincare, Science et methode, cit. p. 161. L'aermazione di Poincare e rivolta contro
gli empiristi come John Stuart Mill che vorrebbero legare l'esistenza della matematica
alla realta sica. Una volta stabililto che l'esistenza matematica e la non contraddittoriet
a, si puo accettare l'idea di Mill che le denizioni siano assiomi mascherati, in quanto
implicano una aermazione di esistenza, e per converso che gli assiomi siano denizioni.
40
logicamente sulla base di alcuni assiomi linguistici e non contraddittorio,
cioe che a nessuno stadio dello sviluppo del sistema possiamo
incontrare due teoremi in contraddizione tra loro; se anche
allora potessimo trovare un'interpretazione matematica degli assiomi
[. . . ] ne segue forse che tale costruzione matematica esiste?
Nulla del genere e mai stato provato dagli assiomatizzatori36
L'altra richiesta dichiarata necessaria nella costruzione assiomatica e quella
della dimostrazione della completezza.
36L. E. J. Brouwer, Over de grondslagen der wiskunde, Dissertazione, Maas & van
Suchtelen, Amsterdam, 1907, pp. 183, cit. p. 132; in L. E. J. Brouwer, Collected Works
I , North Holland, Amsterdam, 1975, pp. 11-101.
41
.
Avventure di una parola
Se quando parla in generale del metodo assiomatico Hilbert richiede sempre
le condizioni della indipendenza e della non contraddittorieta, nel sistema di
assiomi per la geometria e in quello per i numeri introduce anche la condizione
della completezza.
Nella breve introduzione delle Grundlagen l'unica frase signicativa e la
seguente:
La presente ricerca e un nuovo tentativo di stabilire per la geometria
un insieme di assiomi completo e il piu semplice possibile
e di dedurre da essi i piu importanti teoremi geometrici in modo
tale che il signicato dei vari gruppi di assiomi . . . venga alla luce.
Dopo la prima denizione del x1 aveva annunciato che \[l]a descrizione precisa
e matematicamente completa di queste relazioni [\giace", \fra", \congruente"]
segue dagli assiomi della geometria".
Nel lavoro sul concetto di numero, come abbiamo visto, parla della necessit
a di mostrare, oltre alla non contraddittorieta, anche la completezza degli
assiomi, nel senso probabilmente delle Grundlagen, ma introduce un assioma
che chiama \Assioma di completezza" (laddove di solito si parlava di \continuit
a" per la proprieta da aggiungere alle regole algebriche, valide anche per
i razionali ed altri campi, per avere la caratteristica matematica tipica dei
reali) che riguarda l'impossibilita di estendere il dominio; nello stesso tempo
descrive il suo sistema nito di assiomi come \chiuso".
Prima di esaminare le carte, ricordiamo come sono deniti oggi i concetti
di completezza: \concetti", perche si parla di completezza in due sensi, la
completezza di un calcolo logico e la completezza di una teoria37.
Con \completezza logica" si intende una proprieta di un calcolo logico, cioe di
un sistema di assiomi e regole, la cui nozione di derivabilita indichiamo con `. Se
e data una semantica per il calcolo, la cui nozione di conseguenza indichiamo con
j=, la correttezza del calcolo e la proprieta che38
37Il permanere di questa ambiguita terminologica, per la quale capita di parlare nello
stesso giro di frase del successo di Godel nel dimostrare la completezza e la incompletezza,
e infelice, tanto piu che dovremo dedicare tanto tempo a chiarire le confusioni che su
questo, e termini collegati, sussistevano all'inizio del Novecento.
38Chiamiamo \formule" le espressioni del linguaggio alle quali si applicano correttamente
le relazioni di derivabilita e conseguenza.
43
per ogni formula ' e ogni insieme di formule T, se T ` ' allora T j= ',
mentre la completezza39 e la proprieta reciproca che
per ogni formula ' e ogni insieme di formule T, se T j= ' allora T ` ',
oppure spesso la congiunzione delle due, in forma di equivalenza, T j= ' se e solo
se T ` '.
Se il calcolo, e la semantica, godono di semplici proprieta40, la completezza e
equivalente a
per ogni insieme di formule T,
T ha un modello se e solo se T e non contraddittorio.
T si dice non contraddittorio, se il linguaggio contiene un simbolo di negazione, se
non esiste alcuna formula ' per cui T ` ' e T ` :'41.
