Filosofia della matematica dall'essere crea là Leibnitz. Infinitamente crea infinitameventità infinitesimessere realizzato, e tali differenziali essere trattata, a loro volta, come nuove quantità primitive , e un rapporto ricercato tra loro elementi infinitamente piccoli (che, con riferimento agli oggetti finali della questione, sarà secondo differenziali), e così via; la stessa trasformazione ammettendo di essere ripetuto un numero di volte, a condizione di fine eliminando il numero sempre crescente di quantità infinitesimali introdotte come ausiliari.
Una persona non ancora familiarità con queste considerazioni non percepisce immediatamente come l'impiego di queste quantità ausiliari possono facilitare la scoperta delle leggi di analisi di fenomeni; per i infinitamente piccoli incrementi di grandezze previste sono delle stesse specie con loro, sembrerebbe che le loro relazioni non devono essere ottenuti con più facilità, in quanto il valore maggiore o minore di un quantitativo non può, infatti, esercitare alcuna influenza sulla un'indagine che è necessariamente indipendenti, per sua natura, di ogni idea di valore. Ma è facile, tuttavia, per spiegare molto chiaramente, e in modo del tutto generale, quanto la questione deve essere semplificata tale artifizio. A questo scopo, è necessario iniziare distinguere diversi ordini di infinitamente piccole quantità, una precisa idea di ottenibili considerandoli come sia le successive potenze della stessa primitiva infinitamente piccola quantità, o come quantitativi che possono essere considerati come aventi rapporti finiti con questi poteri; di modo che, per fare un esempio, il secondo, terzo, ecc, differenziali di qualsiasi variabile sono classificati come infinitamente piccole quantità di secondo ordine, il terzo, e c, perché è facile da scoprire in loro multipli finiti di secondo, terzo, (kc, poteri di un certo differenziale primo. Queste idee preliminari stanno costituendo, lo spirito della dell'analisi infinitesimale consiste nel trascurare costantemente le quantità infinitamente piccole in confronto con quantità finite, e generalmente i infinitamente piccole quantità di qualsiasi ordine qualunque rispetto con tutti quelli di ordine inferiore. è insieme evidente quanto una tale libertà deve facilitare la formazione delle equazioni tra i differenziali di quantità, poiché, al posto di questi differenziali, possiamo sostituire questi altri elementi come si può scegliere, e come sarà più semplice da considerare, solo avendo cura di conformarsi a questa sola condizione, che i nuovi elementi differiscono dai precedenti solo quantità infinitamente piccole in confronto con loro. È così che sarà possibile, in geometria, per trattare le linee curve come composto di un'infinità di elementi rettilinei, superfici curve come formata di elementi piani, e, in meccanica, movimenti variabili come una serie infinita di moti uniformi, riuscendo uno un altro a infinitamente piccoli intervalli di tempo.
Esempi. Considerando l'importanza di questa concezione ammirevole, penso che dovrei qui per completare l'illustrazione del suo carattere fondamentale dall'indicazione sintesi di alcuni esempi principali.
1. . Tangenti Let It Be necessari per determinare, per ogni punto di una curva piana, l'equazione di cui viene data, la direzione della sua tangente; una domanda la cui soluzione generale era l'oggetto primitivo dei i inventare ors di analisi trascendentale. Considereremo th tangente come secante unisce due punti infinitamente vicini l'uno all'altro; e poi, viene designato per dy e dx infinitamente piccole differenze di coordinate di questi due punti, i principi elementari di geometria saranno sorve
dy diatamente dare l'equazione t = -r- per la trigonometrica
tangente di angolo che è fatta con l'asse delle ascisse la tangente desiderata, essendo questo il modo più semplice di fissare la posizione in un sistema di rettilinei coordinate. Questa equazione, comune a tutte le curve, sia stabilita, la questione si riduce ad un semplice problema analitico, che consisterà nell'eliminare lo infinitesimi dx e dy, che sono stati introdotti come ausiliari, determinando in ciascun caso particolare, per mezzo di equazione della curva proposto, il rapporto di dy per dx, che sarà costantemente fatto da uniforme e metodi molto semplici. 2. Soluzione di un arco. In secondo luogo, supponiamo che vogliamo conoscere la lunghezza di arco di qualsiasi curva, considerata come una funzione delle coordinate di sue estremità. Sarebbe impossibile stabilire un'equazione direttamente THT tra questo arco s e queste coordinate, mentre è facile trovare il rapporto relativo tra i differenziali di queste diverse grandezze. I più semplici teoremi di geometria elementare saranno infatti dare in una sola volta, considerando i infinitamente piccolo arco ds come una linea a destra, le equazioni
ds t = dy t + dx \ o ds i = dx t + dy 1 J R dz t , a seconda che la curva è di curvatura singolo o doppio. In entrambi i casi, la questione è ora interam
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zione è senza dubbio strettamente sufficiente a dissipare ogni incertezza circa il legittimo impiego di analisi di Leibnitz. Ma il metodo infinitesimale è così importante, che offre ancora, in quasi tutte le sue applicazioni, una superiorità tale pratica negli altri concetti generali che sono stati successivamente proposti, che ci sarebbe stata una vera e propria imperfezione nel carattere filosofico della scienza se si potesse non giustificarsi, e aveva bisogno di essere logicamente fondata su considerazioni di un altro ordine, che sarebbe poi cessa di essere impiegato.
Era, quindi, di estrema importanza per stabilire direttamente e in maniera generale la necessaria razionalità del metodo infinitesimale. Dopo vari tentativi più o meno imperfetta, geometra distinta, Carnot, presentato finalmente la vera spiegazione logica diretta del metodo di Leibnitz, mostrando di essere fondato sul principio della necessaria compensazione di errori, questo essere, infatti, la manifestazione precisa e luminosa di ciò che Leibniz aveva vagamente e confusamente percepito. Carnot ha così reso la scienza un servizio essenziale, anche se, come vedremo verso la fine di questo capitolo, tutto questo impalcature logico del metodo infinitesimo, propriamente detta, è molto probabilmente suscettibile di soli esistenza provvisorio, in quanto è radicalmente vizioso nella sua natura. Tuttavia, non dobbiamo mancare di notare il sistema generale di ragionamento proposto da Carnot, al fine di legittima direttamente all'analisi di Leibnitz. Ecco la sostanza di esso:
Nello stabilire l'equazione differenziale di un fenomeno, sostituiamo, per gli elementi immediati di diverse grandezze considerate, altri infinitesimi più semplici, che differiscono da loro infinitamente piccolo in confronto con loro; e questa sostituzione costituisce l'artificio principale del metodo di Leibnitz, che senza di essa avrebbe posseduto reale impianto per la formazione di equazioni. Carnot riguarda tale ipotesi come realmente producendo un errore nell'equazione così ottenuta, e che per questo si chiama imperfetta , solo, è chiaro che questo errore deve essere infinitamente piccola. Ora, invece, tutte le operazioni di analisi, sia di differenziazione o di integrazione, che sono eseguiti su queste equazioni differenziali, al fine di sollevare le equazioni finite eliminando tutti gli infinitesimi introdotte come ausiliari, produrre costantemente , per loro natura, come è facilmente visibile, altri errori analoghi, in modo che una compensazione esatta avviene, e le equazioni finali, nelle parole di Carnot, diventa perfetta. visite Carnot, come indicazione certa ed invariabile della effettiva costituzione di questa compensazione necessaria, l'eliminazione completa dei vari infinitamente piccole quantità, che è sempre, infatti, l'oggetto finale di tutte le operazioni di analisi trascendente; perché se abbiamo commesso nessun altro infrazioni delle regole generali del ragionamento di quelli quindi preteso dalla natura stessa del metodo infinitesimale, gli infinitamente piccoli errori così prodotti non possono aver generato diverso infinitamente piccoli errori in tutte le equazioni, e le relazioni sono necessariamente di un'esattezza rigorosa appena esistono tra quantità finite sola, poiché i soli errori le possibili devono essere quelli finiti, mentre nessuno quali può essere inserito. Tutto questo ragionamento generale si fonda sulla concezione di quantità infinitesimali, considerato indefinitamente diminuendo, mentre quelli da cui sono derivati ??sono considerati fisso.
Illustrazione per tangenti. Così, per illustrare questa esposizione estratto da un solo esempio, prendiamo nuovamente la questione di tangenti, che è il più facile da un
dy alyze completamente. Noi considerare l'equazione t = -,
ottenuto sopra, come essere colpiti con un infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.
dy
t = -, dy-2axdx,
ascia
essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.
Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.
Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.
Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, che ho appositamente soffermati perché ammette di essere più facilmente comprensibile nel suo complesso, e il più rapidamente descritto.
METODO DI NEWTON.
Newton ha successivamente presentato il suo proprio metodo di concepire l'analisi trascendentale sotto diverse forme. Ciò che è attualmente il più comunemente adottata è stato designato da Newton, a volte sotto il nome del del metodo di primo e ultimo Ra tios, a volte sotto quella della il metodo di limiti.
Metodo di limiti. Lo spirito generale di analisi trascendente, da questo punto di vista, consiste nell'introdurre come ausiliari, al posto dei quantitativi primitive, o in concomitanza con essi, al fine di facilitare la creazione di equazioni, i limiti di della ra tios di incrementi simultanei di queste quantità; o, in altre parole, le finali rapporti di tali incrementi; limiti o rapporti finali che possono essere facilmente dimostrato di avere un determinato e valore finito. Un calcolo speciale, che è l'equivalente del calcolo infinitesimale, viene quindi impiegata per passare le equazioni tra questi limiti alle corrispondenti equazioni tra le quantità primitive stessi.
La potenza che è dato da una tale analisi, di esprimere con più facilità le leggi matematiche di fenomeni, dipende in generale su questo, che, poiché il calcolo si applica, non alle stesse incrementi delle quantità proposte, ma per i limiti di rapporti di tali incrementi, possiamo sempre sostituiamo per ogni incremento qualsiasi altra grandezza più facile da esaminare, a condizione che il loro rapporto finale è il rapporto di uguaglianza, o, in altre parole, che il limite del loro rapporto è unità. È evidente, infatti, che il calcolo dei limiti sarebbe in alcun modo limitati da questa sostituzione. Partendo da questo principio, troviamo quasi equivalente dei servizi offerti dall'analisi di Leibnitz, che vengono poi semplicemente concepiti sotto un altro punto di vista. Così curve vengono considerati come i limiti di una serie di poligoni rettilinei, moti variabili come i limiti di una raccolta di moti uniformi di durate costantemente decrescenti, e così via.
. Esempi 1. . Tangenti Supponiamo, per esempio, che vogliamo determinare la direzione della tangente ad una curva; considereremo come il limite verso che tenderebbe a secante, che dovrebbe ruotare attorno al punto in modo che il secondo punto di intersezione debba indefinitamente avvicinarsi alla prima. Rappresentando le differenze di coordinate dei due punti di Ay e Ax, avremmo in ogni istante, per la tangente trigonometrica del dell'angolo che la secante forma con l'asse di ascisse,
Ay Ax ! Da cui, prendendo i limiti, si otterrà, relativamente alla tangente in sé, questa formula generale di analisi trascendente, ._. Ay
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funzioni indiretti), ci porteranno indietro da questa relazione a quello che esiste tra le quantità finite stessi in esame.
3. Quadratura di una curva. Sarebbe lo stesso con la quadratura delle aree curvilinee. Se la curva è un piano uno, e di cui rettilinee coordinate, noi concepire l'area A compresa tra questa curva, l'asse delle ascisse, e due estremi coordinate, per aumentare di una quantità infinitamente piccola dA, come il risultato di un corrispondente incremento di ascissa. La relazione tra queste due differenziali può essere immediatamente ottenuta con grande facilità sostituendo l'elemento curvilineo della zona proposto rettangolo formato dalla estrema ordinata e l'elemento di ascisse, da cui evidentemente differisce solo per una quantità infinitamente piccola di il secondo ordine. In questo modo in una volta dare, qualunque sia la curva, il molto semplice equazione differenziale
dA. = YDX, dal quale, quando viene definita la curva, il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre l'equazione finita, che è l'oggetto immediato del problema.
4. Velocità in Variable movimento. Allo stesso modo, in Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.
5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.
Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.
E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.
Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per
Q
lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.
Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.
All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.
Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.
Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
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la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente
Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo
- = + 2AX AAX.
ASCIA
Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:
\ AX / \ AX /
\ AX / \ AXJ \ AX /
secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.
Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.
Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.
Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.
Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il flux
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ragionamento, deve essere fondata sulla sola osservazione, e che costituiscono la base necessaria di tutte le deduzioni.
La superiorità scientifica della geometria deriva dai fenomeni che ritiene essere necessariamente la più universale e il più semplice di tutti. Non solo possono tutti 'i corpi di natura dar luogo a indagini geometriche, così come quelle meccaniche, ma ancora più lontano, fenomeni geometrico esisterebbe ancora, anche se tutte le parti del dell'universo dovrebbero essere considerati come beni. La geometria è quindi, per sua natura, più generale meccanica. Allo stesso tempo, i suoi fenomeni sono più semplici, perché sono evidentemente indipendenti di fenomeni meccanici, mentre questi ultimi sono sempre complicato con i primi. Le stesse relazioni valgono nel confronto con la geometria termologia astratto.
Per queste ragioni, nella nostra classificazione mettiamo geometria prima parte del calcestruzzo matematica ; quella parte dello studio di cui, oltre alla sua propria importanza, serve come base indispensabile di tutto il resto.
Prima di considerare direttamente lo studio filosofico di diversi ordini di richieste che costituiscono la nostra geometria attuale, dovremmo ottenere una idea chiara e precisa della destinazione generale di che la scienza, visto in tutte le sue cuscinetti. Tale è l'oggetto di questo capitolo.
. Definizione geometria viene comunemente definito in modo molto vago e del tutto impropria, come la scienza di estensione. Un miglioramento su questo sarebbe dire che la geometria ha per oggetto la misura di estensione; ma una tale spiegazione sarebbe molto insufficiente, anche se, in fondo, corretta, e sarebbe molto da dare qualche idea del vero carattere generale della scienza geometrica.
Per fare questo, penso che dovrei prima spiegare due divertenti fon- idee, che, molto semplice in se stessi, sono stati singolarmente oscurate con l'impiego di considerazioni metafisiche.
L' idea di spazio. La prima è quella di spazio. Questa concezione consiste propriamente semplicemente nel fatto che, invece di considerare l'estensione nei corpi stessi, l'abbiamo vista in un mezzo indefinito, che noi consideriamo come contenente tutti gli organi della dell'universo . Questa nozione è naturalmente suggerito da osservazione, quando pensiamo di l'impressione che un corpo avrebbe lasciato in un fluido in cui era stato collocato. È evidente, infatti, che, per quanto riguarda le sue relazioni geometriche, tale impressione può essere sostituito per il corpo stesso, senza alterare i ragionamenti rispetto esso. Per quanto riguarda la natura fisica di questo indefinito spazio, siamo spontaneamente portati a rappresentare a noi stessi, ad essere del tutto analogo al mezzo reale in cui viviamo; in modo che se questo mezzo era liquido invece di gassosa, nostro geometrico spazio sarebbe certamente essere concepito come liquida. Questa circostanza è, del resto, solo molto secondario, l'oggetto essenziale di tale concezione essendo solo per farci consideriamo estensione separatamente dai corpi che si manifestano a noi. Possiamo facilmente capire in anticipo l'importanza di questa immagine fondamentale, poiché ci permette di studiare fenomeni geometrico in sé, astrazione essendo fatto di tutti gli altri fenomeni che li accompagnano costantemente in corpi reali, senza howover, esercitare alcuna influenza su di loro. La creazione regolare di questa astrazione generale deve essere considerato come il primo passo che è stato fatto nello studio razionale della geometria, che sarebbe stato impossibile se fosse stato necessario prendere in considerazione, insieme con la forma e la grandezza dei corpi, tutta la loro altre proprietà fisiche. L'uso di una tale ipotesi, che è forse la più antica concezione filosofica creato dalla mente umana, è diventata così familiare a noi, che abbiamo difficoltà esattamente valutare la sua importanza, cercando di apprezzare le conseguenze che deriverebbero dalla sua soppressione.
Diversi tipi di estensione. La seconda concezione geometrica preliminare che dobbiamo esaminare è quella di diversi tipi di estensione, designati dalla parole di volume, di superficie, la linea, e anche il punto, e di cui la spiegazione ordinaria è così insoddisfacente. *
Anche se è evidentemente impossibile concepire qualsiasi estensione assolutamente priva di una qualsiasi delle tre dimensioni fondamentali, è altrettanto incontestabile che, in un gran numero di volte, anche di utilità immediata, domande geometrici dipendono solo due dimensioni, considerati separatamente dal il terzo, o in una sola dimensione, considerati separatamente dagli altri due. Ancora una volta, indipendentemente di questo motivo diretta, lo studio di estensione con una sola dimensione, e poi con due, si presenta chiaramente come un preliminare indispensabile per facilitare lo studio dei corpi completi di tre dimensioni, la teoria immediata di cui sarebbe troppo com * Lacroix giustamente criticato l'espressione di solido, comunemente usato dai geometri per designare un volume. è certo, infatti, che quando vogliamo considerare separatamente una certa porzione di spazio indefinito, concepito come gassosa, abbiamo mentalmente solidificare il suo involucro esterno, in modo che una linea ed una superficie sono abitualmente, alla nostra mente, proprio come solido come un volume. può anche essere osservato che la maggior parte in genere, in modo che i corpi possono penetrare l'un l'altro con più facilità, siamo obbligati ad immaginare l'interno di i volumi di essere vuota, che rende ancora più sensibile la scorrettezza della parola tolid.
complicata. Questi sono i due motivi generali che obbligano geometri considerare separatamente estensione con riferimento ad una o due dimensioni, nonché relativamente a tutti e tre insieme.
I concetti generali di superficie e di linea sono stati formati dalla mente umana, in modo che possa essere in grado di pensare, in modo permanente, di estensione in due direzioni, oppure in uno solo. Le espressioni iperboliche abitualmente impiegati da geometri per definire queste nozioni tendono a trasmettere false idee su di loro; ma, ha esaminato in se stessi, non hanno altro scopo che per permetterci di ragionare con facilità rispetto di questi due tipi di estensione, rendendo completa astrazione di ciò che non deve essere preso in considerazione. Ora per questo è sufficiente concepire la dimensione che si vuole eliminare per diventare gradualmente più piccola, gli altri due rimanenti stesso, fino ad arrivare ad un tale grado di tenuity che non può più fissare l'attenzione. È così che abbiamo naturalmente acquisire la vera idea di una superficie, e, da una seconda operazione analoga, l'idea di una linea, ripetendo per ampiezza quanto avevamo dapprima fatto per spessore. Infine, se ancora una volta ripetere la stessa operazione, arriviamo all'idea di un punto, o di una estensione considerato solo con riferimento al suo posto, l'astrazione di essere fatto di tutto grandezza, e di conseguenza progettato per determinare le posizioni.
Superfici evidentemente hanno inoltre la proprietà generale di volumi esattamente circoscrivono; e allo stesso modo, linee, a loro volta, circoscrivono superfici e sono limitate da punti. Ma questa considerazione, a cui troppa importanza è dato spesso, è soltanto uno secondario.
