C. Marchini – Lezioni di Epistemologia e Storia della Matematica I/2
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Lo stesso Husserl, dopo la recensione di Frege ai suoi Principi dell'Aritmetica, abbandona le
primitive posizioni filosofiche legate allo psicologismo e dedica il suo studio, in particolare le
Ricerche Logiche, prendendo spunto dalla determinazione del tipo di esistenza degli enti matematici
quali i numeri naturali.
Nell'attuale pensiero anglosassone si parla di ontologia con riferimento specifico alle questioni di
esistenza come dipendenti dagli assiomi del linguaggio che si scelgono.
6. Esistenza e verità.
Negli Elementi è presente il problema dell'esistenza spesso identificata come costruibilità. Esiste
quindi ciò che si può effettivamente costruire, e per di più, in ambito geometrico, con gli strumenti
"teorici": riga e compasso, non quelli materiali. Questa interpretazione è seguita anche nei libri
aritmetici. Ad esempio il famoso teorema (Prop. IX.20) che garantisce che vi siano infiniti numeri
primi è in pratica un algoritmo che dati alcuni numeri primi (Euclide lo mostra con tre, p, q e r)
permette di determinarne uno non considerato con un numero finito di passi (per di più dipendente
in modo polinomiale dai dati).
Un altro caso in cui Euclide sembra utilizzare l'esistenza senza costruzione è il cosiddetto metodo di
esaustione (Libro XII), in cui si assume che esistano figure con certe proprietà. Ma si tratta di una
dimostrazione in cui l'esistenza di tali figure porta ad un assurdo, pertanto non c'è necessità
epistemologica di provare in maniera effettiva l'esistenza.
Tuttavia la formulazione del postulato delle parallele stabilisce l'esistenza di un punto, ma non
specifica come trovarlo (è infatti impossibile chiederlo). Ed è appunto la mancanza della possibilità
di un'effettiva costruzione uno dei motivi per cui tale postulato ha dato spazio ad ampie critiche,
anzi ha portato ad una profonda revisione dell'oggetto della Geometria.
Il sistema ipotetico-deduttivo che costruisce l'ossatura della presentazione del testo euclideo è sorto
probabilmente con intenti didattici (si veda l'Elenco dei Geometri di Proclo). Nell'antichità è stato
sicuramente uno dei capisaldi della cultura, al punto che anche un trattato sull'armonia di
Aristosseno si conforma a questo stile di presentazione.
Il ruolo della presentazione articolata su termini primitivi, assiomi ("logici") e postulati (specifici
della Geometria) e da questi punti di partenza poi ciò che si ottiene con definizioni e teoremi non ha
il compito di delimitare un nuovo campo di conoscenza, "creandolo", ma solo quello di descrivere
una "realtà" esperienziale condivisa.
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