Naturalmente la completezza logica dipende dal calcolo e dalla semantica.
Quando si parla in generale di completezza della logica ci si riferisce alla logica
alla quale si sta facendo riferimento, in generale (in questo corso) la logica dei
predicati del primo ordine, oppure del secondo ordine.
Supponiamo ora che la logica soggiacente sia completa, anzi che sia la logica
del primo ordine, altrimenti i prossimi concetti diventano piu complicati.
La \completezza", o \completezza deduttiva", di una teoria42 T e la proprieta
che
per ogni ', o T ` ' o T ` :'.
Se una teoria T e completa, i suoi modelli hanno la proprieta che in essi sono
veri esattamente gli stessi enunciati43. Ogni enunciato o e derivabile da T, e allora
vale in tutti i modelli di T, oppure e refutabile in T, e allora e falso in tutti i
modelli di T.
39Questa versione di chiama anche \completezza forte", in riferimento al fatto che T
sia un insieme qualunque di formule; se invece T e vuoto (o formato da un numero nito
di formule, e se vale il teorema di deduzione) si parla di completezza semplice: se ' e
logicamente valida allora ' e derivabile nel calcolo, senza assiomi aggiuntivi.
40Devono essere derivabili, e valide, ad esempio, la legge ex falso quodlibet, come pure
(' ! :') ! :', o equivalenti.
41Se il linguaggio non contiene il simbolo di negazione, si puo denire la non contraddittoriet
a alla Post chiedendo che non siano derivabili tutte le formule. Se ne riparlera piu
oltre.
42Si intende con \teoria" un insieme di enunciati, che costituiscono gli assiomi.
43Parliamo ora di \enunciati", che sono le formule che sono prese in considerazione cone
assiomi e teoremi.
44
Due strutture che soddisno esattamente gli stessi enunciati del loro linguaggio
si dicono \elementarmente equivalenti". Una teoria dunque e completa se e solo
se i suoi modelli sono tutti tra loro elementarmente equivalenti. Infatti, per ogni
enunciato ', se ' e vero in tutti i modelli, allora e un teorema, per la completezza;
se e falso in tutti i modelli, la sua negazione e vera, e per la completezza e un
teorema.
I modelli di una teoria completa sono dunque indistinguibili tra loro, per quel
che riguarda i teoremi della teoria. Se una teoria T e completa, per conoscere i
suoi teoremi e suciente considerare un suo modello M. I teoremi di T sono gli
enunciati che sono veri in M.
Per una teoria completa T, dato un qualunque enunciato ', o questo e gia un
teorema, quindi T [f'g e equivalente a T, oppure e incompatibile con T, nel senso
che T [ f'g e contraddittoria, essendo T ` :'.
Interessanti teorie matematiche che sono complete sono la teoria degli ordini
densi senza primo ne ultimo elemento (come l'ordine dei razionali), e la teoria dei
campi algebricamente chiusi di caratteristica ssata. Ogni campo algebricamente
chiuso di caratteristica 0 e elementarmente equivalente al campo dei complessi.
Una teoria T si dice \categorica" se tutti i suoi modelli sono tra loro isomor,
ovvero ha un solo modello, a meno di isomorsmi.
Due strutture A e B si dicono isomorfe se esiste una corrispondenza biunivoca
F : A ??! B che conserva le operazioni e relazioni delle strutture.
Esempio Consideriamo due strutture ordinate e nite con un minimo, ad esempio
sia A = hfa; b; cg;<A; ai, dove a <A c; c <A b; a <A b, e B = f0; 1; 2g; <; 0i, dove
< e l'ordine naturale. Un isomorsmo e dato dalla funzione f tale che f(a) =
0; f(b) = 2; f(c) = 1.
Una teoria di cui le due strutture sono modelli potrebbe essere:
8x(x 6 x)
8x; y; z(x  y ^ y  z ! x  z)
8x; y(x  y _ x = y _ y  x)
8x(x 6= c ! c  x)
oltre agli assiomi dell'uguaglianza che supponiamo inclusi negli assiomi logici.
Questa teoria non e categorica, perche come suo modello possiamo esibire ad
esempio hf0; 1; 2; 3g; <; 0i.
Se aggiungiamo l'assioma
9x; y; z(x 6= y ^ x 6= z ^ y 6= z ^ 8u(u = x _ u = y _ u = z))
la teoria diventa categorica, tutti i suoi modelli avendo tre elementi.