Superfici e linee sono, quindi, in realtà, sempre concepiti con tre dimensioni; sarebbe, infatti, impossibile rappresentare a se stessi una superficie altrimenti che come una piastra estremamente sottile, e una linea altrimenti che come un filo infinitamente bene. È anche evidente che il grado di tenuity attribuito ogni individuo alle dimensioni dei quali desidera fare astrazione non è sempre identica, perché deve dipendere dal grado di sottigliezza dei suoi abituali osservazioni geometriche. Questa mancanza di uniformità ha, inoltre, non inconveniente reale, in quanto è sufficiente, in modo che le idee di superficie e di linea dovrebbero soddisfare la condizione essenziale della loro destinazione, per ognuno di rappresentare a se stesso le dimensioni che devono essere trascurati come essere più piccolo di tutti coloro la cui grandezza della sua esperienza quotidiana gli dà modo di apprezzare.
Noi quindi vediamo come priva di ogni significato sono le fantastiche discussioni dei metafisici sulle fondamenta della geometria. Va anche osservato che queste idee primordiali sono abitualmente presentati dai geometri in maniera non filosofica, poiché, ad esempio, spiegano le nozioni di diversi tipi di misura in un ordine assolutamente l'inverso della loro dipendenza naturale, che produce spesso più gravi inconvenienti in istruzione elementare.
L'oggetto finale DI GEOMETRIA.
Questi preliminari essendo stabilito, si può procedere direttamente alla definizione generale di geometria, continuando a concepire questa scienza come avente per oggetto finale misura di estensione.
E 'necessario in questa materia per andare in un approfondito
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Filosofia della matematica
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spiegazione, fondata sulla distinzione dei tre tipi di estensione, poiché la nozione di misura non è esattamente lo stesso con riferimento a superfici e volumi da linee.
Natura del geometrica misura. Se prendiamo la parola misura nella sua diretta e generale accettazione matematica, che significa semplicemente la determinazione del valore di i rapporti fra qualsiasi grandezze omogenee, bisogna considerare, nella geometria, che la misura di superfici e di volumi , a differenza di quello di linee, non è mai concepito, anche in casi più favorevoli più semplice e, come essere effettuata direttamente. Il confronto delle due linee è considerato diretto; che di due superfici o di due volumi è, al contrario, sempre indiretta. Così noi concepiamo che due linee possono essere sovrapposte; ma la sovrapposizione delle due superfici, o, più ancora, di due volumi, è evidentemente impossibile nella maggior parte dei casi; e, anche quando diventa rigorosamente possibile, tale confronto è mai né conveniente o esatta. È, quindi, molto necessario spiegare in cosa consiste correttamente la misura vera geometrica di una superficie o di un volume.
Misurazione di superfici e dei volumi. Per questo bisogna considerare che, qualunque sia la forma di un corpo, esiste sempre un certo numero di linee, più o meno facile da assegnare, la lunghezza del quale è sufficiente a definire esattamente grandezza della superficie o del suo volume. Geometria, riguardo queste righe da sola suscettibile di essere misurata direttamente, propone dedurre, dalla semplice determinazione del loro, il rapporto di superficie o di volume cercato, all'unità di superficie, oppure l'unità di volume. Così l'obiettivo generale di geometria, rispetto alle superfici e volumi, è correttamente ridurre tutti i confronti di superfici o di volumi a semplici confronti di linee.
Oltre la grandissima facilità che una tale trasformazione offre evidentemente per la misura di volumi e di superfici, ne risulta da esso, in considerazione in modo più esteso e più scientifica, la possibilità generale di ridurre a questioni di linee tutte le questioni relative volumi e superfici, considerate con riferimento alla loro grandezza. Tale è spesso l'uso più importante delle espressioni geometriche che determinano superfici e volumi in funzioni delle linee corrispondenti.
È vero che i confronti diretti tra superfici o tra volumi sono talvolta impiegati ; ma tali misurazioni non sono considerati geometrico, ma solo come un supplemento talvolta necessario, anche se troppo raramente applicabile, alla insufficienza o alla difficoltà di metodi veramente razionali. È così che spesso determinare il volume di un corpo, e in alcuni casi la sua superficie, tramite di suo peso. Allo stesso modo, in altre occasioni, quando possiamo sostituire il volume proposto un volume liquido equivalente, si stabilisce direttamente il confronto dei due volumi, approfittando dalla proprietà posseduta da masse liquide, di assumere qualsiasi forma desiderata. Ma tutti i mezzi di questa natura sono puramente meccanico, e la geometria razionale li rifiuta necessariamente.
Per rendere più sensibile la differenza tra queste modalità di determinazione e veri misure geometriche, citerò un solo molto notevole esempio; il modo in cui Galileo determinato il rapporto della cicloide ordinaria a quella del cerchio generatore. La geometria del suo tempo era ancora insufficienti per la soluzione razionale di tale problema. Galileo concepì l'idea di scoprire che il rapporto con un esperimento diretta. Avendo pesato come esattamente come possibili due piastre di stesso materiale e di uguale spessore, uno dei quali ha la forma di un cerchio e l'altro che di quello generato cicloide, trovò il peso di quest'ultimo sempre il triplo del precedente; donde dedotto che la zona della cicloide è triplo del cerchio generatore, un risultato accordo con la soluzione vera successivamente ottenuto da Pascal e Wallis. Tale successo dipende evidentemente l'estrema semplicità del rapporto richiesto; e siamo in grado di capire l'insufficienza necessaria di tali espedienti, anche quando sono in realtà praticabile.
Vediamo chiaramente da quanto precede, la natura di quella parte della geometria relativa ai volumi e quello relativo alla superficie. Ma il carattere della geometria delle linee non è così evidente, dal momento che, al fine di semplificare l'esposizione, abbiamo considerato la la misurazione di linee come riferimenti direttamente. C'è quindi bisogno di una spiegazione complementare rispetto ad essi.
Misurazione di curve linee. Per questo scopo, è sufficiente distinguere tra la linea destra e linee curve, la misurazione del primo essere solo considerato diretto, e che di altra come sempre indiretta. Sebbene sovrapposizione volte è strettamente funzionale per linee curve, è tuttavia evidente che la geometria veramente razionale deve necessariamente respingerla, non ammettendo di tutta la precisione, anche quando è possibile. La geometria delle linee è, quindi, per il suo scopo generale, per ridurre in ogni caso la misura di linee curve a quella di rette; e di conseguenza, nel punto più esteso di vista, per ridurre a semplici domande di linee rette tutte le questioni relative alla grandezza di eventuali curve qualunque. Per comprendere la possibilità di una tale trasformazione, si deve notare che in ogni curva esistono sempre alcune linee rette, la lunghezza della quale deve essere sufficiente a stabilire che della curva. Così, in un cerchio, è evidente che dalla lunghezza del raggio dobbiamo essere in grado di dedurre che della circonferenza; allo stesso modo, la lunghezza di un ellisse dipende da quella dei suoi due assi; la lunghezza di una cicloide dal diametro del la cirole generatrice, ecc; e se, invece di considerare l'intero di ogni curva, chiediamo, più in generale, la lunghezza di ogni arco, sarà sufficiente aggiungere ai diversi parametri rettilinee, che determinano l'intera curva, la corda della dell'arco proposto, o le coordinate delle sue estremità. Per scoprire la relazione che esiste tra la lunghezza di una linea curva e che di linee simili destra, è il problema generale della parte della geometria che riguarda lo studio di linee. Combinando questa considerazione con quelli precedentemente suggerito in termini di volumi e superfici, si può formare una chiara idea della scienza della geometria, concepita in tutte le sue parti, assegnando ad esso, per il suo scopo generale, la riduzione finale dei confronti di tutti i tipi di misura, volumi, superfici, o linee, a semplici confronti di linee rette, gli unici confronti considerati in grado di essere fatto direttamente, e che anzi non potevano essere ridotti a tutti gli altri più facile effetto. Tale concezione, allo stesso tempo, indica chiaramente il carattere vero di geometria, e sembra adatta a mostrare un solo sguardo sua utilità e la sua perfezione.
Misurazione di destra Lines. Per completare questa spiegazione fondamentale, devo ancora mostrare come ci può essere, in geometria, una sezione particolare relativa alla linea di destra, che sembra a prima incompatibile con il principio che la misura di questa classe di le linee devono essere sempre considerati come diretta.
È così, di fatto, rispetto a quello delle linee curve, e di tutti gli altri oggetti che geometria considera. Ma è evidente che la stima di una linea retta non può essere considerato come diretto se non in quanto l'unità lineare può essere applicato ad esso. Ora questo spesso presenta difficoltà insormontabili, come ho avuto occasione di mostrare, per un altro motivo, nel capitolo introduttivo. Dobbiamo, quindi, effettuare la misurazione della linea di destra proposto dipendono altre misure analoghe capaci di essere effettuati direttamente. Non vi è, quindi, necessariamente un ramo distinto primaria di geometria, esclusivamente dedicato alla linea di destra; il suo scopo è di determinare alcune linee rette da altri per mezzo di rapporti appartenenti alle figure derivanti dalla loro assemblaggio. Questa parte preliminare della geometria, che è quasi impercettibile visualizzazione tutta della scienza, è tuttavia suscettibile di un grande sviluppo. Evidentemente è di particolare importanza, poiché tutte le altre misure geometriche sono indicati quelli di linee rette, e se non sono determinabili, la soluzione di ogni domanda rimarrebbe incompleto.
Tale, quindi, sono le varie parti fondamentali di geometria razionale, disposte secondo la loro naturale dipendenza; la geometria delle linee in fase di prima considerato, a cominciare con la linea a destra; allora la geometria del sur * facce, e, infine, che di solidi.
Giacinto
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Estensione infinita DI suo campo.
Avendo determinato con precisione l'oggetto generale e finale delle indagini geometriche, la MUSL scienza ora essere considerata rispetto al campo abbracciato bj ciascuno dei suoi tre sezioni fondamentali.
Così considerata, la geometria è evidentemente suscettibile, per sua natura, di una estensione che è rigorosamente infinita; per la misura di linee, di superfici o di volumi presenta necessariamente come molte domande distinte come si può concepire figure diverse sottoposti a definizioni esatte; e il loro numero è evidentemente infinita.
Geometri si sono limitati in un primo momento di prendere in considerazione le figure più semplici che le sono stati forniti direttamente dalla natura, o che sono state dedotte da questi elementi primitivi di meno complicate combinazioni. Ma hanno percepito, poiché Descartes, che, per costituire la scienza nel modo più filosofica, è stato necessario far applicare a tutte le figure immaginabili. Questa geometria astratta sarà quindi inevitabilmente comprendere come casi particolari tutte le diverse figure reali che il mondo esterno potrebbe presentare. Si tratta quindi di un principio fondamentale in geometria veramente razionale di considerare, per quanto possibile, tutte le cifre che può essere rigorosamente concepite.
L'esame più superficiale è sufficiente a convincerci che queste cifre rappresentano una varietà che è abbastanza infinita.
Infinità di linee. Rispetto alle curve linee, considerandole generato dal movimento di un punto governato da una certa legge, è chiaro che avremo, in generale, come molte curve differenti come concepire leggi diverse per questa proposta, che possono evidentemente essere determinato da una infinità di condizioni distinte; anche se a volte può accadere accidentalmente che le nuove generazioni producono curve che sono stati già ottenuti. Così, tra curve piane, se un punto si muove in modo da restare sempre alla stessa distanza da un punto fisso, si genererà un cerchio , se è la somma o la differenza delle sue distanze da due punti fissi che rimane costante, la curva descritta sarà un ellisse o un iper bola , se è il loro prodotto, avremo una curva completamente diversa; se il punto di partenza altrettanto da un punto fisso e da una linea fissa, si descriverà una parabola; se ruota su un cerchio al tempo stesso che questo cerchio rotola lungo una linea retta, avremo una cicloide, se avanza lungo una linea retta, mentre questa linea, fissato a una delle sue estremità, si trasforma in qualsivoglia modo, ci si tradurrà ciò in termini generali sono chiamati spi RAL, che di sé evidentemente presenti tante curve perfettamente distinti, come possiamo supporre differenti rapporti tra questi due movimenti di traslazione e di rotazione, ecc Ognuna di queste diverse curve possono quindi fornire nuovi, dalle diverse costruzioni generali che geometri hanno immaginato, e che danno luogo a evolute, a epicycloids, a sostanze caustiche, ecc Infine, esiste una ancora maggiore varietà tra le curve di doppia curvatura.
[grafico]
Infinità di superfici. Per quanto riguarda le superfici, le figure sono necessariamente più ancora diverso, considerandoli come generato dal moto di linee. Infatti, la cifra può quindi variare, non solo nel considerare, come nelle curve, le diverse infinitamente numerose leggi per cui il moto della linea generatrice può essere sottoposto, ma anche supponendo che questa linea si può cambiare la sua natura; circostanza che non ha nulla analogo nelle curve, in quanto i punti che descrivono loro non possono avere qualsiasi figura distinta. Due classi di condizioni molto differenti possono quindi causare le figure di superfici di variare, mentre esiste una sola delle linee. È inutile citare esempi di questa molteplicità doppiamente infinita di superfici. Sarebbe sufficiente considerare l'estrema varietà del singolo gruppo di superfici che possono essere generati da una linea retta, e che comprende tutta la famiglia di superfici cilindriche, che di superfici coniche, la classe più generale di superfici sviluppabili, ec
Infinità di volumi. Per quanto riguarda i volumi, non vi è alcun motivo per qualsiasi particolare considerazione, in quanto si distinguono tra loro solo dalle superfici che li delimitano.
Per completare questo disegno, si deve aggiungere che le superfici stesse arredare una nuova mezzo generale di concepire nuove curve, poiché ogni curva può essere considerata come prodotta dall'intersezione delle due superfici. È in questo modo, infatti, che le prime linee che possiamo considerare come essendo veramente inventato da geometri stati ottenuti, poiché la natura ha dato direttamente la retta e il cerchio. Sappiamo che l'ellisse, la parabola e l'iperbole, le uniche curve completamente studiati dagli antichi, erano in origine concepito solo come risultante dall'intersezione di un cono a base circolare da un piano in diverse posizioni. È evidente che, con l'impiego combinato di questi diversi mezzi generali per la formazione di linee e di superfici, potremmo produrre una serie rigorosamente infinitamente di forme distinte partendo da solo un piccolo numero di dati forniti direttamente dall'osservazione.
[grafico]
Analitica invenzione di curve, Sfc. Infine, tutti i vari mezzi diretti per l'invenzione delle figure hanno quasi nessuna importanza più in là, dal momento che la geometria razionale ha assunto il suo carattere finale nelle mani di Cartesio. Infatti, come vedremo più ampiamente nel capitolo iii., L'invenzione di dati è ora ridotta l'invenzione di equazioni, in modo che nulla è più facile che concepire nuove linee e nuove superfici, modificando a piacimento le funzioni introdotte nel equazioni. Questa semplice procedura astratta è, a questo proposito, infinitamente più feconda tutte le risorse dirette di geometria, sviluppata dal più potente immaginazione, che dovrebbe dedicarsi esclusivamente a questo ordine di concezioni. Essa spiega anche, nel più generale e il modo più evidente, l'necessariamente infinita varietà di forme geometriche, che corrisponde quindi alla diversità di funzioni analitiche. Infine, non mostra meno chiaramente che le varie forme di superfici devono essere ancora più numerose di quelle delle linee, poiché le linee sono rappresentate analiticamente da equazioni con due variabili, mentre le superfici danno luogo a equazioni in tre variabili, che presentano necessariamente una maggiore diversità .
Le considerazioni che precedono sono sufficienti a mostrare chiaramente la portata rigorosamente infinita di ciascuna delle tre sezioni generali di geometria.
ESPANSIONE DI definizione originale.
Per completare la formazione di un'idea esatta e sufficientemente estesa della natura delle indagini geometriche, è ormai indispensabile per tornare alla definizione generale
N
sopra determinato, al fine di presentare sotto un nuovo punto di vista, senza la quale la scienza completa sarebbe solo molto imperfettamente concepito.
Quando si assegna come l'oggetto della geometria di misura mi- di tutti i tipi di linee, superfici e volumi, che è, come è stato spiegato, la riduzione di tutti i confronti geometriche semplici confronti di linee rette, abbiamo evidentemente il vantaggio di indicare una destinazione generale molto preciso e molto facile da comprendere. Ma se mettiamo da parte ogni definizione, ed esaminiamo la composizione effettiva della scienza della geometria, ci sarà in un primo momento essere indotti a considerare la definizione precedente, come troppo ristretta; poiché è certo che la maggior parte delle indagini che costituiscono la nostra geometria presente non affatto sembrano avere per oggetto la misura zione di estensione. A dispetto di questa obiezione fondamentale, io persistere nel mantenere questa definizione; per, infatti, se, invece di limitarci a considerare le diverse domande di geometria isolatamente, ci sforziamo di cogliere le questioni più importanti, in confronto con il quale tutti gli altri, per quanto importanti esse siano, devono essere considerati come solo secondario, ci sarà infine riconoscere che la misurazione di linee, di superfici e di volumi, è l'oggetto invariabile, talvolta direttamente, ma più frequentemente indiretta, di tutte le fatiche geometriche.
Questa proposizione generale è fondamentale, dal momento che può solo dare la nostra definizione tutto il suo valore, è indispensabile per entrare in alcuni sviluppi su questo argomento.
Giacinto
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PROPRIETA ' DEI linee e superfici.
Quando esaminiamo con attenzione le indagini geometriche che non sembrano riguardare la misura zione di misura, troviamo che consistono essenzialmente nello studio delle diverse proprietà di ciascuna linea o su ogni superficie; cioè nella conoscenza delle diverse modalità di generazione, o almeno di definizione, peculiare di ogni figura considerato. Ora si può facilmente stabilire in modo più generale, la relazione necessaria di tale studio alla questione di misura, per il quale la conoscenza più completa delle proprietà di ciascuna forma è un preliminare indispensabile. Questo è contemporaneamente dimostrato da due considerazioni, altrettanto fondamentali, pur pienamente distinti nella loro natura.
Necessità di loro studio : 1. Per trovare il più tuta in grado di proprietà. La prima, puramente scientifico, consiste nel osservando che, se non sapevamo qualsiasi altra proprietà caratteristica di ciascuna linea o una superficie di quella in base alla quale i geometri avevano prima concepito che, nella maggior parte dei casi sarebbe impossibile riuscire nella soluzione di questioni relative alla sua misurazione. in realtà, è facile comprendere che le varie definizioni che ogni figura ammette di non sono tutti ugualmente adatto per un tale oggetto, e che hanno anche presenti le opposizioni più complete a tale riguardo. Inoltre, poiché la definizione primitiva di ciascuna figura non era evidentemente scelto con questa condizione in vista, è chiaro che non dobbiamo aspettarci, in generale, per trovare il più adatto; donde risulta la necessità di altri scoperta, che è, di studiare per quanto possibile le proprietà della figura proposto. Supponiamo, per esempio, che il cerchio è definito come "la curva che, con lo stesso profilo, contiene la più grande area." Questa è certamente una struttura molto caratteristica, ma ci sarebbe evidentemente trovare difficoltà insormontabili nel cercare di dedurre da tale punto di partenza della soluzione delle questioni fondamentali relative alla rettifica o alla quadratura di questa curva. È chiaro, in anticipo, che la proprietà di avere tutti i suoi punti equidistanti da un punto fisso deve evidentemente essere meglio adattata alle richieste di questo tipo, anche se non sia proprio il più adatto. In maniera simile, sarebbe Archimede mai potuto scoprire la quadratura della parabola se avesse conosciuto altra struttura di quella curva da quella che era la sezione di un cono a base circolare, da un piano parallelo al suo generatrice? Le fatiche puramente speculativi di geometri precedenti, a trasformare questa prima definizione, erano evidentemente preliminari indispensabili alla soluzione diretta di una simile domanda. Lo stesso vale, in misura ancora maggiore, rispetto alle superfici. Per formare una giusta idea di questo, abbiamo bisogno solo confrontare, per quanto riguarda la domanda di cubatura o di quadratura, la definizione comune di sfera con quella, non meno caratteristica certamente, che consisterebbe nel considerare un corpo sferico, come quella che , con la stessa area, contiene il maggior volume.
Non sono necessari altri esempi per mostrare la necessità di conoscere, per quanto possibile, tutte le proprietà di ogni linea o di ogni superficie, al fine di facilitare la ricerca di rettifiche, di quadrature, e di cubature, che costituisce l'oggetto finale di geometria. Si può anche dire che la principale difficoltà di domande di questo tipo consiste nell'impiego in ogni caso la proprietà che
N
è meglio adattato alla natura del problema proposto. Così, mentre si continua ad indicare, per una maggiore precisione, la misura della estensione come destinazione generale di geometria, questa prima considerazione, che va al fondo del soggetto, mostra chiaramente la necessità di includervi studio, il più preciso possibile, delle diverse generazioni o definizioni appartenenti alla stessa forma.
2. Per passare dalla il calcestruzzo per la Priorità. A seconda considerazione, di almeno pari importanza, consiste in un tale studio sia indispensabile per organizzare in modo razionale il rapporto di astratto al concreto in geometria.
La scienza della geometria di dover prendere in considerazione tutte le figure immaginabili che ammettono di una definizione esatta, che necessariamente ne deriva, come abbiamo notato, che le questioni relative a tutte le cifre presentate dalla natura sono sempre implicitamente comprese nella presente geometria astratta, suppone di avere raggiunto la sua perfezione. Ma quando è necessario passare realmente alla geometria concreta, abbiamo costantemente incontriamo con una difficoltà fondamentale, quello di sapere a quale dei diversi tipi astratti siamo di riferimento, con sufficiente approssimazione, le linee reali o superfici che dobbiamo studiare. Ora è allo scopo di stabilire una tale relazione che è particolarmente indispensabile conoscere il maggior numero possibile di proprietà di ogni figura considerate in geometria.
Infatti, se ci siamo sempre confinato alla definizione unica primitiva di una linea o di una superficie, supponendo anche che potremmo poi misurare esso (che, secondo il primo ordine di considerazioni, sarebbe generalmente impossibile), questa conoscenza rimarrebbe quasi necess * riamente sterile nella domanda, dal momento che non devono essere formulate saper riconoscere quella figura in natura, quando si è presentata lì; assicurare che, sarebbe necessario che la sola caratteristica, secondo cui geometri aveva concepito, dovrebbe essere proprio quella la cui verifica circostanze esterne ammetterebbe: una coincidenza che sarebbe del tutto casuale, e che non potevamo contare, anche se potrebbe a volte avvenire. È, quindi, solo moltiplicando il più possibile le caratteristiche proprie di ciascuna figura astratta, che possiamo essere certi, in anticipo, di riconoscere nello stato concreta, e di trasformando così conto di tutte le nostre fatiche razionali, verificando in ogni caso la definizione che è suscettibile di essere direttamente provato. Questa definizione è quasi sempre l'unico in determinate circostanze, e varia, invece, per la stessa figura, con diverse circostanze; una doppia ragione per la sua determinazione precedente.
Illustrazione : Orbite di i . Pianeti La geometria dei cieli ci fornisce un esempio molto memorabile in questa materia, ben si adatta a mostrare la necessità generale di tale studio. Sappiamo che l'ellisse è stato scoperto da Keplero per essere la curva che i pianeti descrivono attorno al sole, ei satelliti sui loro pianeti. Ora sarebbe questa scoperta fondamentale, che ricreato astronomia, mai stato possibile, se geometri stati sempre limitati a concepire l'ellisse solo come sezione obliqua di un cono circolare con un piano? N tale definizione, è evidente, sarebbe ammettere di tale verifica. La proprietà più generale della dell'ellisse, che la somma delle distanze da qualsiasi dei suoi punti di due punti fissi è una quantità costante, è indubbio ly molto più sensibili, per sua natura, di provocare la curva di essere riconosciuto in questo caso, ma ancora non è direttamente adatta. L'unica caratteristica che può qui essere immediatamente verificato è quello che è derivato dalla relazione che esiste in dell'ellisse tra la lunghezza delle distanze focali e la loro direzione; l'unica relazione che ammette di un'interpretazione astronomica, come esprime la legge che collega la distanza dal pianeta al sole, con il tempo trascorso dall'inizio della sua rivoluzione. E 'stato, quindi, necessario che i lavori puramente speculativi dei geometri greci sulle proprietà delle sezioni coniche dovrebbero hanno già presentato la loro generazione sotto una moltitudine di diversi punti di vista, prima di Keplero potrebbe così passare dal al concreto, in scegliendo tra tutte queste caratteristiche diverse che uno che potrebbe essere più facilmente provata per le orbite planetarie.
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Illustrazione : Figura del la Terra. Un altro esempio del medesimo ordine, ma relativa ad superfici, avviene nel considerare la questione importante della figura della terra. Se avessimo mai conosciuto qualsiasi altra proprietà della sfera rispetto al suo carattere primitivo di avere tutti i suoi punti equidistanti da un punto interno, come avremmo mai stati in grado di scoprire che la superficie della terra era sferica? Per questo, è stato necessario precedenza dedurre da questa definizione della sfera alcune proprietà capaci di essere verificata da osservazioni fatte sulla sola superficie, come il rapporto costante che esiste tra la lunghezza della traiettoria percorsa in direzione di qualsiasi meridiano di una sfera andando verso un palo, e l'altezza angolare di questo polo sopra l'orizzonte in ogni punto. Un altro esempio, ma coinvolge un molto più lungo
Giacinto
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serie di speculazioni preliminari, è la prova successiva che la terra non è rigorosamente sferica, ma che la sua forma è quella di un ellissoide di rivoluzione.
Dopo tali esempi, sarebbe inutile dare tutti gli altri, che qualunque inoltre può facilmente moltiplicarsi. Tutti di loro dimostrano che, senza una conoscenza molto estesa delle differenti proprietà di ciascuna figura, la relazione di astratto al concreto, in geometria, sarebbe puramente casuale, e che il soience sarebbe quindi voglio uno dei suoi fondamenti più essenziali.
Questa, dunque, sono due considerazioni generali che dimostrano pienamente la necessità di introdurre nella geometria di un gran numero di indagini che non hanno la mis mi- di estensione per il loro oggetto diretto; mentre si continua, tuttavia, a concepire un tale misura come la destinazione finale di ogni scienza geometrica. In questo modo siamo in grado di mantenere i vantaggi filosofiche della la chiarezza e la precisione di questa definizione, e ancora includere in esso, in maniera indiretta, molto logico, però, tutte le note ricerche geometriche, nel considerare quelle che non sembrano riferiscono alla misura di estensione, come previsto sia per preparare la soluzione di questioni finali, o per rendere possibile l'applicazione delle soluzioni ottenute.
Avendo così riconosciuta, come principio generale, il collegamento stretta e necessaria di studio delle proprietà di linee e superfici con quelle ricerche che costituiscono l'oggetto finale della geometria, è evidente che geometri, nel corso del loro lavoro, devono by nessun modo limitano se stessi per mantenere un tale legame sempre in vista. Sapendo, una volta per tutte, quanto sia importante è quello di variare il più possibile le modalità di concepire ogni figura, essi dovrebbero perseguire tale studio, senza considerare di quello che uso immediato tale o una proprietà così speciale può essere per rettifiche, quadratura, e cubature . Avrebbero inutilmente incatenare le loro richieste ed accompagnato da una importanza puerile per la continua creazione di tale coordinamento.
Questa esposizione generale di scopo generale della geometria è tanto più indispensabile in quanto, per la natura stessa del soggetto, questo studio delle diverse proprietà di ogni linea e di ciascuna superficie compone necessariamente di gran lunga la maggior parte del corpo intero di ricerche geometriche. In effetti, le questioni relative direttamente a rettifiche, a quadrature, e di cubature, sono evidentemente, di per sé, molto pochi in numero per ogni figura considerato. D'altra parte, lo studio delle proprietà della stessa figura presenta un campo illimitato all'attività della mente umana, in cui può sempre sperare di fare nuove scoperte. Così, anche se geometri si sono occupati per venti secoli, con attività più o meno senza dubbio, ma senza alcuna interruzione reale, nello studio delle sezioni Conio, sono lontani dal ritenere che così semplice soggetto come esaurimento; ed è certo, infatti, che nel continuare a dedicarsi ad essa, che non avrebbe mancato di trovare ancora sconosciute proprietà di queste diverse curve. Se fatiche di questo tipo hanno rallentato considerevolmente per un secolo passato, non è perché non sono stati completati, ma solo, come verrà attualmente spiegato, perché la rivoluzione filosofica in geometria, causata da Cartesio, ha singolarmente diminuito l'importanza di tali ricerche .
Risulta dalle considerazioni precedenti che non solo è il campo della geometria necessariamente infinita a causa della varietà di figure da considerare, ma anche in virtù della diversità dei punti di vista sotto la stessa figura può essere considerato. Quest'ultima concezione è, infatti, ciò che dà l'idea più ampia e completa di tutto il corpo di ricerche geometriche. Vediamo che studi di questo tipo consistono essenzialmente, per ogni linea o per ogni superficie, nel collegare tutti i fenomeni geometriche che può presentare, con un unico fenomeno fondamentale, considerata la definizione primitiva.
I due metodi GENERALI DELLA GEOMETRIA.
Avendo ora spiegata in modo generale e ma precisa l'oggetto finale della geometria e mostrato come la scienza, così definito, comprende una vasta classe di ricerche che dapprima non appaiono necessariamente appartenere ad esso, resta da considerare la metodo da seguire per la formazione di questa scienza. Questa discussione è indispensabile per completare questa prima bozza di carattere filosofico della geometria. Io qui mi limiterò a indicare la considerazione più generale, in questa materia, lo sviluppo e riassumendo questa importante idea fondamentale nei seguenti capitoli.
Questioni geometriche possono essere trattati secondo due metodi così diversi, che ne derivano due tipi di geometria, per così dire, il carattere filosofica di che non mi sembra sono ancora stati adeguatamente arrestato. Le espressioni di Synthetical Geometria e analitica Geometria, abitualmente impiegati per designarli, danno una falsa idea di loro. Io preferirei di gran lunga le denominazioni puramente storiche della geometria delle le Antichi e Geometria dei i Moderni, che hanno almeno il vantaggio di non causare loro vera carat ter essere frainteso. Ma io propongo di utilizzare d'ora in poi le espressioni regolari di speciale geometria e Generale Geometria, che mi sembrano adatti a caratterizzare con precisione la vera natura dei due metodi.
La loro fondamentale differenza. La differenza fondamentale tra il modo in cui concepiamo la geometria da Cartesio, e il modo in cui i geometri di antichità trattate questioni geometriche, non è l'uso del del Calcolo (o algebra), come viene comunemente pensato per essere il caso. Da un lato, è certo che l'uso del calcolo non era completamente sconosciuta agli antichi geometri, poiché usati per rendere le applicazioni continue e molto estese della teoria delle proporzioni, che era per loro, come mezzo di deduzione, una sorta di vero e proprio, anche se equivalente molto imperfetta e soprattutto estremamente limitato per la nostra algebra presente. Il calcolo può anche essere impiegato in modo molto più completo di quello che hanno usato, in modo da ottenere alcune soluzioni geometriche, che conservano ancora tutto il carattere essenziale della antica geometria; ciò si verifica molto frequentemente rispetto a quei problemi di geometria di due o di tre dimensioni, che sono comunemente designati con il nome di determinata. D'altra parte, importante è l'influenza del l'oaloulus nella nostra geometria moderna, varie soluzioni ottenute senza algebra volte può manifestare il carattere peculiare che la distingue dalla antica geometria, anche se l'analisi è generalmente indispensabile. Citerò, come esempio, il metodo di Roberval per tangenti, la natura di che è essenzialmente moderna, e che, tuttavia, porta in alcuni casi per completare soluzioni, senza alcun contributo del calcolo. Non è, quindi, lo strumento di detrazione impiegato che è la distinzione principale tra i due corsi che la mente umana può prendere in geometria.
La vera differenza fondamentale, ancora non si arrestato, mi sembra consistere nella natura stessa delle domande considerate. In realtà, la geometria, considerati nel loro complesso, e dovrebbe aver raggiunto tutta la perfezione, deve, come abbiamo visto, da un lato, abbracciare tutte le figure immaginabili, e, dall'altro, scoprire le proprietà di ciascuna figura. Si ammette, da questa doppia considerazione, di essere trattati secondo due piani essenzialmente distinot; o, 1 °, raggruppando tutte le domande, per quanto diversi possano essere, che si riferiscono alla stessa figura, e isolando quelle relative a diversi organismi, qualunque analogia ci può esistere tra di loro; o, 2 °, al contrario, unendo sotto un punto di vista tutte le richieste simili, a qualunque valori diversi che possono riferirsi, e separando le questioni relative alle realmente diverse proprietà del medesimo corpo. In una parola, l'intero corpo di geometria può essere sostanzialmente disposto sia con riferimento agli organismi studiati o per i fenomeni da considerare. Il primo piano, che è la più naturale, è stata quella di antichi; il secondo, infinitamente più razionale, è quella dei moderni dal Cartesio.
Geometria delle le Antichi. Infatti, le caratteristiche principali della antica geometria è che hanno studiato, una per una, le diverse linee e le diverse superfici, non passando per l'esame di una nuova figura fino a che pensavano di aver esaurito tutto quello che c'era interessanti nelle figure già noti. In questo modo di pro
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procedi-, quando si sono impegnati nello studio di una nuova curva, tutta del del lavoro concessa alle precedenti potrebbe non offrire direttamente assistenza essenziale, diverse dalla pratica geometrica a cui era allenato mente. Qualunque possa essere la somiglianza reale delle domande proposte da due diverse figure, la completa conoscenza acquisite per quello non poteva affatto dispensa riprendendo l'intero di indagini per l'altro. Così il progresso della mente non è mai garantita; in modo che non potevano essere certi, in anticipo, di ottenere qualsiasi soluzione qualunque, tuttavia analogo il problema proposto potrebbe essere di domande che erano stati già risolti. Così, per esempio, la determinazione delle tangenti ai tre sezioni coniche non ha fornito alcun contributo razionale per disegnare la tangente a qualsiasi altra nuova curva, come la concoide, cissoide, & o. In una parola, la geometria di antichi era, secondo l'espressione sopra proposto, essenzialmente speciale.
Geometria dei i Moderni. Nel sistema di moderni, geometria è, al contrario, eminentemente gen rale, vale a dire, legate ad eventuali figure qualunque. È facile capire, in primo luogo, che tutte le espressioni geometriche di interesse possono essere proposti con riferimento a tutte le figure immaginabili. Questo è visto direttamente in problemi-fondamentale delle rettifiche, quadrature, e cubature-che costituiscono, come è stato dimostrato, l'oggetto finale della geometria. Ma questa osservazione non è meno incontrastabile, anche per indagini attinenti alle diverse proprietà di linee e di superfici, e di cui il più essenziale, come la questione di tangenti o dei piani tangenti, la teoria delle curvature, ecc, sono evidentemente comune a tutte le figure qualunque. I pochissimi indagini che siano veramente peculiari figure particolari hanno solo un'importanza estremamente secondario. Questo fermo restando, geometria moderna consiste essenzialmente in astrazione, al fine di trattare da sola, in modo del tutto generale, ogni domanda relativa al medesimo fenomeno geometrico, in qualunque corpi può essere considerato. L'applicazione delle teorie universali così costruito alla speciale determinazione del fenomeno che viene trattato di in ciascun corpo particolare, è ora considerata soltanto un lavoro subalterna, da eseguire secondo regole invariabili, e il successo di cui sia certo anticipo . Questo lavoro è, in una parola, di lo stesso carattere come il calcolo numerico di una formula analitica. Non ci può essere altro merito in esso che quello di presentare in ogni caso la soluzione che è necessariamente fornita dal metodo generale, con tutta la semplicità e l'eleganza che la linea o superficie considerata può ammettere di. Ma nessuna reale importanza è collegata a qualsiasi cosa ma la concezione e la soluzione completa di una nuova domanda appartenenti a qualsiasi figura qualunque. Fatiche di questo tipo sono solo considerati come produrre alcun vero progresso nella scienza. L'attenzione dei geometri, quindi sollevato dall'esame delle peculiarità di diverse figure, e totalmente orientata verso questioni di carattere generale, è stato quindi in grado di elevarsi alla considerazione delle nuove concezioni geometriche, che, applicati alle curve studiate dagli antichi, hanno portato alla scoperta di importanti proprietà che non avevano prima ancora sospetti. Tale è la geometria, dal momento che la rivoluzione radicale prodotta da Cartesio nel sistema generale della scienza.
La superiorità dei della moderna geometria. La semplice indicazione del carattere fondamentale di ciascuna delle due forme geometriche è senz'altro sufficiente a rendere evidente l'immensa superiorità necessaria della geometria moderna. Possiamo anche dire che, prima della grande concezione di Descartes, la geometria razionale non è stata veramente costituita su basi definitive, sia nelle sue relazioni astratte o concrete. Infatti, per quanto riguarda la scienza, considerato speculativo, è chiaro che, nel continuare a tempo indeterminato per seguire il corso degli antichi, come hanno fatto i moderni prima di Cartesio, e anche per un po 'di tempo dopo, con l'aggiunta di alcune nuove curve al numero piccolo di quelli che avevano studiato, i progressi in tal modo realizzati, tuttavia rapida si sarebbe potuto, sarebbe ancora trovato, dopo una lunga serie di età, di essere molto trascurabile rispetto al sistema generale di geometria, vedere l'infinita varietà di la forme che sarebbero ancora rimaste da studiare. Al contrario, ad ogni domanda risolto secondo il metodo dei moderni, il numero di problemi geometrici da risolvere è quindi, una volta per tutte, diminuita da tanto rispetto a tutti i corpi possibili. Un'altra considerazione è, che ha portato, dal loro completa mancanza di metodi generali, che gli antichi geometri, in tutte le loro indagini, sono stati del tutto abbandonati alla loro propria forza, senza mai avere la certezza di ottenere, prima o poi, qualsiasi soluzione qualunque. Anche se questa imperfezione della scienza era particolarmente adatto a suscitare tutta la loro sagacia ammirevole, è reso necessariamente i loro progressi estremamente lento; possiamo formare un'idea di questo per il tempo considerevole che hanno impiegato nello studio delle sezioni coniche. Geometria moderna, rendendo il prog ress della nostra mente certo, ci permette, al contrario, di fare il massimo uso possibile delle forze della nostra intelligenza, che gli antichi erano spesso costretti a sprecare su questioni molto importanti.
Una differenza non meno importante tra i due sistemi appare quando si arriva a considerare la geometria nel concreto punto di vista. Infatti, abbiamo già osservato che il rapporto di astratto al concreto in geometria può essere fondata su basi razionali solo in quanto le indagini sono in grado di sopportare direttamente su tutte le figure immaginabili. In linee studiano, solo uno per uno, qualunque sia il numero, sempre necessariamente molto piccola, di quelle che avremo considerato, l'applicazione di tali teorie a personaggi realmente esistenti in natura non potrà mai avere altro che un carattere essenzialmente accidentali, poiché non vi è nulla per noi assicurare che queste cifre possono davvero essere portati sotto i tipi astratti considerati da geometri.