45
Le uniche teorie formulate nella logica del primo ordine che sono categoriche si
trovano tra quelle che, come nell'esempio, hanno solo modelli niti di cardinalita
ssata.
Se una teoria e categorica, essa e completa: due strutture isomorfe soddisfano
infatti gli stessi enunciati. Non e vero il viceversa. I due esempi sopra citati di
teorie complete non rientrano tra gli esempi di teorie categoriche.
All'inizio del Novecento troviamo una totale confusione sui concetti di
completezza, sia per quel che riguarda le nozioni di completezza logica e di
completezza deduttiva di teorie, sia per i rapporti tra questa e la categoricit
a44.
La terminologia non era ancora ssata. Ma a parte la terminologia,
sussistevano incertezze sui concetti, anche in Hilbert.
Innanzi tutto va osservato che, benche tutti esaltassero la molteplicita
delle interpretazioni, molti tuttavia pensavano che modelli isomor fossero
comunque diversi, e quindi le teorie che interessavano potessero essere
categoriche.
Hilbert stesso lascia qualche dubbio, quando dice a Frege, come abbiamo
visto, parlando in generale, che \ogni teoria puo essere sempre applicata a
inniti sistemi di elementi fondamentali. Anzi occorre soltanto applicare una
trasformazione biunivoca e convenire che gli assiomi per gli enti trasformati
debbano essere uguali a quelli che valgono per i loro corrispondenti".
L'idea che le diverse interpretazioni fossero isomorfe non pregiudicava la
possibilita di \tradurre l'una nell'altra diverse forme di intuizione", secondo il
punto di vista di Enriques, cit. Se ad esempio si considerano i due gruppi Z2
e quello delle sostituzioni di due lettere45, pur essendo isomor essi entrano a
preferenza in uno o nell'altro discorso, a seconda del tipo di rappresentazione
degli oggetti, e del tipo di intuizione che favoriscono.
Molto piu che ora, quando e invalsa l'abitudine di esprimere la categoricit
a con \un solo modello, a meno di isomorsmi", all'inizio del metodo
assiomatico i matematici sembra che ponessero maggiore enfasi sul fatto che
44Per maggiori dettagli, si veda G. Lolli, Completeness, AILA Preprints, 1995. Si puo
vedere anche J. Corcoran, \Categoricity", History and Philosophy of Logic, 1 (1980), pp.
187-207, che contiene tuttavia giudizi arettati e discutibili.
45I due elementi sono

a b
a b

, l'elemento neutro, e

a b
b a

, idempotente:

a b
b a




a b
b a

=

a b
a b

, come 1 + 1 = 0.
46
interpretazioni isomorfe sono nondimeno diverse. Ad esempio, ancora nel
1928, Abraham Adolf Fraenkel (1891-1965) osservava:
[quando] per un particolare concreto [inhaltlichen] signicato dei
concetti primitivi, ad esempio \punto" e \retta" intuitivi, una
proposizione e richtig, cioe deducibile dagli assiomi, allora la proposizione
non puo essere falsa rispetto a un altro signicato, compatibile
con gli assiomi (per esempio \punto" come \coppia di
numeri"), o avremmo una contraddizione con l'isomorsmo provato.
Ma questo non signica che il senso, il contenuto essenziale
dei concetti primitivi, possa mai essere determinato dagli assiomi,
perche per ogni interpretazione ve ne e un'altra, isomorfa ma con
un senso dierente46.
Nel testo di Fraenkel risalta la diusa scarsa chiarezza relativa ai concetti
dell'assiomatica47: una proposizione e chiamata richtig per un particolare
signicato se essa e \deducibile dagli assiomi", come se il signicato avesse
qualcosa a vedere con la deduzione. Che essa non possa essere falsa rispetto a
un'altra interpretazione segue solo dal fatto che essa e dedotta dagli assiomi,
quindi valida in ogni modello, senza appellarsi alla categoricita. Tuttavia
si capisce che l'idea era che la categoricita assicurasse la completezza (nel
nostro senso).
Ma prevaleva la sensazione che fosse vero anche il viceversa, o fosse la
stessa cosa. Innanzi tutto all'inizio del secolo mancava la terminologia appropriata,
e la proprieta che chiamiamo \categoricita" (in assenza di questa
parola) era chiamata \completezza".