Così, per esempio, vi è certamente qualcosa fortuita nel rapporto felice stabilito tra le speculazioni dei geometri greci su sezioni coniche e la determinazione dei veri orbite planetarie. Continuando le ricerche geometriche sullo stesso piano, non vi era alcuna buona ragione per sperare in coincidenze simili; e sarebbe stato possibile, in questi studi speciali, che le ricerche di geometri avrebbero dovuto essere diretto verso figure astratte tutto incapaci di qualsiasi applicazione, mentre hanno trascurato altri, suscettibili forse di un'importante applicazione ed immediata. È chiaro, almeno, che nulla garantito positivamente l'applicabilità necessaria di speculazioni geometriche. E 'ben altra cosa nella geometria moderna. Dal singolo circostanza che in essa si procede per questioni di carattere generale relative a eventuali figure qualunque cosa, abbiamo in anticipo la certezza evidente che i dati realmente esistente nel mondo esterno potrebbe in nessun caso sfuggire la teoria appropriata se il fenomeno geometrica che ritiene regali in queste.
Da queste diverse considerazioni, vediamo che l'antico sistema di geometria indossa essenzialmente il carattere del l'infanzia della scienza, che non ha cominciato a diventare completamente razionale fino a dopo la risoluzione filosofica prodotto da Cartesio. Ma è evidente, invece, che la geometria non poteva essere inizialmente concepito non in questo speciale modo. Generale geometria non sarebbe stato possibile, e la sua necessità non poteva anche potuta sentita, se una lunga serie di lavori speciali su le figure più semplici non avevano precedentemente fornito le basi per la concezione di Descartes, e reso evidente l'impossibilità di persistere a tempo indeterminato nel geometrica primitiva filosofia.
L' antica la base della della moderna. Da quest'ultima considerazione si deve dedurre che, anche se la geometria che ho chiamato generale deve essere ora considerato come l'unico vero geometria dogmatico, e quello a cui si deve principalmente limitarci, l'altro non avendo più molto più che un interesse storico, tuttavia non è possibile erogare interamente con speciale geometria un'esposizione razionale della scienza. Noi certamente non c'è bisogno di prendere in prestito direttamente da antica geometria tutti i risultati che ha arredato; ma, dalla natura del soggetto, è necessariamente del tutto impossibile a meno del metodo antico, che sarà sempre servire come base preliminare della scienza
Giacinto
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matioally così come storicamente. La ragione di questo è facile comprendere. Infatti, in generale geometria essendo essenzialmente fondata, come vedremo stabilire presto, dopo l'impiego del calcolo nella trasformazione di geometrica in considerazioni analitiche, un modo di procedere non può prendere possesso del soggetto immediatamente alla sua origine. Sappiamo che l'applicazione di analisi matematica, dalla sua natura, non può iniziare ogni scienza qualunque, poiché evidentemente non può essere impiegato fino a quando la scienza ha già sufficientemente coltivato stabilire, rispetto ai fenomeni considerati, alcune equazioni che possono servire come punti di partenza per le operazioni analitiche. Queste equazioni fondamentali di essere una volta scoperto, l'analisi ci permetterà di dedurre da loro una moltitudine di conseguenze che sarebbe stato precedentemente impossibile anche a sospettare; sarà perfezionare la scienza in misura immensa, sia rispetto alla generalità dei suoi concetti e la coordinazione completa stabilita tra loro. Ma semplice analisi matematica non potrebbe mai essere sufficiente a formare le basi di ogni scienza naturale, nemmeno per dimostrare loro di nuovo quando sono stati stabiliti una volta. Nulla può dispensare lo studio diretto del soggetto, perseguito fino al punto di scoperta di rapporti precisi.
Abbiamo così vedere che la geometria di antichi avrà sempre, per sua natura, una parte primaria, assolutamente necessario e più o meno estesa, nel sistema completo di conoscenze geometriche. Esso costituisce un'introduzione rigorosamente indispensabile generale geometria. Ma è per questo che deve essere limitato in una esposizione completamente dogmatica. Prenderò in considerazione, poi, direttamente, nel capitolo seguente, questo speciale o preliminare geometria limitato a esattamente i limiti necessari, al fine di occuparmi allora in poi solo con l'esame filosofica di generale o definitiva la geometria, l'unico che è veramente razionale, e che attualmente compone essenzialmente la scienza.
[grafico]
CAPITOLO II.
GEOMETRIA ANTICA o sintetiche.
Il metodo geometrico di antichi necessariamente costituiscono un reparto preliminare nel sistema dogmatico di geometria, pensato per arredare generale geometria con basi indispensabili, è ora corretta per cominciare determinare in cosa consiste rigorosamente questa funzione preliminare di speciale geometria, così ridotto al più stretto limiti del possibile.
La sua estensione CORRETTA.
Linee ; poligoni ; . Poliedri Nel considerare sotto questo punto di vista, è facile riconoscere che potremmo limitarla allo studio della linea di destra solo per quanto riguarda la geometria delle linee, alla quadratura di zone piane rettilinee; e, infine, la cubatura di organismi terminati da facce piane. Le proposizioni elementari di queste tre domande fondamentali costituiscono, infatti, il necessario punto di partenza di tutte le richieste geometriche; essi soli non possono essere ottenuti se non da uno studio diretta del soggetto; mentre, al contrario, la teoria completa di tutte le altre figure, anche quella del cerchio e di superfici e volumi che sono collegati ad esso, possono a oggi completamente compreso nel dominio del generale o analitica geometria; questi elementi primitivi struttura arredo volta equazioni che sono sufficienti per consentire di applicazione del calcolo per questioni geometriche, che non sarebbe stato possibile senza questa condizione precedente.
[grafico]
Risulta da questa considerazione che, in pratica comune, diamo alle elementari geometria più misura di quanto sarebbe necessario rigorosamente ad esso; dal momento che, oltre al diritto di linea, poligoni e poliedri, includiamo anche in essa il cerchio e gli organi "giro"; lo studio dei quali potrebbe, tuttavia, essere puramente analitica che, per esempio, delle sezioni Conio. Una venerazione irriflessivo per l'antico contribuisce a mantenere questo difetto di metodo; ma il motivo migliore che può essere dato perché è l'inconveniente grave per l'istruzione ordinaria che ci sarebbe stato il rinvio, per così lontana un'epoca di formazione matematica, la soluzione di diverse questioni essenziali, che sono suscettibili di un'applicazione diretta e continua a un gran numero di usi importanti. Infatti, procedere nel modo più razionale, dovremmo impiegare il calcolo integrale ad ottenere i risultati interessanti relativi alla lunghezza o l'area del cerchio, o per la quadratura della sfera, ecc, che sono stati determinati dagli antichi da considerazioni estremamente semplici. Questo inconveniente sarebbe di poca importanza per le persone destinate a studiare l'intero della scienza matematica, e il vantaggio di procedere in un ordine logico perfettamente avrebbe un maggiore valore comparativo. Ma il caso contrario è il più frequente, le teorie così essenziali sono necessariamente state mantenute in geometria elementare. Forse sezioni Conio, la cicloide, e C, possono essere vantaggiosamente aggiunti in queste oasi.
Non per essere più limitata. Mentre questa porzione preliminare di geometria, che non può essere fondato sul ap plicazione di calcolo, si riduce per sua natura ad una serie molto limitata di ricerche fondamentali, relativa all'apertura di destra, aree poligonali, e poliedri , è certo, invece, che non possiamo limitarla più; anche se, da un vero e proprio abuso di spirito di analisi, è stato recentemente tentato di presentare l'istituzione dei principali teoremi di geometria elementare sotto un punto algebrica di vista. Così alcuni hanno finto di dimostrare, mediante semplici considerazioni astratte di analisi matematica, la costante relazione esistente tra i tre angoli di un triangolo rettilinea, la proposizione fondamentale della teoria dei triangoli simili, che di parallelopipedons, ecc .; in una parola, appunto le uniche proposizioni geometriche che non possono essere ottenuti se non da uno studio diretta del soggetto, senza calcolo essendo suscettibile di avere alcuna parte. Tali aberrazioni sono le esagerazioni irriflessivo di tale tendenza naturale e filosofica che ci porta ad estendere sempre più l'influenza di analisi studi matematici. Nella meccanica, le dimostrazioni analitiche pretesi del parallelogramma di forze sono di carattere analogo.
La cattiveria di modo di procedere dai principi precedentemente presentati. Abbiamo già infatti riconosciuto che, poiché il calcolo non è, e non può essere qualsiasi cosa ma un mezzo di deduzione, indicherebbe un radicalmente falsa idea di esso voler impiegarlo per stabilire le basi elementari di ogni scienza qualunque cosa; per su quello che i ragionamenti di analisi in una simile quiete operazione? Un lavoro di questo tipo, molto lontano dalla realtà perfezionare il carattere filosofica di una scienza, costituirebbe un ritorno verso
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l'età metafisica, nel presentare i fatti reali come semplici astrazioni logiche.
Quando esaminiamo in sé queste dimostrazioni analitiche pretese di proposizioni fondamentali della geometria elementare, abbiamo facilmente verificare la loro mancanza necessaria di significato. Essi sono tutti fondati su una maniera vizioso di concepire il principio di omogeneità, la vera idea generale di cui è stato spiegato nel secondo capitolo del libro precedente. Queste dimostrazioni suppongono che questo principio DCE non ci permettono di ammettere la ccexistence nella stessa equazione di numeri ottenuti da diversi paragoni concreti, che è evidentemente falsa, e in contrasto con la pratica costante di geometri. Così è facile riconoscere che, impiegando la legge di omogeneità questa accezione arbitrario e illegittimo, che riusciva a "dimostrazione", con abbastanza tanto rigore apparente, proposizioni la cui assurdità è evidente al primo sguardo. Esaminando attentamente, per esempio, il procedimento con l'aiuto del quale si è cercato di dimostrare analiticamente che la somma dei tre angoli di un triangolo rettilinea è costantemente uguale a due angoli retti, vediamo che essa si basa su questo principio preliminare che, se due triangoli hanno due dei loro angoli rispettivamente uguali, il terzo angolo di quella sarà necessariamente pari alla terza angolazione di altro. Questo primo punto viene concessa, la relazione proposta è immediatamente deducibile da essa in maniera molto precisa e semplice. Ora la considerazione analitica che questa proposta precedente è cercato di stabilire, è di natura tale che, se potesse essere corretto, potremmo rigorosamente dedurre da esso, in riprodurlo contrario, questa assurdità palpabile, che due lati di un tri angolo sono sufficienti, senza qualsiasi angolazione, per tutta la determinazione del terzo lato. Possiamo fare osservazioni analoghe su tutte le manifestazioni di questo genere, i sofismi di che sarà quindi verificate in modo perfettamente apparente.
Il motivo più che abbiamo qui a considerare la geometria come al giorno d'oggi essenzialmente analitico, tanto più necessario era a guardia contro questa esagerazione abusiva di analisi matematica, in base al quale tutte le osservazioni geometrica sarebbe fare a meno, per stabilire su puro algebraical astrazioni i fondamenti di questa scienza naturale.
Tentativi di dimostrazioni di Assiomi, SFC. Un'altra indicazione che geometri sono troppo trascurato il carattere di una scienza naturale, che è necessariamente insito nella geometria, appare dalle loro vani tentativi, così a lungo fatto, per dimostrare con rigore, non con l'aiuto di calcolo, ma per mezzo di alcune costruzioni, varie proposte fondamentali di geometria elementare. Qualunque possa essere effettuata, sarà evidentemente impossibile evitare volte ricorrenti all'osservazione semplice e diretto in geometria come mezzo di stabilire vari risultati. Mentre, in questa scienza, i fenomeni considerati sono, in virtù della loro estrema semplicità, molto più strettamente collegata tra loro da quelle relative a qualsiasi altro scienza fisica, alcuni devono ancora trovare che non può essere dedotta, e che, al contrario, servire come punto di partenza. Si può ammettere che il più grande perfezione logica della scienza è quello di ridurre questi per il minor numero possibile, ma sarebbe assurdo pretendere di farli sparire completamente. I confesso inoltre che trovo meno inconvenienti reali in estendentesi, poco oltre quello che sarebbe strettamente necessario, il numero di questi concetti geometrici così stabiliti mediante osservazione diretta, a condizione che siano sufficientemente semplici, rispetto rendendoli soggetti di complicate e dimostrazioni indirette, anche quando queste manifestazioni possono essere logicamente ineccepibile.
La vera destinazione dogmatica della geometria degli antichi, ridotto ai suoi minimi sviluppi indispensabili possibili, essendo stato quindi caratterizzato il più esattamente possibile, è giusto considerare sommariamente ciascuna delle parti principali di cui deve essere composta. Credo che io qui mi limiterò a considerare la prima e la più ampia di queste parti, quella che ha per oggetto lo studio della la giusta linea , le altre due sezioni, vale a dire, la quadratura di poligoni e la cubatura di poliedri, dalla loro misura limitata, non essendo in grado di dare luogo ad alcuna considerazione filosofica di qualche importanza, distinto da quelli indicati nel capitolo precedente rispetto alla misura di aree e di volumi in generale.
GEOMETRIA DELLA la linea giusta.
La domanda finale che abbiamo sempre in vista nello studio della linea di destra, consiste propriamente nel determinare, per mezzo di uno dall'altro, i diversi elementi di qualsiasi figura destro allineato qualunque; che ci permette sempre di conoscere indirettamente la lunghezza e la posizione di una linea di diritto, in qualsiasi circostanza, può essere collocato. Questo problema fondamentale è suscettibile di due soluzioni generali, la natura dei quali è ben distinta, quella grafica, l'altro algebrico. La prima, anche se molto imperfetta, è quella che deve essere prima considerato, perché è spontaneamente derivato dallo studio diretta del soggetto; il secondo, più perfetta nelle aspetti più importanti, non può essere studiato sino seguito, perché si fonda sulla conoscenza del all'altra.
Soluzioni grafiche.
La soluzione grafica consiste nel costruire sarà la figura proposto, sia con le stesse dimensioni, o, più generalmente, con dimensioni modificate in qualsiasi rapporto qualunque. Il primo modo sufficiente menzionato come il più semplice e quello che prima si verifica alla mente, poiché è evidente, per sua natura, quasi tutto incapace di applicazione. La seconda è, invece, suscettibile di essere più ampiamente e più utilmente applicata. Abbiamo ancora fare un uso importante e continuo di esso al giorno d'oggi, non solo per rappresentare con precisione le forme di corpi e la loro posizione relativa, ma anche per l'effettiva determinazione delle grandezze geometriche, quando non abbiamo bisogno di grande precisione. Gli antichi, a seguito del l'imperfezione della loro conoscenza geometrica, impiegate questa procedura in maniera molto più ampia, dal momento che è stato per lungo tempo l'unico che potrebbe applicarsi, anche nelle più importanti determinazioni precise. Fu così, ad esempio, che Aristarco di Samo stima della distanza relativa dal sole e dalla luna alla terra, effettuando misurazioni su un triangolo costruito come esattamente possibile, in modo da essere simile al triangolo rettangolo formato dai tre corpi nell'istante in cui la luna è in quadratura, e quando un'osservazione del l'angolo di terra di conseguenza, sarebbe sufficiente a definire il triangolo. Stesso Archimede, anche se è stato il primo ad introdurre le determinazioni calcolate in geometria, più volte impiegato mezzi simili. La formazione di trigonometria non ha causato questo metodo per abbandonare del tutto, sebbene diminuito notevolmente il suo utilizzo; i greci e gli arabi hanno continuato a impiegarlo per un gran numero di ricerche, in cui ora consideriamo l'utilizzo del calcolo indispensabile.
[grafico]
Questo esatta riproduzione di qualsiasi figura qualsiasi in scala diversa non può presentare grandi difficoltà teorica quando tutte le parti della figura proposto giacciono nello stesso piano. Ma se supponiamo, come accade più frequentemente, che sono situati su piani diversi, si vede, quindi, un nuovo ordine di considerazioni geometriche sorgere. La figura artificiale, che è costantemente aereo, non essendo in grado, in tal caso, di essere perfettamente fedele immagine della figura reale, è necessario preventivamente fissare con precisione la modalità di rappresentazione, che dà luogo a diversi sistemi di proiezione.
Resta quindi da stabilire in base alle quali leggi i fenomeni di funzionamento corrispondono nelle due figure. Questa considerazione genera una nuova serie di indagini geometriche, l'oggetto finale di cui è propriamente per scoprire come possiamo sostituire le costruzioni in rilievo da costruzioni piane. Gli antichi avevano per risolvere alcune domande elementari di questo tipo per i vari casi in cui ci impieghiamo trigonometria sferica, principalmente per i diversi problemi relativi alla sfera celeste. Tale era l'oggetto delle loro analemmas, e delle altre figure piane che per lungo tempo fornito il luogo di calcolo. Vediamo da questo che la
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antichi sapevano davvero gli elementi di ciò che noi oggi chiamiamo descrittiva geometria, anche se essi non concepiscono in maniera distinta e generale.
Credo che sia corretto brevemente indicare in questo luogo il vero carattere filosofica di questo "Geometria descrittiva;" anche se, essendo essenzialmente una scienza di applicazione, essa non dovrebbe essere incluso all'interno del dominio proprio di questo lavoro.
GEOMETRIA descrittivo.
Tutte le domande di geometria delle tre dimensioni necessariamente danno luogo, se si considera la loro soluzione grafica, ad una difficoltà comune che è peculiare di loro; che di sostituzione per le diverse costruzioni in rilievo, che sono necessarie per risolvere direttamente, e che è quasi sempre impossibile eseguire, semplici costruzioni piano equivalente, per mezzo del quale finalmente ottenere gli stessi risultati. Senza questa trasformazione indispensabile, ogni soluzione di questo tipo sarebbe evidentemente incompleta e davvero inapplicabili in pratica, anche se teoricamente le costruzioni nello spazio sono generalmente preferibili come più diretta. Era per arredare mezzo generale per effettuare sempre tale trasformazione che descrittive geometria è stata creata e formata in un sistema distinto e omogenea, dalla illustre Monge. Ha inventato, in primo luogo, un metodo uniforme di rappresentare corpi da figure tracciata su un unico piano, con l'aiuto delle proiezioni su due piani diversi, generalmente perpendicolari tra loro, e uno dei quali si suppone ruotare attorno loro intersezione comune in modo da coincidere con l'altra prodotta; in questo sistema, o in qualsiasi altro equivalente ad esso, è sufficiente considerare punti e linee come determinato dalle loro proiezioni e superfici dalle proiezioni delle loro generatrici. Questa viene stabilita, Monge-analisi con profonda sagacia i vari lavori parziali di questo tipo che era stato prima eseguito da un certo numero di procedure inconguous, e considerando anche, in modo generale e diretto, in quanto tutte le domande di questa natura devono consist- hanno trovato che potrebbero sempre essere ridotte ad un numero molto piccolo di invariabili problemi astratti, in grado di essere risolti separatamente, una volta per tutte, mediante operazioni uniformi, relativi essenzialmente alcuni per i contatti e altri alle intersezioni di superfici. Metodi semplici e del tutto generali per la soluzione grafica di questi due ordini di problemi essendo state formate, tutte le questioni geometriche che possono sorgere in una qualsiasi delle varie arti di costruzione-pietra-taglio, carpenteria, prospettiva, composizione, fortifioation, e c-CAN ormai essere trattati come semplici casi particolari di una singola teoria, l'applicazione invariabile di cui sarà sempre necessariamente portare ad una soluzione esatta, che può essere facilitato in pratica beneficiare delle circostanze peculiari di ciascun caso.