L'assioma che Hilbert chiama di completezza ha infatti una duplice funzione:
da una parte assicurare la usuale continuita, ma dall'altra garantire
l'unicita del sistema a meno di isomorsmi. Supponiamo infatti che, oltre al
sistema dei numeri reali R, esista un altro modello A non isomorfo a R. In
A esistono elementi corrispondenti a 1, a 1 + 1, e a tutti i numeri naturali;
esistono anche gli interi relativi, e i razionali. Possiamo immaginare di usare
46A. A. Fraenkel, Einleitung in die Mengelehre, Springer, Berlin, 19283, p. 353. La
prima edizione e del 1919, e oltre alla teoria degli insiemi l'esposizione e dedicata a questioni
dei fondamenti, gia sotto l'in usso della revisione sostenuta da Brouwer; contiene una
parte sul metodo assiomatico, arricchita nelle successive edizioni, del 1923 e 1928, con il
riferimento alle ricerche in corso nell'ambito del programma di Hilbert. Fraenkel qui sta
assumendo che per la geometria sia stata provata la categoricita.
47Torneremo su questo testo, che e una testimonianza signicativa.
47
il metodo genetico dentro ad A per ottenere questi sistemi. Dunque R e
immergibile in A con una iniezione f. Ma se f non fosse un isomorsmo, A
si congurerebbe come un'estensione dell'immagine di R, mediante f, che e
isomorfa a R.
In \Uber den Zahlbegri" Hilbert non aveva parlato esplicitamente della
esistenza di una sola intepretazione, ma aveva detto, a commento dell'assioma
di completezza, che \riconosciamo la corrispondenza del nostro sistema di
numeri con l'ordinario sistema dei numeri reali".
Come abbiamo visto, tuttavia, Hilbert parla anche di un sistema di assiomi
completo, come obiettivo della sua ricerca geometrica. Hilbert spiega
a Frege che cosa intenda con cio.
[. . . ] una denizione completa di [punto] la da [. . . ] l'intero complesso
degli assiomi. Proprio cos: ogni assioma contribuisce alla
denizione, e quindi ogni nuovo assioma fa variare il concetto.
\Punto" e di volta in volta qualcosa di diverso, a seconda che lo
consideriamo nella geometria euclidea, non euclidea, archimedea,
non archimedea. Secondo il mio modo di vedere, l'aggiunta di un
qualunque assioma, dopo che un concetto e stato stabilito in modo
univoco e completo, e qualcosa di assolutamente illecito e non
logico, { un errore in cui si occorre molto di frequente, specialmente
da parte dei sici, Nelle ricerche di sica teorica compaiono
spesso evidenti non sensi appunto per il fatto che i sici assumono
senza risparmio nuovi assiomi nel corso della ricerca, senza
assolutamente confrontarli con le ipotesi ammesse in precedenza
e senza dimostrare se i nuovi assiomi non contraddicano nessuna
delle conseguenze tratte dalle precedenti ipotesi. Proprio il procedimento
di stabilire un assioma, di appellarsi alla sua verita (?)
e di concludere che esso e compatibile con i concetti deniti e una
delle fonti principali di errori e malintesi nelle moderne ricerche
siche48.
Un sistema di assiomi completo determina totalmente un concetto, se \completo"
signica che non gli si puo piu aggiungere alcuna specicazione mediante
altri assiomi. L'aggiunta di un nuovo assioma, veramente nuovo,
indipendente, darebbe origine a una contraddizione.
48Hilbert a Frege, lettera 29 dicembre 1899.
48
Questo senso di completezza e quello che corrisponderebbe alla nostra
completezza deduttiva. Tuttavia per assicurarsi di aver ottenuto lo scopo,
Hilbert pone tra gli assiomi quello che assicura la categoricita, il suo Vollst
andigkeitsaxiom. Lo scopo e raggiunto, ma non e chiaro se lo sia perche
la categoricita implica la completezza deduttiva, oppure perche si pensa che
siano lo stesso concetto.
Il dubbio e legittimo, per vari indizi. Innanzi tutto per la terminologia.