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Questa creazione importante merita in un notevole grado di fissare l'attenzione di quei filosofi che considerano tutto ciò che la specie umana ha ancora effettuato come primo passo, e finora il solo e davvero completa, verso quel rinnovamento generale delle fatiche umane, che deve imprimere tutti i nostri arti un carattere di precisione e di razionalità, così necessarie per il loro futuro progresso. Tale rivoluzione deve, infatti, inizia inevitabilmente con quella classe di lavori industriali, che è essenzialmente connessa con quella scienza che è la più semplice, la più perfetta, e il più antico. Esso non può non estendersi seguito, anche se con minore facilità, a tutte le altre operazioni pratiche. Infatti Monge stesso, che ha concepito la vera filosofia delle arti meglio di chiunque altro, ha cercato di delineare un sistema corrispondente per le arti meccaniche.
Essenziale come la concezione della geometria descrittiva è davvero, è molto importante non ingannare noi stessi rispetto alla sua vera destinazione, così come coloro che, nella concitazione della sua prima scoperta, ha visto in esso un mezzo di ampliare il dominio generale e astratto di geometria razionale. Il risultato non ha in alcun modo risposto a queste speranze sbagliate. E, in effetti, non è evidente che la geometria descrittiva ha valore speciale tranne quanto scienza di applicazione e come formanti la vera teoria speciale delle arti geometriche? Considerata nelle sue relazioni astratte, non potrebbe introdurre un ordine veramente distinta di speculazioni geometriche. Non dobbiamo dimenticare che, in modo che una domanda geometrico dovrebbero rientrare nel particolare dominio di geometria descrittiva, deve necessariamente essere stata precedentemente risolto dalla geometria speculativa, le soluzioni di che poi, come abbiamo visto, sempre bisogno di essere preparati per pratica in modo tale da fornire il luogo delle costruzioni in rilievo di costruzioni aereo; un cambio che costituisce davvero l'unica funzione caratteristica di geometria descrittiva.
Occorre, tuttavia, qui rimarcare che, per quanto riguarda la formazione intellettuale, lo studio della geometria descrittiva possiede un importante peculiarità filosofica, del tutto indipendente della sua elevata industriale di utilità. Questo è il vantaggio che offre in habitu così preminentemente dall'uso della mente di prendere in considerazione le combinazioni geometriche molto complesse nello spazio, e di seguire con precisione la loro corrispondenza continua con le figure che sono in realtà tracciati -Di esercitando così al massimo, in il più sicuro e preciso modo, così importante facoltà della mente umana, che è propriamente chiamato "immaginazione", e che consiste, nella sua accezione elementare e positivo, nel rappresentare a noi stessi, in modo chiaro e facilmente, una vasta e variabile collezione di oggetti ideali , come se fossero realmente dinanzi a noi.
Infine, per completare l'indicazione delle caratteristiche generali della geometria descrittiva determinandone il carattere logico, dobbiamo osservare che, mentre appartiene alla geometria di antichi dal carattere di soluzioni, dall'altro si avvicina la geometria di i moderni per la natura delle domande che compongono. Queste domande sono infatti eminentemente notevole per quel generalità che, come abbiamo visto nel capitolo precedente, costituisce il vero carattere fondamentale della geometria moderna; per i metodi utilizzati sono sempre concepiti come applicabile alle cifre qualsiasi, la peculiarità di ciascuno con soltanto un'influenza puramente secondario. Le soluzioni di geometria descrittiva sono poi grafica, come la maggior parte di quelli di antichi, e allo stesso tempo generale, come quelli dei moderni.
Dopo questa importante digressione, si proseguirà l'esame filosofica di speciale geometria, sempre considerato come ridotto al suo sviluppo meno possibile, come introduzione indispensabile generale geometria. Abbiamo ora considerato sufficientemente la grafica soluzione del problema fondamentale relativo alla linea destra -cioè, la determinazione dei diversi elementi di qualsiasi figura destro allineato mediante di un l'altro e sono ora ad esaminare in modo speciale il algebrico soluzione.
[grafico]
SOLUZIONI algebriche.
Questo tipo di soluzione, la superiorità evidente di che non devono qui essere abitavate, appartiene necessariamente, per la natura stessa della domanda, al sistema di antica geometria, sebbene il metodo logico che viene impiegato fa essere generalmente, ma molto impropriamente, separata da esso. Abbiamo così la possibilità di verificare, in un rispetto molto importante, quanto stabilito generalmente nel capitolo precedente, che non è dall'impiego di calcolo che la geometria moderna è essenzialmente distinta dalla antica. Gli antichi sono infatti i veri inventori della presente trigonometria sferica e rettilinea; essendo solo molto meno perfetto nelle loro mani, a causa della estrema inferiorità della loro conoscenza algebrico. E ', dunque, proprio in questo capitolo, e non, come potrebbe in un primo momento essere pensato, in quelli che vedremo in seguito dedicare all'esame filosofica del genere geometria, che è corretto considerare il carattere di questa importante teoria preliminare, che di solito è, anche se in modo non corretto, incluso in quello che viene chiamato analitica geometria, ma che in realtà è solo un complemento di elementare geometria propriamente detta.
Dal momento che tutte le figure di destra-allineati possono essere scomposti in triangoli, è evidentemente sufficiente sapere come determinare i diversi elementi di un triangolo per mezzo di uno con l'altro, che riduce polygonometry a semplice trig onometry.
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che è, al contrario, la caratteristica principale della nostra analisi trascendente. In una parola, restava ancora il compito di generalizzare i concetti utilizzati dagli antichi, e, più in particolare, considerando in modo puramente astratto, di ridurre ad un sistema completo di calcolo, che per loro era impossibile.
La prima idea che è stato prodotto in questa nuova direzione risale al grande geometra Fermat, quale Lagrange ha giustamente presentato come aver bloccato la formazione diretta di analisi trascendente dal suo metodo per la determinazione di massimi e minimi, e per il reperimento di tangenti, che consisteva essenzialmente nell'introdurre considerazione ausiliario di incrementi correlative delle variabili proposti, incrementi dopo soppressi pari a zero quando le equazioni avevano subito alcune opportune trasformazioni. Ma, anche se Fermat è stato il primo a concepire questa analisi in modo veramente astratta, era ancora lontano dall'essere formata regolarmente in un calcolo generale e distinto con la propria notazione, e soprattutto liberato dalla superflucus considerazione dei termini che, nell'analisi di Fermat, non sono stati infine presi in conto, dopo aver tuttavia notevolmente complicati tutte le operazioni con la loro presenza. Questo è ciò che Leibniz così felicemente eseguito, mezzo secolo più tardi, dopo alcune modifiche intermedie delle idee di Fermat introdotte da Wallis, e ancora di più di Barrow; e lui è stato quindi il vero creatore di analisi trascendente, come ad esempio che oggi impieghiamo esso. Questa scoperta ammirevole era così maturo (come tutte le grandi concezioni del dell'intelletto umano al momento della loro manifestazione), che Newton, dal canto suo, era arrivato, allo stesso tempo, o poco prima, ad un metodo esattamente equivalente, considerando questa analisi in un punto molto diverso di vista, che, anche se più logico in sé, è davvero meno atto a dare al metodo fondamentale comune tutta la portata e la funzione che sono stati impartita ad esso dalle idee di Leibnitz. Infine, Lagrange, vengano meno le considerazioni eterogenei che avevano guidato Leibnitz e Newton, è riuscita a ridurre l'analisi trascendente, nella sua massima perfezione, a un sistema puramente algebrico, che vuole solo più attitudine per le sue applicazioni pratiche.
Dopo questo sommario sguardo alla storia generale del dell'analisi trascendente, si procederà alla esposizione dogmatica dei tre concetti principali, al fine di conoscere esattamente le loro proprietà caratteristiche, e di mostrare l'identità necessaria dei metodi che sono là derivati. Cominciamo con quello di Leibnitz.
METODO DI Leibnitz. Infinitamente piccoli elementi. Questo consiste nell'introdurre nel calcolo, al fine di facilitare la creazione di equazioni, gli infinitamente piccoli elementi di cui tutte le quantità, i rapporti tra le quali sono ricercati, sono considerati da comporre. Questi elementi o dif ferentials avranno certe relazioni fra loro, che sono sempre e necessariamente più semplice e facile da scoprire quelli dei quantitativi primitive, e mediante dei quali saranno abilitati (da un calcolo speciale avente per oggetto peculiare l'eliminazione di questi infinitesimi ausiliari) per tornare alle equazioni desiderati, che sarebbe stato più frequentemente impossibile da ottenere direttamente. Questa analisi indiretta può avere diversi gradi di indirectness; per, quando c'è troppa difficoltà nel formare immediatamente l'equazione tra i differenziali di grandezze considerate, una seconda applicazione del medesimo artifizio generale dovrà essere realizzato, e tali differenziali essere trattata, a loro volta, come nuove quantità primitive , e un rapporto ricercato tra loro elementi infinitamente piccoli (che, con riferimento agli oggetti finali della questione, sarà secondo differenziali), e così via; la stessa trasformazione ammettendo di essere ripetuto un numero di volte, a condizione di fine eliminando il numero sempre crescente di quantità infinitesimali introdotte come ausiliari.
Una persona non ancora familiarità con queste considerazioni non percepisce immediatamente come l'impiego di queste quantità ausiliari possono facilitare la scoperta delle leggi di analisi di fenomeni; per i infinitamente piccoli incrementi di grandezze previste sono delle stesse specie con loro, sembrerebbe che le loro relazioni non devono essere ottenuti con più facilità, in quanto il valore maggiore o minore di un quantitativo non può, infatti, esercitare alcuna influenza sulla un'indagine che è necessariamente indipendenti, per sua natura, di ogni idea di valore. Ma è facile, tuttavia, per spiegare molto chiaramente, e in modo del tutto generale, quanto la questione deve essere semplificata tale artifizio. A questo scopo, è necessario iniziare distinguere diversi ordini di infinitamente piccole quantità, una precisa idea di ottenibili considerandoli come sia le successive potenze della stessa primitiva infinitamente piccola quantità, o come quantitativi che possono essere considerati come aventi rapporti finiti con questi poteri; di modo che, per fare un esempio, il secondo, terzo, ecc, differenziali di qualsiasi variabile sono classificati come infinitamente piccole quantità di secondo ordine, il terzo, e c, perché è facile da scoprire in loro multipli finiti di secondo, terzo, (kc, poteri di un certo differenziale primo. Queste idee preliminari stanno costituendo, lo spirito della dell'analisi infinitesimale consiste nel trascurare costantemente le quantità infinitamente piccole in confronto con quantità finite, e generalmente i infinitamente piccole quantità di qualsiasi ordine qualunque rispetto con tutti quelli di ordine inferiore. è insieme evidente quanto una tale libertà deve facilitare la formazione delle equazioni tra i differenziali di quantità, poiché, al posto di questi differenziali, possiamo sostituire questi altri elementi come si può scegliere, e come sarà più semplice da considerare, solo avendo cura di conformarsi a questa sola condizione, che i nuovi elementi differiscono dai precedenti solo quantità infinitamente piccole in confronto con loro. È così che sarà possibile, in geometria, per trattare le linee curve come composto di un'infinità di elementi rettilinei, superfici curve come formata di elementi piani, e, in meccanica, movimenti variabili come una serie infinita di moti uniformi, riuscendo uno un altro a infinitamente piccoli intervalli di tempo.
Esempi. Considerando l'importanza di questa concezione ammirevole, penso che dovrei qui per completare l'illustrazione del suo carattere fondamentale dall'indicazione sintesi di alcuni esempi principali.
1. . Tangenti Let It Be necessari per determinare, per ogni punto di una curva piana, l'equazione di cui viene data, la direzione della sua tangente; una domanda la cui soluzione generale era l'oggetto primitivo dei i inventare ors di analisi trascendentale. Considereremo th tangente come secante unisce due punti infinitamente vicini l'uno all'altro; e poi, viene designato per dy e dx infinitamente piccole differenze di coordinate di questi due punti, i principi elementari di geometria saranno sorve
dy diatamente dare l'equazione t = -r- per la trigonometrica
tangente di angolo che è fatta con l'asse delle ascisse la tangente desiderata, essendo questo il modo più semplice di fissare la posizione in un sistema di rettilinei coordinate. Questa equazione, comune a tutte le curve, sia stabilita, la questione si riduce ad un semplice problema analitico, che consisterà nell'eliminare lo infinitesimi dx e dy, che sono stati introdotti come ausiliari, determinando in ciascun caso particolare, per mezzo di equazione della curva proposto, il rapporto di dy per dx, che sarà costantemente fatto da uniforme e metodi molto semplici. 2. Soluzione di un arco. In secondo luogo, supponiamo che vogliamo conoscere la lunghezza di arco di qualsiasi curva, considerata come una funzione delle coordinate di sue estremità. Sarebbe impossibile stabilire un'equazione direttamente THT tra questo arco s e queste coordinate, mentre è facile trovare il rapporto relativo tra i differenziali di queste diverse grandezze. I più semplici teoremi di geometria elementare saranno infatti dare in una sola volta, considerando i infinitamente piccolo arco ds come una linea a destra, le equazioni
ds t = dy t + dx \ o ds i = dx t + dy 1 J R dz t , a seconda che la curva è di curvatura singolo o doppio. In entrambi i casi, la questione è ora interam
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zione è senza dubbio strettamente sufficiente a dissipare ogni incertezza circa il legittimo impiego di analisi di Leibnitz. Ma il metodo infinitesimale è così importante, che offre ancora, in quasi tutte le sue applicazioni, una superiorità tale pratica negli altri concetti generali che sono stati successivamente proposti, che ci sarebbe stata una vera e propria imperfezione nel carattere filosofico della scienza se si potesse non giustificarsi, e aveva bisogno di essere logicamente fondata su considerazioni di un altro ordine, che sarebbe poi cessa di essere impiegato.
Era, quindi, di estrema importanza per stabilire direttamente e in maniera generale la necessaria razionalità del metodo infinitesimale. Dopo vari tentativi più o meno imperfetta, geometra distinta, Carnot, presentato finalmente la vera spiegazione logica diretta del metodo di Leibnitz, mostrando di essere fondato sul principio della necessaria compensazione di errori, questo essere, infatti, la manifestazione precisa e luminosa di ciò che Leibniz aveva vagamente e confusamente percepito. Carnot ha così reso la scienza un servizio essenziale, anche se, come vedremo verso la fine di questo capitolo, tutto questo impalcature logico del metodo infinitesimo, propriamente detta, è molto probabilmente suscettibile di soli esistenza provvisorio, in quanto è radicalmente vizioso nella sua natura. Tuttavia, non dobbiamo mancare di notare il sistema generale di ragionamento proposto da Carnot, al fine di legittima direttamente all'analisi di Leibnitz. Ecco la sostanza di esso:
Nello stabilire l'equazione differenziale di un fenomeno, sostituiamo, per gli elementi immediati di diverse grandezze considerate, altri infinitesimi più semplici, che differiscono da loro infinitamente piccolo in confronto con loro; e questa sostituzione costituisce l'artificio principale del metodo di Leibnitz, che senza di essa avrebbe posseduto reale impianto per la formazione di equazioni. Carnot riguarda tale ipotesi come realmente producendo un errore nell'equazione così ottenuta, e che per questo si chiama imperfetta , solo, è chiaro che questo errore deve essere infinitamente piccola. Ora, invece, tutte le operazioni di analisi, sia di differenziazione o di integrazione, che sono eseguiti su queste equazioni differenziali, al fine di sollevare le equazioni finite eliminando tutti gli infinitesimi introdotte come ausiliari, produrre costantemente , per loro natura, come è facilmente visibile, altri errori analoghi, in modo che una compensazione esatta avviene, e le equazioni finali, nelle parole di Carnot, diventa perfetta. visite Carnot, come indicazione certa ed invariabile della effettiva costituzione di questa compensazione necessaria, l'eliminazione completa dei vari infinitamente piccole quantità, che è sempre, infatti, l'oggetto finale di tutte le operazioni di analisi trascendente; perché se abbiamo commesso nessun altro infrazioni delle regole generali del ragionamento di quelli quindi preteso dalla natura stessa del metodo infinitesimale, gli infinitamente piccoli errori così prodotti non possono aver generato diverso infinitamente piccoli errori in tutte le equazioni, e le relazioni sono necessariamente di un'esattezza rigorosa appena esistono tra quantità finite sola, poiché i soli errori le possibili devono essere quelli finiti, mentre nessuno quali può essere inserito. Tutto questo ragionamento generale si fonda sulla concezione di quantità infinitesimali, considerato indefinitamente diminuendo, mentre quelli da cui sono derivati ??sono considerati fisso.
Illustrazione per tangenti. Così, per illustrare questa esposizione estratto da un solo esempio, prendiamo nuovamente la questione di tangenti, che è il più facile da un
dy alyze completamente. Noi considerare l'equazione t = -,
ottenuto sopra, come essere colpiti con un infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.
dy
t = -, dy-2axdx,
ascia
essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.
Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.
Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.
Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, che ho appositamente soffermati perché ammette di essere più facilmente comprensibile nel suo complesso, e il più rapidamente descritto.
METODO DI NEWTON.
Newton ha successivamente presentato il suo proprio metodo di concepire l'analisi trascendentale sotto diverse forme. Ciò che è attualmente il più comunemente adottata è stato designato da Newton, a volte sotto il nome del del metodo di primo e ultimo Ra tios, a volte sotto quella della il metodo di limiti.
Metodo di limiti. Lo spirito generale di analisi trascendente, da questo punto di vista, consiste nell'introdurre come ausiliari, al posto dei quantitativi primitive, o in concomitanza con essi, al fine di facilitare la creazione di equazioni, i limiti di della ra tios di incrementi simultanei di queste quantità; o, in altre parole, le finali rapporti di tali incrementi; limiti o rapporti finali che possono essere facilmente dimostrato di avere un determinato e valore finito. Un calcolo speciale, che è l'equivalente del calcolo infinitesimale, viene quindi impiegata per passare le equazioni tra questi limiti alle corrispondenti equazioni tra le quantità primitive stessi.
La potenza che è dato da una tale analisi, di esprimere con più facilità le leggi matematiche di fenomeni, dipende in generale su questo, che, poiché il calcolo si applica, non alle stesse incrementi delle quantità proposte, ma per i limiti di rapporti di tali incrementi, possiamo sempre sostituiamo per ogni incremento qualsiasi altra grandezza più facile da esaminare, a condizione che il loro rapporto finale è il rapporto di uguaglianza, o, in altre parole, che il limite del loro rapporto è unità. È evidente, infatti, che il calcolo dei limiti sarebbe in alcun modo limitati da questa sostituzione. Partendo da questo principio, troviamo quasi equivalente dei servizi offerti dall'analisi di Leibnitz, che vengono poi semplicemente concepiti sotto un altro punto di vista. Così curve vengono considerati come i limiti di una serie di poligoni rettilinei, moti variabili come i limiti di una raccolta di moti uniformi di durate costantemente decrescenti, e così via.
. Esempi 1. . Tangenti Supponiamo, per esempio, che vogliamo determinare la direzione della tangente ad una curva; considereremo come il limite verso che tenderebbe a secante, che dovrebbe ruotare attorno al punto in modo che il secondo punto di intersezione debba indefinitamente avvicinarsi alla prima. Rappresentando le differenze di coordinate dei due punti di Ay e Ax, avremmo in ogni istante, per la tangente trigonometrica del dell'angolo che la secante forma con l'asse di ascisse,
Ay Ax ! Da cui, prendendo i limiti, si otterrà, relativamente alla tangente in sé, questa formula generale di analisi trascendente, ._. Ay
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funzioni indiretti), ci porteranno indietro da questa relazione a quello che esiste tra le quantità finite stessi in esame.
3. Quadratura di una curva. Sarebbe lo stesso con la quadratura delle aree curvilinee. Se la curva è un piano uno, e di cui rettilinee coordinate, noi concepire l'area A compresa tra questa curva, l'asse delle ascisse, e due estremi coordinate, per aumentare di una quantità infinitamente piccola dA, come il risultato di un corrispondente incremento di ascissa. La relazione tra queste due differenziali può essere immediatamente ottenuta con grande facilità sostituendo l'elemento curvilineo della zona proposto rettangolo formato dalla estrema ordinata e l'elemento di ascisse, da cui evidentemente differisce solo per una quantità infinitamente piccola di il secondo ordine. In questo modo in una volta dare, qualunque sia la curva, il molto semplice equazione differenziale
dA. = YDX, dal quale, quando viene definita la curva, il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre l'equazione finita, che è l'oggetto immediato del problema.
4. Velocità in Variable movimento. Allo stesso modo, in Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.
5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.
Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.
E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.
Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per
Q
lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.
Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.
All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.
Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.
Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
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la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente
Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo
- = + 2AX AAX.
ASCIA
Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:
\ AX / \ AX /
\ AX / \ AXJ \ AX /
secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.
Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.
Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.
Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.
Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il fluxion delle ascisse saremo costante, come l'elemento di tempo; per tutte le altre quantità generate, il movimento non può essere concepito per essere uniforme, ad eccezione di un infinitamente piccolo tempo. Ora la velocità essendo in generale secondo la sua concezione meccanica, il rapporto di ogni spazio al tempo impiegato in attraversarlo, e questa volta essere qui proporzionale all'incremento di ascissa, ne consegue che la flussioni di dell'ordinata, della dell'arco , della zona, ecc, sono davvero niente altro (respingendo l'esame intermedio di tempo) rispetto ai rapporti finali di incrementi di queste quantità diverse per l'incremento delle ascisse. Questo metodo di flussioni e fluenti è, quindi, in realtà, solo un modo di rappresentare, da un confronto in prestito dalla meccanica, il metodo di rapporti di primi e ultimi, che sola può essere ridotto a un calcolo. È evidente, quindi, offre gli stessi vantaggi generali in varie applicazioni principali di analisi trascendente, senza che sia necessario presentare prove speciali di questo.
[grafico]
METODO DI Lagrange.
Derivati ??funzioni. La concezione di Lagrange, nella sua semplicità ammirevole, consiste nel rappresentare l'analisi trascendente come un grande artifizio algebraio, per cui, al fine di facilitare la creazione di equazioni, si introduce, in luogo delle funzioni primitive, o contemporaneamente con loro, loro derivati ??funzioni; cioè, secondo la definizione di Lagrange, il coefficiente del primo termine del dell'incremento di ciascuna funzione, disposte secondo i poteri ascendenti del l'incremento della sua variabile. La speciale calcolo di funzioni indirette ha per oggetto costante, anche qui, come nelle concezioni di Leibnitz e di Newton, per eliminare questi derivati ??che sono stati quindi impiegati come ausiliari, al fine di dedurre dalle loro relazioni corrispondenti equazioni tra il primitivo grandezze.
Una estensione di ordinaria Analisi. L'analisi trascendentale è, dunque, nient'altro che un semplice anche se molto notevole estensione di analisi comune. Geometri sono stati a lungo abituati ad introdurre nelle indagini analitiche, al posto delle grandezze stessi che desideravano studiare, loro differenti potenze, o loro logaritmi, o loro seni, ec, per semplificare le equazioni, e anche per ottenerli più facilmente. Questa successiva derivazione è un artificio della stessa natura, solo di maggiore estensione, e procurarsi, di conseguenza, molto più importante delle risorse per questo oggetto comune.
Ma, anche se facilmente si può concepire, un priori, che la considerazione ausiliario di questi derivati ??può FA cilitare la creazione di equazioni, non è facile spiegare perché questo deve necessariamente seguire questa modalità di derivazione piuttosto che da qualsiasi altra trasformazione. Tale è il punto debole della grande idea di Lagrange. I vantaggi precisi di questa analisi non possono ancora essere afferrati in modo astratto, ma mostrati solo considerando separatamente ciascuna questione principale, in modo che la verifica è spesso estremamente laborioso.
Esempio. Tangenti. Questo modo di concepire l'analisi trascendente può essere meglio illustrata dalla sua applicazione alla più semplice dei problemi sopra esaminati, cioè di tangenti.
Invece di concepire tangente come il prolungamento della infinitamente piccolo elemento di curva, secondo il concetto di Leibnitz, o come il limite delle le secanti, secondo le idee di Newton-Lagrange ritiene, secondo il suo carattere semplice geometrica, analoga alle definizioni di antichi, per essere una linea retta tale che nessuna altra linea destra può passare attraverso il punto di contatto tra essa e la curva. Quindi, per determinare la sua direzione, dobbiamo cercare l'espressione generale della sua distanza dalla curva, misurata in qualsiasi direzione qualunque-in che del ordinata, per esempio, e disporre della costante arbitraria relativa alla inclinazione della linea di destra, che necessariamente entrare in tale espressione, in modo tale da diminuire la separazione il più possibile. Ora questa distanza, essendo evidentemente pari alla differenza delle due coordinate della curva e della linea di destra, che corrispondono allo stesso nuovo ascissa x + h, sarà rappresentato dalla formula
(FHX) -t) h + QH, i + rh, 3 + etc, in cui t indica, come sopra, la trigonomet sconosciuta
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la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente
Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo
- = + 2AX AAX.
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Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:
\ AX / \ AX /
\ AX / \ AXJ \ AX /
secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.
Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.
Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.
Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.
Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il fluxion delle ascisse saremo costante, come l'elemento di tempo; per tutte le altre quantità generate, il movimento non può essere concepito per essere uniforme, ad eccezione di un infinitamente piccolo tempo. Ora la velocità essendo in generale secondo la sua concezione meccanica, il rapporto di ogni spazio al tempo impiegato in attraversarlo, e questa volta essere qui proporzionale all'incremento di ascissa, ne consegue che la flussioni di dell'ordinata, della dell'arco , della zona, ecc, sono davvero niente altro (respingendo l'esame intermedio di tempo) rispetto ai rapporti finali di incrementi di queste quantità diverse per l'incremento delle ascisse. Questo metodo di flussioni e fluenti è, quindi, in realtà, solo un modo di rappresentare, da un confronto in prestito dalla meccanica, il metodo di rapporti di primi e ultimi, che sola può essere ridotto a un calcolo. È evidente, quindi, offre gli stessi vantaggi generali in varie applicazioni principali di analisi trascendente, senza che sia necessario presentare prove speciali di questo.
[grafico]
METODO DI Lagrange.
Derivati ??funzioni. La concezione di Lagrange, nella sua semplicità ammirevole, consiste nel rappresentare l'analisi trascendente come un grande artifizio algebraio, per cui, al fine di facilitare la creazione di equazioni, si introduce, in luogo delle funzioni primitive, o contemporaneamente con loro, loro derivati ??funzioni; cioè, secondo la definizione di Lagrange, il coefficiente del primo termine del dell'incremento di ciascuna funzione, disposte secondo i poteri ascendenti del l'incremento della sua variabile. La speciale calcolo di funzioni indirette ha per oggetto costante, anche qui, come nelle concezioni di Leibnitz e di Newton, per eliminare questi derivati ??che sono stati quindi impiegati come ausiliari, al fine di dedurre dalle loro relazioni corrispondenti equazioni tra il primitivo grandezze.
Una estensione di ordinaria Analisi. L'analisi trascendentale è, dunque, nient'altro che un semplice anche se molto notevole estensione di analisi comune. Geometri sono stati a lungo abituati ad introdurre nelle indagini analitiche, al posto delle grandezze stessi che desideravano studiare, loro differenti potenze, o loro logaritmi, o loro seni, ec, per semplificare le equazioni, e anche per ottenerli più facilmente. Questa successiva derivazione è un artificio della stessa natura, solo di maggiore estensione, e procurarsi, di conseguenza, molto più importante delle risorse per questo oggetto comune.
Ma, anche se facilmente si può concepire, un priori, che la considerazione ausiliario di questi derivati ??può FA cilitare la creazione di equazioni, non è facile spiegare perché questo deve necessariamente seguire questa modalità di derivazione piuttosto che da qualsiasi altra trasformazione. Tale è il punto debole della grande idea di Lagrange. I vantaggi precisi di questa analisi non possono ancora essere afferrati in modo astratto, ma mostrati solo considerando separatamente ciascuna questione principale, in modo che la verifica è spesso estremamente laborioso.
Esempio. Tangenti. Questo modo di concepire l'analisi trascendente può essere meglio illustrata dalla sua applicazione alla più semplice dei problemi sopra esaminati, cioè di tangenti.
Invece di concepire tangente come il prolungamento della infinitamente piccolo elemento di curva, secondo il concetto di Leibnitz, o come il limite delle le secanti, secondo le idee di Newton-Lagrange ritiene, secondo il suo carattere semplice geometrica, analoga alle definizioni di antichi, per essere una linea retta tale che nessuna altra linea destra può passare attraverso il punto di contatto tra essa e la curva. Quindi, per determinare la sua direzione, dobbiamo cercare l'espressione generale della sua distanza dalla curva, misurata in qualsiasi direzione qualunque-in che del ordinata, per esempio, e disporre della costante arbitraria relativa alla inclinazione della linea di destra, che necessariamente entrare in tale espressione, in modo tale da diminuire la separazione il più possibile. Ora questa distanza, essendo evidentemente pari alla differenza delle due coordinate della curva e della linea di destra, che corrispondono allo stesso nuovo ascissa x + h, sarà rappresentato dalla formula
(FHX) -t) h + QH, i + rh, 3 + etc, in cui t indica, come sopra, la trigonomet sconosciuta
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tangente Rical del dell'angolo che la riga desiderata forma con l'asse di ascisse, e f '{x) la funzione derivata della ordinata f (x). Questo fermo restando, è facile vedere che, disponendo di t modo per fare il primo termine della formula precedente uguale a zero, noi rendere l'intervallo tra le due linee il meno possibile, in modo che qualsiasi altra linea for'Which t non aveva il valore così determinato necessariamente discostarsi più lontano dalla curva proposta . Abbiamo, quindi, per la direzione della tangente ricercato, l'espressione generale t = f '(x), un risultato esattamente equivalenti a quelle fornite dal metodo infinitesimale e il metodo di limiti. Dobbiamo ancora trovare f '(x) in ciascuna curva particolare, che è una semplice questione di analisi, del tutto identica a quelli che sono presentati, in questa fase delle operazioni, con gli altri metodi. Dopo queste considerazioni al momento i principali concetti generali, non dobbiamo fermarci ad esaminare alcune altre teorie proposte, come ad esempio di Eulero Calcolo di Vanishing quantità, che sono davvero modificazioni più o meno importanti, e, inoltre, non sono più utilizzati -di metodi precedenti .
Devo ora di stabilire il confronto e l'apprezzamento di questi tre metodi fondamentali. La loro per fetto e necessaria la conformità è il primo ad essere provata in modo generale.
Identità fondamentale DEI TRE METODI.
È, in primo luogo, risulta da quanto precede, considerando questi tre metodi come la loro destinazione effettiva, indipendentemente delle loro idee preliminari, che tutti consistono nello stesso artifici logico generale, che è stato caratterizzato nel primo capitolo; cioè, l' introduzione di un certo sistema di grandezze ausiliarie, avere rapporti uniformi a quelle che sono gli oggetti speciali di dell'indagine, e sostituiti loro espressamente per facilitare l'espressione analitica delle leggi matematiche dei fenomeni, anche se hanno infine essere eliminati con l'aiuto di un calcolo speciale. È questo che mi ha determinato per definire regolarmente all'analisi trascendente come il calcolo della indiretti FUNC zioni, per marcare il suo vero carattere filosofica, allo stesso tempo evitando ogni discussione sul miglior modo di concepire e applicazione. L'effetto generale di questa analisi, qualunque sia il metodo impiegato, è, quindi, per portare ogni domanda matematica molto più rapidamente all'interno del potere di l' calcolo, e quindi di diminuire notevolmente la grave difficoltà che di solito è presentato dal passaggio dal concreto l'astratto. Qualunque sia il progresso noi possiamo fare, non possiamo mai sperare che il calcolo sarà mai in grado di cogliere tutte le domande di natura filosofia, geometrica, o meccanico, o thermological, ecc, immediatamente dopo la sua nascita, il che, evidentemente, comporta una contraddizione. Ogni problema sarà costantemente richiederà un certo lavoro preliminare da eseguire, in cui il calcolo può essere di alcun aiuto, e che, per sua natura, non può essere sottoposto a regole astratte e invariabili; è quella che ha per oggetto speciale la creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati ??equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.
Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati ??FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile
per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel
dx
Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come
Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange
ASCIA
indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.
VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.
Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.
Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di
H
equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.
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CAPITOLO IV.
IL calcolo differenziale e integrale.
Le sue due divisioni fondamentali.
Il calcolo del indiretti funzioni, secondo le considerazioni spiegato nel capitolo precedente, è necessariamente diviso in due parti (o, più correttamente, viene scomposto in due differenti calcoli completamente distinte, anche se intimamente collegata per loro natura), secondo che è proposto per trovare le relazioni tra le grandezze ausiliarie (l'introduzione del che costituisce lo spirito generale di questo calcolo) per mezzo delle relazioni tra i corrispondenti grandezze primitive; o, al contrario, per cercare di scoprire queste equazioni diretti mediante delle equazioni indiretti originariamente stabiliti. Tale è, infatti, costantemente il duplice scopo di analisi trascendente.
Questi due sistemi hanno ricevuto nomi diversi, a seconda del punto di vista sotto il quale tale analisi è stata considerata. Il metodo infinitesimo, propriamente detta, essendo stato il più comunemente impiegato per le ragioni che sono state date, quasi tutti i geometri utilizzano abitualmente le denominazioni di Differen ziale calcolo e di integrale Calcolo, stabilito da Leibnitz, e quali sono, in realtà, molto conseguenze razionali della sua concezione. Newton, in accordo con il suo metodo, chiamato il primo il calcolo delle flussioni, e il secondo il calcolo di fluenti, espressioni che erano comunemente impiegati in Inghilterra. Infine, seguire ing teoria eminentemente filosofica fondata da Lagrange, si sarebbe chiamato il calcolo delle derivate funzioni, e l'altro il calcolo delle primitive funzioni. Continuerò a fare uso dei termini di Leibnitz, come più conveniente per la formazione di espressioni secondarie, anche se ho dovuto, secondo le proposte formulate nel capitolo precedente, di impiegare contemporaneamente tutte le diverse concezioni, si avvicina il più possibile a quella di Lagrange.
Le loro relazioni con l'altro.
Il calcolo differenziale è evidentemente la base logica del calcolo integrale; perché non lo facciamo e non possiamo sapere come integrare direttamente eventuali altre espressioni differenziali rispetto a quelli prodotti dalla differenziazione delle dieci semplici funzioni che costituiscono gli elementi generali della nostra analisi. L'arte di integrazione consiste, quindi, essenzialmente nel portare tutti gli altri casi, per quanto possibile, di dipendere finalmente solo questo piccolo numero di integrazioni fondamentali.
Nel considerare l'intero corpo del dell'analisi trascendente, come ho caratterizzato nel capitolo precedente, non è in prima evidente quale può essere l'utilità peculiare del calcolo differenziale, indipendentemente di questo rapporto necessario con il calcolo integrale, che sembra se deve essere, di per sé, l'unico direttamente indispensabile. Infatti, l'eliminazione dei i infinitesimi o dei i derivati, introdotto come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni, costituendo, come abbiamo visto, l'oggetto finale ed invariabile di calcolo di funzioni indirette, è naturale pensare che il calcolo che insegna come dedurre dalle equazioni tra queste grandezze ausiliari, quelli che esistono tra le grandezze primitive stessi, dovrebbe rigorosamente bastare per i bisogni generali di analisi trascendentale senza il nostro percepire, a prima vista, che cosa speciale e parte costante della soluzione della domanda inversa può avere in tale analisi. Sarebbe un errore reale, anche se un comune, da assegnare al calcolo differenziale, per spiegare la sua peculiare, dirette e influenza necessaria, la destinazione di formare le equazioni differenziali, da cui il calcolo integrale poi ci consente di arrivare le equazioni finite; per la formazione primitiva di equazioni differenziali non è e non può essere propriamente, l'oggetto di qualsiasi calcolo, poiché, al contrario, si forma per sua natura indispensabile punto di partenza di qualsiasi calcolo qualunque. Come, in particolare, potrebbe calcolo differenziale, che di per sé è ridotto ad insegnare i mezzi di differenziare le diverse equazioni, una procedura generale adottata per stabilire loro? Ciò che in ogni applicazione di analisi trascendente realmente facilita la formazione di equazioni, è infinitesimale metodo, e non il infinitesimo calcolo, che è perfettamente distinto da essa, anche se è il suo complemento indispensabile. Tale considerazione sarebbe, quindi, dare una falsa idea di destinazione speciale che caratterizza il calcolo differenziale nel sistema generale di analisi trascendente.
Ma dobbiamo comunque molto imperfettamente concepire il vero peculiare importanza di questo primo ramo di calcolo di funzioni indiretti, se abbiamo visto in esso un semplice lavoro preliminare, non avendo altro oggetto generale ed essenziale che per preparare basi indispensabili per il calcolo integrale. Come le idee su questo argomento sono generalmente confusi, penso che dovrei qui a spiegare in maniera sommaria questa importante relazione, come ho vista, e per dimostrare che in tutte le applicazioni di analisi trascendente un primario, diretta, e parte necessaria è costantemente assegnato al calcolo differenziale.
1. Uso della il differenziale calcolo come preparazione per quella del l' integrale. Nel formare le equazioni differenziali di ogni fenomeno qualunque, è molto raro che ci limitiamo introdurre differenzialmente solo le grandezze cui relazioni sono ricercati. Per imporre tale condizione sarebbe diminuire inutilmente le risorse presentate dall'analisi trascendente per l'espressione delle leggi matematiche di fenomeni. Più frequentemente si introducono nelle equazioni primitive, attraverso i loro differenziali, altre grandezze cui relazioni sono già noti o suppone che sia così, e senza la considerazione di cui sarebbe spesso impossibile stabilire le equazioni. Così, per esempio, nel problema generale della rettifica di curve, l'equazione differenziale,
ds t = dy * + dx t , o ds t = dx t + dy t + dz 2 , non è solo stabilito tra la variabile indipendente funzione desiderata s e x, a cui si riferisce, ma, al tempo stesso, vi sono stati introdotti, come intermediari indispensabili, i differenziali di uno o due altre funzioni, y , z, che sono tra i dati del problema; non sarebbe stato possibile formare direttamente l'equazione tra ds e dx, che, inoltre, essere peculiare di ogni curva considerato. È lo stesso per la maggior parte delle domande. Ora, in questi casi è evidente che l'equazione differenziale non è immediatamente adatto per l'integrazione. È precedenza necessario che l'differiscono entials delle funzioni supposti essere conosciuto, che sono stati impiegati come intermediari, dovrebbe essere completamente eliminato, in modo che le equazioni possono essere ottenute fra i differenziali di funzioni che sola ricercate e quelle del realmente il variabili indipendenti, dopo di che la domanda dipende solo il calcolo integrale. Ora questa eliminazione preparatoria di taluni differenziali, al fine di ridurre gli infinitesimi al minor numero possibile, appartiene semplicemente calcolo differenziale; perché deve evidentemente essere fatto determinando, mediante delle equazioni tra le funzioni supposti essere conosciuto, presi come intermediari, i rapporti dei loro differenziali, che è solo una domanda di differenziazione. Così, per esempio, nel caso di rettifiche, sarà prima necessario calcolare dy, o dy e dz, differenziando l'equazione o le equazioni di ciascuna curva proposti; dopo aver eliminato queste espressioni, la formula differenziale generale sopra enunciata conterrà quindi solo ds e dx ; essere arrivati ??a questo punto, l'eliminazione dei infinitesimi può essere completata solo dal calcolo integrale.