Hilbert, e altri, amavano dire che gli assiomi di una teoria T sono completi
se quando ' si puo aggiungere a T come assioma nuovo, perche ' non
e un teorema, allora T [ f'g diventa contraddittorio. Questo signica che
:' e un teorema. Si usava tuttavia sempre solo questa formulazione; ma
la proprieta che se ' non e un teorema, allora e un teorema :', e equivalente
a dire che o ' e un teorema o lo e :' (per ogni idea di logica che si
abbia). Quest'ultima formulazione invece non e mai usata quando si parla
di sistemi di assiomi completi. Non si tratta ovviamente della incapacita di
eseguire la banale trasformazione di A ! B in :A _ B, ma di una diversita
di problematiche che induce punti di vista diversi: la prima quella del completamento
degli assiomi, la seconda quella della decidibilita dei problemi. In
eetti, alla completezza deduttiva viene riservato un altro nome, nella scuola
di Hilbert negli anni venti, Entscheidungsdenitheit, cioe denita rispetto alla
decisione, o decidibilita, e ancora lo usa Godel nella presentazione dei suoi
risultati di incompletezza: \Das System S ist nicht entscheidungsdenit"49.
Non e escluso che un motivo dell'impressione e dell'incredulita di molti contemporanei
fosse dovuta, dal punto di vista psicologico, alla confusione della
completezza con la scontata categoricita dell'aritmetica50.
Tra gli assiomatizzatori di inizio secolo, la parola \completezza" era usata
per denotare la nostra categoricita. Ad esempio Edward Huntington (1874-
1952) nel 190251 propone un insieme di sei postulati per le grandezze continue
49K. Godel, \Einige metamatematische Resultate uber Entscheidungsdenitheit und
Widerspruchsfreiheit", Anzeiger der Akademie der Wissenschaftten un Wien, 67 (1930),
pp. 214-5; trad. ingl. in Collected Works, vol. I, Oxford Univ. Press, New York, 1986,
pp. 140-3; trad. italiana in Opere, vol. I, Bollati Boringhieri, Torino, xxx, pp
50Nonostante Godel spiegasse, come vedremo, che il risultato dipendeva da una restrizione
imposta ai metodi deduttivi. Godel chiama unentscheidbare (in una teoria) le proposizioni
tali che ne esse ne la loro negazione sono dimostrabili nella teoria; la terminologia
attuale e infatti di proposizioni \indecise", o \indecidibli", con una nuova complicazione
terminologica rispetto al concetto di teoria o problema indecidibile.
51E. V. Huntington, \A Complete Set of Postulates for the Theory of Absolute Continuous
Magnitude", Trans. AMS, 3 (1902), pp. 264-79. Huntington usa \assemblage" per
49
e dimostra che esso e completo, intendendo con questo che gli assiomi sono
non contraddittori, sucienti e mutuamente indipendenti; \non contraddittori"
signica che \esiste almeno un assemblage nel quale la regola di combinazione
scelta soddisfa tutti e sei i requisiti; il signicato di \sucienti"
e che \esiste essenzialmente un solo possibile assemblage siatto" (modulo
corrispondenze che ora si chiamano isomorsmi).
Anche Oswald Veblen (1880-1960) nel 1904 in una assiomatizzazione della
geometria52 mira alla categoricita per garantire la completezza deduttiva.
Egli sostiene essere suo diritto applicare i termini indeniti \punto" e \ordine"
a qualsiasi classe di oggetti per cui gli assiomi siano soddisfatti. \Rientra
nei nostri obiettivi tuttavia mostrare che esiste essenzialmente solo una classe
nella quale i dodici assiomi sono validi". Ne segue per Veblen che qualsiasi
proposizione espressa in termini di punto e ordine o e in contraddizione con
gli assiomi, o e ugualmente vera in tutte le classi che vericano gli assiomi.
Veblen tuttavia introduce il termine che risultera vincente, chiamando
\categorico" un tale sistema, pur sapendo che Huntington usa \completo" e
Hilbert \Vollstandig", tradotto con \complete". Attribuisce il termine a un
suggerimento di John Dewey, che avrebbe anche proposto \disgiuntivo" per
un sistema al quale si possono aggiungere nuovi assiomi, possibilmente in piu
di un modo.
Vediamo dunque in Veblen uno spostamento, non una eliminazione dell'ambiguit
a: egli introduce il termine \categorico" che sara utile per avere
una alternativa a \completo", e lo applica a un sistema di assiomi con \essenzialmente"
un solo modello; nello stesso tempo ritiene equivalente tale
proprieta alla impossibilita di aggiungere nuovi assiomi, cioe alla completezza
deduttiva, dal momento che la non categoricita, o proprieta disgiuntiva,
si riferisce alla possibilita di aggiungere nuovi assiomi.