Tale è, poi, l'Ufficio Generale necessariamente appartenente al calcolo differenziale nella soluzione completa delle questioni che esatto l'impiego di analisi trascendente; per produrre, per quanto possibile, l'eliminazione di infinitesimi, che è, per ridurre in ogni caso le equazioni differenziali primitive in modo che essi contengono soltanto le differenze delle variabili realmente indipendenti, e quelli delle funzioni ricercata, provocando a scomparire, per eliminazione, i differenziali di tutte le altre funzioni note che possono essere presi come intermediari al momento della formazione del l'differiscono
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ential equations of the problem which is under consideration.
2. Employment of the Differential Calculus alone. For certain questions, which, although few in number, have none the less, as we shall see hereafter, a very great importance, the magnitudes which are sought enter directly, and not by their differentials, into the primitive differential equations, which then contain differentially only the different known functions employed as intermediaries, in accordance with the preceding explanation. These cases are the most favourable of all; for it is evident that the differential calculus is then entirely sufficient for the complete elimination of the infinitesimals, without the question giving rise to any integration. This is what occurs, for example, in the problem of tangents in geometry; in that of velocities in mechanics, &c
3. Employment of the Integral Calculus alone. Finally, some other questions, the number of which is also very small, but the importance of which is no less great, present a second exceptional case, which is in its nature exactly the converse of the preceding. They are those in which the differential equations are found to be immediately ready for integration, because they contain, at their first formation, only the infinitesimals which relate to the functions sought, or to the really independent variables, without its being necessary to introduce, differentially, other functions as intermediaries. If in these new cases we introduce these last functions, since, by hypothesis, they will enter directly and not by their differentials, ordinary algebra will suffice to eliminate them, and to bring the question to depend on only the integral calculus. The differential calculus will then have no special part in the complete solution of the problem, which will depend entirely upon the integral calculus. The general question of quadratures offers an important example of this, for the differential equation being then dA=ydx, will become immediately fit for integration as soon as we shall have eliminated, by means of the equation of the proposed curve, the intermediary function y, which does not enter into it differentially. The same circumstances exist in the problem of cubatures, and in some others equally important.
Three classes of Questions hence resulting. As a general result of the previous considerations, it is then necessary to divide into three classes the mathematical questions which require the use of the transcendental analysis; the first class comprises the problems susceptible of being entirely resolved by means of the differential calculus alone, without any need of the integral calculus; the second, those which are, on the contrary, entirely dependent upon the integral calculus, without the differential calculus having any part in their solution; lastly, in the third and the most extensive, which constitutes the normal case, the two others being only exceptional, the differential and the integral calculus have each in their turn a distinct and necessary part in the complete solution of the problem, the former making the primitive differential equations undergo a preparation which is indispensable for the application of the latter. Such are exactly their general relations, of which too indefinite and inexact ideas are generally formed.
Let us now take a general survey of the logical composition of each caloulus, beginning with the differential.
THEDIFFERENTIALCALCULUS.
In the exposition of the transcendental analysis, it is customary to intermingle with the purely analytical part (which reduces itself to the treatment of the abstract principles of differentiation and integration) the study of its different principal applications, especially those which concern geometry. This confusion of ideas, which is a consequence of the actual manner in which the science has been developed, presents, in the dogmatic point of view, serious inconveniences in this respect, that it makes it difficult properly to conceive either analysis or geometry. Having to consider here the most rational co-ordination which is possible, I shall include, in the following sketch, only the calculus of indirect functions properly so called, reserving for the portion of this volume which relates to the philosophical study of concrete mathematics the general examination of its great geometrical and mechanical applications.
Two Cases: explicit and implicit Functions. The fundamental division of the differential calculus, or of the general subject of differentiation, consists in distinguishing two cases, according as the analytical functions which are to be differentiated are explicit or implicit; from which flow two parts ordinarily designated by the names of differentiation of formulas and differentiation of equations. It is easy to understand, a priori, the importance of this classification. In fact, such a distinction would be illusory if the ordinary analysis was perfect; that is, if we knew how to resolve all equations algebraically, for then it would be possible to render every implicit function explicit; and, by differentiating it in that state alone, the second part of the differential calculus would be immediately comprised in the first, without giving rise to any new difficulty. But the algebraical resolution of equations being, as we have seen, still almost in its infancy, and as yet impossible for most cases, it is plain that the case is very different, since we have, properly speaking, to differentiate a function without knowing it, although it is determinate. The differentiation of implicit functions constitutes then, by its nature, a question truly distinct from that presented by explicit functions, and necessarily more complicated. It is thus evident that we must commence with the differentiation of formulas, and reduce the differentiation of equations to this primary case by certain invariable analytical considerations, which need not be here mentioned.
These two general cases of differentiation are also distinct in another point of view equally necessary, and too important to be left unnoticed. The relation which is obtained between the differentials is constantly more indirect, in comparison with that of the finite quantities, in the differentiation of implicit functions than in that of explicit functions. We know, in fact, from the considerations presented by Lagrange on the general formation of differential equations, that, on the one hand, the same primitive equation may give rise to a greater or less number of derived equations of very different forms, although at bottom equivalent, depending upon which of the arbitrary constants is eliminated, which is not the case in the differentiation of explicit formulas; and that, on the other hand, the unlimited system of the different primitive equations, which correspond to the same derived equation, presents a much more profound analytical variety than that of the different functions, which admit of one same explicit differential, and which are distinguished from each other only by a constant term. Implicit functions must therefore be regarded as being in reality still more modified by differentiation than explicit functions. We shall again meet with this consideration relatively to the integral calculus, where it acquires a preponderant importance.
Two Sub-cases: A single Variable or several Variables. Each of the two fundamental parts of the Differential Calculus is subdivided into two very distinct theories, according as we are required to differentiate functions of a single variable or functions of several independent variables. This second case is, by its nature, quite distinct from the first, and evidently presents more complication, even in considering only explicit functions, and still more those which are implicit. As to the rest, one of these cases is deduced from the other in a general manner, by the aid of an invariable and very simple principle, which consists in regarding the total differential of a function which is produced by the simultaneous increments of the different independent variables which it contains, as the sum of the partial differentials which would be produced by the separate increment of each variable in turn, if all the others were constant. It is necessary, besides, carefully to remark, in connection with this subject, a new idea which is introduced by the distinction of functions into those of one variable and of several; it is the consideration of these different special derived functions, relating to each variable separately, and the number of which increases more and
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più in proporzione come l'ordine di derivazione diventa più alta, e anche quando le variabili diventano più numerosi. Deriva da questo che i rapporti differenziali a funzioni di più variabili sono, per loro natura, sia molto più indiretta, e soprattutto molto più indeterminata, di quelli relativi alle funzioni di una singola variabile. Questo è più evidente nel caso di funzioni implicite, in cui, al posto di semplici costanti arbitrarie che eliminazione provoca a scomparire quando formiamo le equazioni differenziali adeguati per le funzioni di una sola variabile, sono le funzioni arbitrarie delle variabili proposte che vengono poi eliminati; da cui deve risultare particolari difficoltà quando queste equazioni vengono a integrarsi.
Infine, per completare questa sintesi abbozzo delle diverse parti essenziali del calcolo differenziale corretta, devo aggiungere, che nella differenziazione di funzioni implicite, sia di una singola variabile o di diversi, è necessario fare un'altra distinzione; che del caso in cui è richiesto di differenziare contemporaneamente diverse funzioni di questo tipo, combinati in certe equazioni primitive, da quella in cui tutte queste funzioni sono separati.
Le funzioni sono evidentemente, infatti, ancora più implicito nel primo caso rispetto al secondo, se si considera che la stessa imperfezione di analisi ordinaria, che proibisce nostra convertire ogni funzione implicita in una funzione esplicita equivalente, in modo analogo rende incapaci di separare le funzioni che entrano contemporaneamente in qualsiasi sistema di equazioni. È quindi necessario differenziare, non solo senza sapere come risolvere le equazioni primitive, ma anche senza essere ing grado di effettuare le eliminazioni corrette fra loro, producendo così una nuova difficoltà.
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Riduzione del l' intera per la differenziazione dei i dieci elementari funzioni. Tale, quindi, sono la naturale connessione e la distribuzione logica delle diverse teorie principali che compongono il sistema generale di differenziazione. Poiché la differenziazione delle funzioni implicite è dedotta da quella di funzioni esplicite da un unico principio costante, e la differenziazione delle funzioni di più variabili è diminuito di un altro principio fisso a quella di funzioni di una sola variabile, l'intera del calcolo differenziale è finalmente trovato a riposo sulla differenziazione delle funzioni esplicite con una singola variabile, l'unico che viene sempre eseguito direttamente. Ora è facile capire che questa prima teoria, la base necessaria di tutto il sistema, consiste semplicemente nella differenziazione delle dieci funzioni semplici, che sono gli elementi uniformi di tutte le combinazioni analitiche, e l'elenco dei quali è stato dato in il primo capitolo, a pagina 51; per la differenziazione delle funzioni composti è evidentemente dedotto, in modo immediato e necessario, da quella dei semplici funzioni che li compongono. È, quindi, alla conoscenza di questi dieci differenziali fondamentali, nonché a quello dei due principi generali appena citati, che portano sotto tutti gli altri casi possibili, che l'intero sistema di differenziazione è adeguatamente ridotta. Vediamo, dalla combinazione di queste diverse considerazioni, come semplice e come perfetto è l'intero sistema di calcolo differenziale. Costituisce certamente, nelle sue relazioni logiche, lo spettacolo più interessante che l'analisi matematica può presentare alla nostra comprensione.
Trasformazione dei derivati ??Funzioni per le nuove Varia Bles. Il disegno generale che ho appena sommariamente disegnato sarebbe tuttavia presentare un deficit importante, se non ho fatto qui distintamente indicare una teoria finale, che costituisce, per sua natura, il complemento indispensabile del sistema di differenziazione. È quella che ha per oggetto la trasformazione costante di funzioni derivate, come risultato di cambiamenti determinati nelle variabili indipendenti, donde risulta la possibilità di riferimento a nuove variabili tutte le formule generali differenziali primitively stabiliti per gli altri. Questa domanda è ora risolta nel più completo e il modo più semplice, come tutti quelli di cui il calcolo differenziale è composta. È facile immaginare l'importanza generale che deve avere in qualsiasi delle applicazioni di analisi trascendente, le risorse fondamentali di cui può essere considerata augmenting, da noi permettendo di scegliere (per formare le equazioni differenziali, in innanzitutto, con più facilità) il sistema di variabili indipendenti che possono sembrare essere la più vantaggiosa, anche se non è definitivamente mantenuta. È così, ad esempio, che la maggior parte delle principali questioni di geometria sono risolti molto più facilmente facendo riferimento alle linee e superfici rettilinee coordinate, e che può, tuttavia, avere occasione per esprimere queste linee, ecc, analiticamente con l'aiuto di polari coordinate, o in qualsiasi altro modo. Ci sarà quindi in grado di iniziare la soluzione differenziale del problema impiegando il sistema rettilinea, ma solo come fase intermedia, da cui, per la teoria generale qui denominato, possiamo passare al sistema finale, che a volte non poteva avere stato considerato direttamente.
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Diversi ordini di differenziazione. Nella classifica logica del del calcolo differenziale, che ha appena ricevuto, alcuni possono essere inclini a suggerire una grave omissione, visto che non ho suddiviso ognuna delle sue quattro parti essenziali secondo un'altra considerazione generale, che sembra in un primo momento visualizzare molto importante; cioè che di ordine superiore o inferiore di differenziazione. Ma è facile capire che questa distinzione ha alcuna influenza reale nel calcolo differenziale, in quanto non dà luogo ad alcuna nuova difficoltà. Se, infatti, il calcolo differenziale non è stato rigorosamente completo, cioè se non sapessimo come differenziare a volontà qualsiasi funzione qualunque sia, la differenziazione al secondo o superiore ordine di ogni funzione determinata potrebbe generare particolari difficoltà. Ma l'universalità perfetta del calcolo differenziale chiaramente ci dà la certezza di essere in grado di differenziare, a qualsiasi ordine qualsiasi, tutte le funzioni note qualunque, la questione ridursi ad una differenziazione costantemente ripetuta del primo ordine. Questa distinzione, poco importante come per il calcolo differenziale, acquisisce, tuttavia, una grande importanza nel calcolo integrale, a causa della estrema imperfezione di quest'ultimo.
Analytical Applications. Infine, anche se questo non è il posto giusto per prendere in considerazione le varie applicazioni del calcolo differenziale, ma un'eccezione possono essere fatte per coloro che consistono nella soluzione di questioni che sono puramente analitico, che dovrebbe, infatti, essere trattati logicamente in prosecuzione di un sistema di differenziazione, a causa della omogeneità evidente delle considerazioni coinvolti. Queste domande possono essere ridotte a tre quelli essenziali.
In primo luogo, il sviluppo in serie di funzioni di una o più variabili, o, più in generale, la trasformazione di funzioni, che costituisce la più bella e la più importante applicazione del calcolo differenziale per analisi generale, e che comprende, oltre alla serie fondamentale scoperto da Taylor, la notevole serie scoperto da Maclaurin, Jchn Bernoulli, Lagrange, & c:
In secondo luogo, il generale teoria di maxima e minimi valori per ogni funzione qualunque, di una o più variabili; uno dei problemi più interessanti che l'analisi può presentare, per quanto elementare Può ora sono diventati, e per la soluzione completa di che si applica naturalmente il calcolo differenziale:
In terzo luogo, la determinazione generale del valore reale delle funzioni che si presentano sotto un indeter minate aspetto di alcune ipotesi fatte sui valori delle variabili corrispondenti; che è il meno esteso e meno importante di tre.
La prima domanda è certamente il principale in tutti i punti di vista; è anche il più suscettibile di ricevere un nuovo seguito estensione, soprattutto concepire, in modo più ampio rispetto a quanto è stato ancora fatto, l'impiego del calcolo differenziale nella trasformazione di funzioni, sul quale soggetto Lagrange ha lasciato alcuni suggerimenti preziosi.
Avendo così sommariamente, anche se forse troppo breve, considerati i punti principali del calcolo differenziale, io ora procedere a un altrettanto rapido esposizione di un quadro sistematico di del calcolo integrale, propriamente detto, cioè il soggetto astratto di integrazione.
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Calcolo integrale.
La sua fondamentale Division. La divisione fondamentale del calcolo integrale si fonda sul principio stesso di quello del calcolo differenziale, nel distinguere l'integrazione di esplicite formule differenziali, e l'integrazione dei impliciti differenziali o di equazioni differenziali. La separazione di questi due casi è ancora molto più profonda rispetto alla integrazione rispetto alla differenziazione. Nel calcolo differenziale, infatti, questa distinzione poggia, come abbiamo visto, solo sulla estrema imperfezione di analisi ordinaria. Ma, d'altra parte, è facile vedere che, anche se tutte le equazioni possono essere risolte algebricamente, equazioni differenziali sarebbe comunque costituire un caso di integrazione ben distinta da quella presentata dalle formule differenziali espliciti; per, limitandoci, per motivi di semplicità, al primo ordine, e ad una funzione singola y di una singola variabile x, supponendo qualsiasi equazione differenziale fra x, y,
dy dy e -, da risolvere con riferimento -, la Expres dx dx
sione della funzione derivata essendo poi generalmente trovata contenere la stessa funzione primitiva, che è oggetto della dell'indagine, la domanda di integrazione non avrà affatto cambiato natura, e la soluzione non sarà davvero fatto alcuna altra progressi quello di aver portato l'equazione differenziale proposto essere di solo il primo grado relativamente alla funzione derivata, che è di per sé di scarsa importanza. Il differenziale non sarebbe quindi determinata in maniera molto meno implicita rispetto a prima, per quanto riguarda l'integrazione, che continuerebbe a presentare sostanzialmente la stessa caratteristica diffi cnlty. La risoluzione algebrica delle equazioni non poteva fare il caso che stiamo considerando rientrare la semplice integrazione dei differenziali esplicite, tranne nei casi particolari in cui l'equazione differenziale proposta non conteneva la stessa funzione di primitivo, che avrebbe
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Di conseguenza ci permettono, per risolverlo, per trovare - a dx
termini di x soltanto, e quindi di ridurre la domanda alla classe di quadrature. Ancora maggiori difficoltà sarebbero evidentemente essere trovati in equazioni differenziali di ordine superiore, o contenenti simultaneamente diverse funzioni di più variabili indipendenti.
L'integrazione di equazioni differenziali è quindi necessariamente più complicato di quello di differenziali esplicite, dall'elaborazione di che durano è stato creato calcolo integrale, e su cui sono stati fatti altri dipendere quanto è stato possibile. Tutti i vari metodi analitici che sono stati proposti per integrare le equazioni differenziali, che sia la separazione delle variabili, il metodo di moltiplicatori, ecc, hanno infatti per oggetto per ridurre queste integrazioni a quelli di formule differenziali, l'unico che , per sua natura, possono essere intraprese direttamente. Purtroppo, imperfetta come ancora questa base necessaria di tutta calcolo integrale, l'arte di ridurre ad esso l'integrazione di equazioni differenziali è ancora meno avanzate.
Suddivisioni: una variabile o . Diversi Ciascuno di questi due rami fondamentali del calcolo integrale è prossima suddivisi in due altri (come nel calcolo differenziale, e per motivi precisamente analoghe), secondo come noi consideriamo funzioni con una singola variabile, o funzioni con diversi indipendenti variabili.
Questa distinzione è, come quello precedente, ancora più importante per l'integrazione di differenziazione. Ciò è particolarmente notevole in riferimento alle equazioni differenziali. Infatti, quelle che dipendono da diverse variabili indipendenti possono evidentemente presentare questa difficoltà caratteristico Mnch più grave, che la funzione desiderata può essere differenzialmente definita da una semplice relazione tra i diversi derivati ??particolari relativi alle diverse variabili prese separatamente. Risulta quindi più difficile e anche la più ampia ramo del calcolo integrale, che è comunemente chiamato il Inter gral Calcolo della parziali differenze, creato da D'Alembert, e in cui, secondo il proprio apprezzamento di Lagrange, geometri dovrebbe avere visto davvero un nuovo calcolo, il carattere filosofica di cui non è ancora stata determinata con precisione sufficiente. Una differenza molto evidente tra questo caso e quello di equazioni con una singola variabile indipendente è costituito, come è stato già osservato, nelle funzioni arbitrarie che prendono il posto delle semplici costanti arbitrarie, per dare alle corrispondenti integrali tutto il corretto generalità .