Dopo il 1905, Huntington53 si adeguo alla proposta di Veblen usando
anch'egli \categorico". Altri continueranno invece ad usare \completo". Ad
esempio Enriques nel 1922:
un sistema di postulati e detto completo quando due sistemi di
entita obbligati a soddisfare il sistema [di assiomi] possono essere
\insieme", menzionando anche \Menge" e \ensemble", e usando curiosamente \insieme"
per insiemi di assiomi.
52O. Veblen, \A System of Axioms for Geometry", Trans. AMS, 5 (1904), pp. 343-84.
53E. V. Huntington, \A Set of Postulates for Real Algebra", Trans AMS, 6 (1905), pp.
17-41, nota x, p. 17.
50
messi in corrispondenza uno a uno, in modo tale che le proprieta
dell'uno si traducano in perfettamente analoghe proprieta dell'altro,
s che essi appaiano astrattamente uguali, per quel che
riguarda le idee in oggetto54.
Nel 1928 Fraenkel55 ammetteva che nell'assiomatica c'erano meno risultati
sulla completezza che sull'indipendenza (un tema su cui egli stesso lavorava,
in teoria degli insiemi) e soprattutto che non erano chiariti i rapporti tra
diverse nozioni. Ne presentava tre. In una prima versione, la completezza
di un insieme di assiomi signica che qualunque problema formulato in termini
dei concetti primitivi puo avere una risposta, in un senso o nell'altro,
positiva o negativa: si tratta della Entscheidungsdenitheit. Correttamente
Fraenkel spiegava che tale proprieta implicherebbe che nessun nuovo assioma
puo essere aggiunto a meno di non modicare i termini primitivi (diremmo:
cambiare linguaggio).
Fraenkel vedeva questa proprieta come diversa dalla completezza espressa
nell'assioma omonimo di Hilbert, e che si riferisce alla inestendibilita del
dominio, non degli assiomi, ma ammetteva che restavano oscurita. Si riferiva
alla diversita di prospettiva, o di linguaggio, non escludendo esplicitamente
che potessero essere estensionalmente equivalenti. Quindi Fraenkel cercava
di esporre un altro concetto di completezza, per descrivere la situazione che
si ha quando diverse assunzioni mutuamente contraddittorie sono tutte non
derivabili da un sistema di assiomi, ma tutte compatibili con esso. La dierenza
con la prima versione e dicile da cogliere: Fraenkel sembra dire che
nel secondo caso l'impossibilita di decidere quale assunzione ammettere non
dipenda da una insucienza dei metodi dimostrativi, ma valga in un senso
assoluto, per gli attuali e futuri metodi. Un esempio di un problema cos
resistente potrebbe essere per Fraenkel l'ipotesi del continuo.
Il terzo senso di \completezza" discusso da Fraenkel era quello di categoricit
a (cos chiamato, o \monomorcita", adottando il termine da Carnap e
Feigl), che veniva giudicato piu ampio56. Fraenkel sa che vale per i numeri
naturali, i numeri reali e la geometria: implica la completezza nel secondo
54F. Enriques, Per la storia della logica, cit. p. 198.
55A. A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre, cit. x18.4, pp. 347-54.
56Il primo uso corretto, ovvero moderno, del termine \categorico" si puo far risalire a J.
W. Young, Lectures on Fundamental Concepts of Algebra and Geometry, Macmillan, New
York, 1911, se si esclude l'anticipazione di Veblen che pero lo confondeva con \completo".
51
senso, ma Fraenkel non sa dire se valga l'implicazione inversa. Si e comunque
arrivati a porsi il problema.
Un'altra testimonianza pertinente si trova nel libro del 1930 di Felix Kaufmann
(1895-1949) sull'innito57 in un capitolo dedicato alla categoricita dell'aritmetica,
signicativamente intitolato alla \completa decidibilita" delle
questioni aritmetiche58. Le tre alternative di Fraenkel sono presentate nel
seguente modo: la prima nozione e quella di categoricita; la seconda e la
non ramicazione di una teoria, nel senso che per nessuna proposizione P si
abbia la compatibilita sia di P sia della negazione di P. La terza nozione e
quella di decidibilita, nel senso che \ogni questione che si riferisce [alla teoria]
puo essere decisa". Non pare accorgersi che le due ultime sono banalmente
equivalenti59
Kaufmann non si esponeva a sostenere se le tre nozioni coincidano o
no, ma aermava che puntano tutte allo stesso criterio, cioe ad avere una
determinazione della teoria che non richieda ulteriori perfezionamenti.
Nel 1928 un importante risultato di Thoralf Skolem (1887-1963)60 conferma
la confusione terminologica. Alla ne di un lavoro che e una pietra
miliare nella storia della logica61 Skolem dimostrava che la teoria degli ordini
densi senza primo ne ultimo elemento e completa; nello stesso tempo chiamava
kategorisch un sistema di assiomi con tale proprieta, pur dichiarando
in nota che il termine e usato anche in un altro senso; che la teoria in oggetto
non fosse categorica era evidente in ragione dei suoi modelli di cardinalita
diversa62.
Inne, dal momento che siamo saltati alla ne degli anni venti, possiamo
vedere, anticipando i tempi dell'esposizione, come Hilbert formulo il problema
57F. Kaufmann, Das Unendliche in der Mathematik und seine Ausschaltung, Franz
Deuticke, Wien, 1930.
58D'altra parte, Birkho e MacLane, in G. Birkho e S. MacLane, A survey of modern
algebra, Macmillan, New York, 1944, intitolano \Completeness of the axiom set for integral
domain" il capitolo dedicato alla categoricita degli assiomi per i domini d'integrita.
59A meno che non si parli di decidibilita di una teoria in senso moderno, con l'esistenza
di un algoritmo di decisione, ma la formulazione si riferisce chiaramente alla
Entscheidungsdenitheit.
60T. Skolem, \Uber die mathematische Logik", Norsk matematisk tidsskrift, 10 (1928),
pp. 125-42; trad.inglese in J. van Heijnoort, From Frege to Godel, cit., pp. 508-24.
61Vi torneremo a suo tempo.
62Questo e forse il primo esempio di una teoria signicativa che e completa ma non
categorica. Skolem ricorda altri esempi di teorie complete dati da C.H. Langford.
52
della completezza per l'aritmetica al congresso di Bologna del 192863.
Dalla presentazione di Hilbert si ha la conferma che il concetto di categoricit
a e di completezza deduttiva erano considerati equivalenti; quindi forse
si puo dire che la pretesa esistenza conseguente alla non contraddittorieta
aveva un senso, o un valore, per quei sistemi di assiomi che fossero risultati
completi.
Il problema della completezza dell'aritmetica consiste per Hilbert nel
cercare una versione nitisticamente64 soddisfacente della categoricita.
Problema III
E
ben vero che in generale si asserisce la completezza sia del
sistema di assiomi per la teoria dei numeri sia di quello per l'analisi;
ma l'usuale argomentazione con cui si mostra che ogni due
realizzazioni del sistema di assiomi della teoria dei numeri (risp.
dell'analisi) devono essere isomorfe, non soddisfa ai requisiti del
rigore nitario.
Cio che si deve fare { e innanzitutto per la teoria dei numeri,
il cui dominio si lascia denire con precisione { e trasformare
nitariamente la consueta dimostrazione di isomora, cos che
per questa via si dimostri quanto segue:
Se per una proposizione S puo venir dimostrata la non contraddittoriet
a con gli assiomi della teoria dei numeri, allora la non
contraddittorieta con quegli assiomi non puo venir dimostrata
anche per :S (l'opposto di S).
E in stretta connessione con cio, anche: se un enunciato e non
contraddittorio, allora e dimostrabile.
Sembra inconfutabile che la concezione di Hilbert ancora in questo momento,
e piu esplicitamente che agli inizi, sia che il concetto di completezza deduttiva
e lo stesso di quello di categoricita (qui ancora chiamato \completezza"),
63D. Hilbert, \Probleme der Grundlagen der Mathematik", in Atti Congresso internazionale
dei matematici, Bologna, 3-10 ottobre 1928 , Zanichelli, Bologna, 1929, vol. I;
pp. 135-41, con aggiunte e correzioni in Mathematische Annalen, 102 (1929), pp. 1-9;
trad. it. \Problemi della fondazione della matematica", in Ricerche sui fondamenti della
matematica, cit. pp. 292-300.
64Spiegheremo piu avanti il signicato di questo termine. Allude all'uso di metodi
dimostrativi della massima trasparenza e adabilita.
53
essendone solo una variante linguistica che si presta a una dimostrazione
con metodi costruttivamente accettabili65. A parte la dimostrazione, il risultato
di tale dimostrazione sarebbe comunque quello di riuscire a denire
assiomaticamente il concetto di numero.
Nel 1928 tuttavia Hilbert aveva a disposizione un sistema di logica preciso,
elaborato nel corso degli anni e presentato nel manuale scritto con Ackermann
nello stesso 1928, a proposito del quale poneva, come caso particolare del
problema della completezza dell'aritmetica, il problema della completezza
logica.
Non era cos all'inizio del secolo. Quando Huntington, come abbiamo
visto, aveva adottato da Veblen il termine \categorico", aveva denito tale
un sistema di assiomi per cui ogni proposizione espressa per mezzo dei termini
primitivi o e deducibile dai postulati o e in contraddizione con essi. Veblen
invece non aveva parlato di proposizioni derivabili, ma vere in tutti i modelli.
Huntington si era corretto, e aveva intuito un problema:
Nel caso di un sistema categorico di assiomi si sarebbe tentati di
enunciare il teorema che se una proposizione puo essere espressa
in termini dei concetti fondamentali, o e essa stessa deducibile dai
postulati oppure la sua contraddittoria e cos deducibile; bisogna
ammettere tuttavia che la nostra padronanza dei processi della
deduzione logica non e ancora, e magari non potra mai essere
sucientemente completa per giusticare tale asserzione66.
La denizione del concetto di completezza o categoricita per una teoria si
intersecava inne con quello della forza deduttiva della logica, o se si vuole
con il problema della completezza della logica.
Sempre negli Stati Uniti in quegli anni Edwin Wilson (1879-1964)67 diede
espressione alla consapevolezza di dover studiare i rapporti tra compatibilita
e deduzione. Dopo aver osservato che non sempre e desiderabile avere un
65Hilbert continua con una sibillina osservazione, relativamente alla possibilita che \in
ambiti superiori" sia pensabile il caso della non contraddittorieta tanto di S che di :S.
Il Problema IV espone il problema della completezza logica, dopo aver ribadito che la
completezza della teoria dei numeri \puo anche essere espressa cos: se agli assiomi della
teoria die numeri viene aggiunta una formula appartenente alla teoria dei numeri ma non
dimostrabile, allora dal sistema d'assiomi esteso puo essere derivata una contraddizione".
66E. V. Huntington, \A Set of Postulates for Ordinary Complex Algebra", Trans. AMS,
6 (1905), pp. 209-29, nota y, p. 210.
67E. B. Wilson, \Logic and the Continuum", Bull. AMS, 14 (1908), pp. 432-43.
54
sistema categorico (con l'esempio della teoria dei gruppi), ricordato che il
vantaggio della categoricita e quello che ogni proposizione costruita sui termini
primitivi e o compatibile o incompatibile, si era chiesto se si possa anche
dire che e o deducibile o in contraddizione con gli assiomi.
Questo interrogativo, questo suggerimento che compatibilita e deducibilit
a possano non essere la stessa cosa quando applicate a
sistemi categoricamente determinati, e vitale in logica e richiede
un'attenta discussione . . .E tuttavia, cosa signica la parola
deducibile? Il signicato e assolutamente relativo al sistema di
logica che e disponibile per trarre conclusioni dall'insieme delle
proposizioni primitive: Qualcuno potrebbe ritenere che la mente
umana abbia istintivamente a sua disposizione tutti i metodi
di deduzione validi. Questo e un postulato terricante, e privo
di qualsiasi valore che non sia sentimentale. Di fatto, porta
ad abbandonare ogni ricerca di metodi di deduzione ecienti, e
pericoloso e peggio che inutile. E essenziale nell'atteggiamento
moderno verso la logica che chi deduce enunci distintamente la
sua forma di inferenza.
Le sollecitazioni di Wilson tuttavia resteranno lettera morta, per un po',
non solo perche forse il loro autore non aveva abbastanza prestigio per essere
ascoltato, ma soprattutto perche mancava un oggetto preciso su cui
ragionare.
L'oggetto su cui lavorare sarebbero sistemi di logica presentati in modo
preciso, assoggettabile a una indagine metalogica; per questo tuttavia occorreva
che anche l'altro termine della questione, le nozioni semantiche, ora
espresse da parole e aggettivi particolari, come compatibilita, fosse posto in
modo indipendente e ben denito. Vedremo come si sviluppera la ricerca
negli anni venti.
55
.

gp...grazie