È appena il caso di dire che questo ramo superiore di analisi trascendentale è ancora del tutto nella sua infanzia, poiché, anche nel caso più semplice, che di un'equazione del primo ordine fra le derivate parziali di una singola funzione con due variabili indipendenti, non è ancora del tutto in grado di ridurre l'integrazione a quella delle equazioni differenziali ordinarie. L'integrazione delle funzioni di più variabili è molto più avanzato nel caso (infinitamente più semplice in realtà) in cui si ha a che fare solo con formule differenziali esplicite. Possiamo allora, infatti, quando queste formule soddisfano le neces condizioni ne- di integrabilità, ridurre sempre la loro integrazione a quadrature.
Altri Suddivisioni : diversi ordini di Differentia . Zione Una nuova distinzione generale, applicabile come una suddivisione per l'integrazione dei differenziali esplicite o implicite, con una variabile o più, è tratto dalla alta er o minore ordine di i differenziali : una distinzione che, come abbiamo sopra osservato, non dà luogo ad alcuna domanda speciale nel calcolo differenziale.
Relativamente alle esplicite differenziali, sia di una variabile o di vari, la necessità di distinguere loro diversi ordini appartiene solo alla estrema imperfezione del calcolo integrale. Infatti, se si potesse sempre integrare ogni formula differenziale del primo ordine, l'integrazione di una formula di secondo ordine, o di qualsiasi altro, sarebbe evidentemente non formare una nuova domanda, poiché, integrando in un primo momento in primo grado , saremmo arrivati ??al espressione differenziale di ordine immediatamente precedente, dal quale, da una serie adeguata di integrazioni analoghi, saremmo certi di arrivare infine la funzione primitiva, l'oggetto finale di queste operazioni. Ma la poca conoscenza che possediamo sull'integrazione del persino il primo ordine provoca piuttosto un altro stato di cose, in modo che un ordine superiore di differenziali produce nuove difficoltà; per, avendo formule differenziali di qualsiasi ordine sopra il primo, può accadere che wo può essere in grado di integrarli, o una volta o più volte di seguito, e che può essere ancora in grado di tornare alle funzioni primitive, se questi lavori preliminari hanno prodotto, per i differenziali di ordine inferiore, espressioni il cui integrali non sono noti. Questa circostanza deve avvenire tanto più spesso (il numero delle note integrali essendo ancora molto piccolo), visto che questi integrali successive sono generalmente molto diverse funzioni dei derivati ??che li hanno prodotti.
Con riferimento alle implicite differenziali, la distinzione di ordini è ancora più importante; per, oltre al motivo precedente, l'influenza dei quali è evidentemente analogo in questo caso, ed è ancora maggiore, è facile intuire che l'ordine superiore di equazioni differenziali nasce inseparabilmente domande di una nuova natura. Infatti, anche se si potrebbe integrare ogni equazione del primo ordine relativa ad una singola funzione, che sarebbe non essere sufficiente per ottenere l'integrale finale di un'equazione di qualsiasi ordine qualsiasi, in quanto ogni equazione differenziale non è riducibile a quella di un ordine immediatamente inferiore. Così, per esempio, se abbiamo dato alcun
dx (Py
rapporto tra x, y, - e . -R- per determinare un func
dy dx 1
zione y di una variabile x, non potrà dedurne immediatamente, dopo aver effettuato una prima integrazione, la
dy corrispondente rapporto differenziale tra x, y, e -,
da cui, da una seconda integrazione, potremmo risalire alle equazioni primitive. Questo non sarebbe necessariamente svolgersi, almeno senza introdurre nuove funzioni ausiliarie, a meno che il proposto equazione del secondo ordine non contiene la funzione richiesta y, insieme con i suoi derivati. Come principio generale, equazioni differenziali dovranno essere considerati presentando casi che sono sempre più implicito, in quanto sono di un ordine superiore, e che non può essere fatta dipendere da uno all'altro solo con metodi speciali, l'indagine di cui conseguentemente forma una nuova classe di domande, con ri
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SPECT a cui noi, come sappiamo ancora poco qualsiasi cosa, anche per le funzioni di una sola variabile. *
Un altro equivalente distinzione. Ancora più lontano, quando esaminiamo più profondamente questa distinzione di diversi ordini di equazioni differenziali, troviamo che esso può essere sempre fatta a venire sotto una distinzione generale finale, relativa alle equazioni differenziali, che rimane per essere notato. Equazioni differenziali con una o più variabili indipendenti possono contenere semplicemente una singola funzione, oppure (in un caso evidentemente più complicato e più implicito, che corrisponde alla differenziazione delle funzioni implicite simultanee) è possibile che sia determinare contemporaneamente diverse funzioni dal equazioni differenziali in cui si trovano uniti, insieme con i loro diversi derivati. È chiaro che un tale stato di questione presenta necessariamente una nuova difficoltà speciale, che di separare i diversi funzioni desiderate, formando per ciascuna, dalle equazioni differenziali proposti, un'equazione differenziale isolato che non contiene altre funzioni o loro derivati . Questo lavoro preliminare, che è analogo all'eliminazione di algebra, è evidentemente indispensabile prima di qualsiasi integrazione diretta, poiché non possiamo intraprendere generale (se non con artifici speciali che sono molto raramente applicabile) per determinare direttamente diverse funzioni distinte contemporaneamente.
Ora è facile stabilire l'esatta coincidenza e necessaria di questa nuova distinzione con il precedente quella rispettando l'ordine di equazioni differenziali. Sappiamo, infatti, che il metodo generale per funzioni isolare nelle equazioni differenziali simultanee consiste essenzialmente nella formazione di equazioni differenziali, separatamente per ogni funzione, e di un ordine pari alla somma di tutti quelli delle diverse equazioni proposti. Questa trasformazione può sempre essere effettuata. D'altra parte, ogni equazione differenziale di qualsiasi ordine in relazione ad una singola funzione può evidentemente essere sempre ridotto al primo ordine, introducendo un adeguato numero di equazioni differenziali ausiliari, contenente contemporaneamente i diversi derivati ??anteriori considerate nuove funzioni essere determinati. Questo metodo è, infatti, a volte stato effettivamente impiegato con successo, anche se non è quello naturale.
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* L'unico caso importante di questa classe, che è stato finora completamente trattata è l'integrazione generale dei lineari equazioni di qualsiasi ordine qualunque, a coefficienti costanti. Anche questo caso infine dipende dalla risoluzione algebrica delle equazioni di un grado uguale all'ordine di differenziazione.
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Ecco, dunque, sono due ordini necessariamente equivalenti di condizioni nella teoria generale di equazioni differenziali; la simultaneità di un numero maggiore o minore di funzioni, e la maggiore o minore dell'ordine di differenziazione di una singola funzione. Aumentando l'ordine delle equazioni differenziali, possiamo isolare tutte le funzioni; e, artificialmente moltiplicando il numero di funzioni, possiamo ridurre tutte le equazioni al primo ordine. Esiste, pertanto, in entrambi i casi, solo una e la stessa difficoltà da due diversi punti di vista. Ma, tuttavia possiamo concepire, questa nuova difficoltà è nondimeno reale, e costituisce nondimeno, per sua natura, una marcata separazione tra l'integrazione delle equazioni del primo ordine e che di equazioni di ordine superiore. Preferisco indicare la distinzione sotto quest'ultima forma come più semplice, più generale, e più logico.
Quadrature. Dalle considerazioni diverse che sono state indicate rispettando la dipendenza logica delle varie parti principali del calcolo integrale, vediamo che l'integrazione di formule differenziali esplicite del primo ordine e di una singola variabile è la base necessaria di tutte le altre integrazioni , che non riusciremo mai nell'effettuare ma finora come li riduciamo al caso elementare, evidentemente, l'unico che, per sua natura, è in grado di essere trattati direttamente. Questa semplice integrazione fondamentale è spesso indicato con il comodo espressione di quadrature, visto che ogni integrante di questo tipo, Sf (x) dx, può, infatti, essere considerato pari alla superficie di una curva, l'equazione di cui in co rettilinea -ordinates sarebbero i / f (x). Tale classe di domande corrisponde, nel calcolo differenziale, al caso elementare di differenziazione delle funzioni esplicite di una singola variabile. Ma la domanda integrale è, per sua natura, molto diverso complicato, e soprattutto molto più ampia rispetto alla domanda differenziale. Quest'ultimo è, infatti, necessariamente ridotta, come abbiamo visto, alla differenziazione delle dieci semplici funzioni, gli elementi di tutto che sono considerati nell'analisi. D'altra parte, l'integrazione di funzioni composti non necessariamente da quella dei semplici funzioni, ogni combinazione di cui può presentare particolari difficoltà rispetto al calcolo integrale. Risultati qui la portata naturalmente a tempo indeterminato, e il così vario complicazione della domanda di Quadra Tures, su cui, a dispetto di tutti gli sforzi di analisti, siamo ancora in possesso così poco conoscenza completa.
In decomposizione questa domanda, come è naturale, secondo le diverse forme che possono assumere il funzione derivata, distinguiamo il caso di algebriche funzioni e dei trascendentali funzioni.
L'integrazione dei trascendentali funzioni. L'integrazione veramente analitica di funzioni trascendenti è ancora molto poco avanzata, sia per esponenziale, o logaritmica, o circolari funzioni. Ma un numero molto limitato di casi di questi tre tipi sono ancora stati trattati, e quelli scelti tra le più semplici; e ancora i calcoli necessari sono nella maggior parte dei casi estremamente laboriosa. Una circostanza che dovremmo particolarmente notare nella sua connessione filosofica è che le diverse procedure di quadratura hanno alcuna relazione a qualsiasi vista generale di integrazione, e consistono di semplici artifici molto inccherent con l'altro, e molto numerosi, a causa del molto limitata misura di ciascuno.
Uno di questi artifici dovrebbe, tuttavia, qui essere notato che, senza essere in realtà un metodo di integrazione, è tuttavia notevole per la sua generalità; è il procedimento inventato da Jchn Bernoulli, e conosciuto sotto il nome di integrazione per parti, per mezzo del quale ogni integrale può essere ridotto ad un altro che a volte è risultato essere più facile da ottenere. Questa relazione ingegnoso merita di essere notato per un altro motivo, come aver suggerito la prima idea di quella trasformazione di integrali ancora sconosciute, che ha recentemente ricevuto una maggiore estensione, e di cui M. Fourier soprattutto ha fatto in modo nuovo e importante un utilizzo negli domande analitici prodotti dalla teoria di calore.
Integrazione di algebriche funzioni. Per quanto riguarda l'integrazione di funzioni algebriche, è più avanzata. Tuttavia, sappiamo appena qualche cosa in relazione irra funzioni aggiuntive, gli integrali dei quali sono stati ottenuti solo in casi estremamente limitati, in particolare rendendoli razionale. L'integrazione di funzioni razionali è finora l'unica teoria del calcolo integrale, che ha ammesso di essere trattati in modo veramente completo; in un punto logico di vista, si forma, quindi, la sua parte più soddisfacente, ma forse anche la meno importante. È anche essenziale osservazione, per havo una giusta idea di estrema imperfezione del calcolo integrale, che questo caso, limitata com'è, non è del tutto risolto tranne per quanto riguarda correttamente integrazione letta in modo astratto; per, in esecuzione, la teoria trova il suo progresso più frequentemente abbastanza fermato, indipendentemente della complicazione dei calcoli, dalla imperfezione di analisi ordinaria, visto che rende l'integrazione infine dipende dalla risoluzione algebrica delle equazioni, che limita notevolmente la sua uso.
Per comprendere in modo generale lo spirito delle diverse procedure che sono impiegati in quadrature, si deve osservare che, per loro natura, possono essere primitively fondate soltanto sulla differenziazione dei dieci semplici funzioni. I risultati di questo, al contrario considerati, stabilire come molti teoremi diretti del calcolo integrale, le sole che possono essere conosciuti direttamente. Tutta l'arte di integrazione successivamente consiste, come si è detto all'inizio di questo capitolo, nel ridurre tutti gli altri quadrature, per quanto possibile, a questo piccolo numero di elementari, che purtroppo siamo in molti casi incapaci di effetto .
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ragionamento, deve essere fondata sulla sola osservazione, e che costituiscono la base necessaria di tutte le deduzioni.
La superiorità scientifica della geometria deriva dai fenomeni che ritiene essere necessariamente la più universale e il più semplice di tutti. Non solo possono tutti 'i corpi di natura dar luogo a indagini geometriche, così come quelle meccaniche, ma ancora più lontano, fenomeni geometrico esisterebbe ancora, anche se tutte le parti del dell'universo dovrebbero essere considerati come beni. La geometria è quindi, per sua natura, più generale meccanica. Allo stesso tempo, i suoi fenomeni sono più semplici, perché sono evidentemente indipendenti di fenomeni meccanici, mentre questi ultimi sono sempre complicato con i primi. Le stesse relazioni valgono nel confronto con la geometria termologia astratto.
Per queste ragioni, nella nostra classificazione mettiamo geometria prima parte del calcestruzzo matematica ; quella parte dello studio di cui, oltre alla sua propria importanza, serve come base indispensabile di tutto il resto.
Prima di considerare direttamente lo studio filosofico di diversi ordini di richieste che costituiscono la nostra geometria attuale, dovremmo ottenere una idea chiara e precisa della destinazione generale di che la scienza, visto in tutte le sue cuscinetti. Tale è l'oggetto di questo capitolo.
. Definizione geometria viene comunemente definito in modo molto vago e del tutto impropria, come la scienza di estensione. Un miglioramento su questo sarebbe dire che la geometria ha per oggetto la misura di estensione; ma una tale spiegazione sarebbe molto insufficiente, anche se, in fondo, corretta, e sarebbe molto da dare qualche idea del vero carattere generale della scienza geometrica.
Per fare questo, penso che dovrei prima spiegare due divertenti fon- idee, che, molto semplice in se stessi, sono stati singolarmente oscurate con l'impiego di considerazioni metafisiche.
L' idea di spazio. La prima è quella di spazio. Questa concezione consiste propriamente semplicemente nel fatto che, invece di considerare l'estensione nei corpi stessi, l'abbiamo vista in un mezzo indefinito, che noi consideriamo come contenente tutti gli organi della dell'universo . Questa nozione è naturalmente suggerito da osservazione, quando pensiamo di l'impressione che un corpo avrebbe lasciato in un fluido in cui era stato collocato. È evidente, infatti, che, per quanto riguarda le sue relazioni geometriche, tale impressione può essere sostituito per il corpo stesso, senza alterare i ragionamenti rispetto esso. Per quanto riguarda la natura fisica di questo indefinito spazio, siamo spontaneamente portati a rappresentare a noi stessi, ad essere del tutto analogo al mezzo reale in cui viviamo; in modo che se questo mezzo era liquido invece di gassosa, nostro geometrico spazio sarebbe certamente essere concepito come liquida. Questa circostanza è, del resto, solo molto secondario, l'oggetto essenziale di tale concezione essendo solo per farci consideriamo estensione separatamente dai corpi che si manifestano a noi. Possiamo facilmente capire in anticipo l'importanza di questa immagine fondamentale, poiché ci permette di studiare fenomeni geometrico in sé, astrazione essendo fatto di tutti gli altri fenomeni che li accompagnano costantemente in corpi reali, senza howover, esercitare alcuna influenza su di loro. La creazione regolare di questa astrazione generale deve essere considerato come il primo passo che è stato fatto nello studio razionale della geometria, che sarebbe stato impossibile se fosse stato necessario prendere in considerazione, insieme con la forma e la grandezza dei corpi, tutta la loro altre proprietà fisiche. L'uso di una tale ipotesi, che è forse la più antica concezione filosofica creato dalla mente umana, è diventata così familiare a noi, che abbiamo difficoltà esattamente valutare la sua importanza, cercando di apprezzare le conseguenze che deriverebbero dalla sua soppressione.
Diversi tipi di estensione. La seconda concezione geometrica preliminare che dobbiamo esaminare è quella di diversi tipi di estensione, designati dalla parole di volume, di superficie, la linea, e anche il punto, e di cui la spiegazione ordinaria è così insoddisfacente. *
Anche se è evidentemente impossibile concepire qualsiasi estensione assolutamente priva di una qualsiasi delle tre dimensioni fondamentali, è altrettanto incontestabile che, in un gran numero di volte, anche di utilità immediata, domande geometrici dipendono solo due dimensioni, considerati separatamente dal il terzo, o in una sola dimensione, considerati separatamente dagli altri due. Ancora una volta, indipendentemente di questo motivo diretta, lo studio di estensione con una sola dimensione, e poi con due, si presenta chiaramente come un preliminare indispensabile per facilitare lo studio dei corpi completi di tre dimensioni, la teoria immediata di cui sarebbe troppo com * Lacroix giustamente criticato l'espressione di solido, comunemente usato dai geometri per designare un volume. è certo, infatti, che quando vogliamo considerare separatamente una certa porzione di spazio indefinito, concepito come gassosa, abbiamo mentalmente solidificare il suo involucro esterno, in modo che una linea ed una superficie sono abitualmente, alla nostra mente, proprio come solido come un volume. può anche essere osservato che la maggior parte in genere, in modo che i corpi possono penetrare l'un l'altro con più facilità, siamo obbligati ad immaginare l'interno di i volumi di essere vuota, che rende ancora più sensibile la scorrettezza della parola tolid.
complicata. Questi sono i due motivi generali che obbligano geometri considerare separatamente estensione con riferimento ad una o due dimensioni, nonché relativamente a tutti e tre insieme.
I concetti generali di superficie e di linea sono stati formati dalla mente umana, in modo che possa essere in grado di pensare, in modo permanente, di estensione in due direzioni, oppure in uno solo. Le espressioni iperboliche abitualmente impiegati da geometri per definire queste nozioni tendono a trasmettere false idee su di loro; ma, ha esaminato in se stessi, non hanno altro scopo che per permetterci di ragionare con facilità rispetto di questi due tipi di estensione, rendendo completa astrazione di ciò che non deve essere preso in considerazione. Ora per questo è sufficiente concepire la dimensione che si vuole eliminare per diventare gradualmente più piccola, gli altri due rimanenti stesso, fino ad arrivare ad un tale grado di tenuity che non può più fissare l'attenzione. È così che abbiamo naturalmente acquisire la vera idea di una superficie, e, da una seconda operazione analoga, l'idea di una linea, ripetendo per ampiezza quanto avevamo dapprima fatto per spessore. Infine, se ancora una volta ripetere la stessa operazione, arriviamo all'idea di un punto, o di una estensione considerato solo con riferimento al suo posto, l'astrazione di essere fatto di tutto grandezza, e di conseguenza progettato per determinare le posizioni.
Superfici evidentemente hanno inoltre la proprietà generale di volumi esattamente circoscrivono; e allo stesso modo, linee, a loro volta, circoscrivono superfici e sono limitate da punti. Ma questa considerazione, a cui troppa importanza è dato spesso, è soltanto uno secondario.
Superfici e linee sono, quindi, in realtà, sempre concepiti con tre dimensioni; sarebbe, infatti, impossibile rappresentare a se stessi una superficie altrimenti che come una piastra estremamente sottile, e una linea altrimenti che come un filo infinitamente bene. È anche evidente che il grado di tenuity attribuito ogni individuo alle dimensioni dei quali desidera fare astrazione non è sempre identica, perché deve dipendere dal grado di sottigliezza dei suoi abituali osservazioni geometriche. Questa mancanza di uniformità ha, inoltre, non inconveniente reale, in quanto è sufficiente, in modo che le idee di superficie e di linea dovrebbero soddisfare la condizione essenziale della loro destinazione, per ognuno di rappresentare a se stesso le dimensioni che devono essere trascurati come essere più piccolo di tutti coloro la cui grandezza della sua esperienza quotidiana gli dà modo di apprezzare.
Noi quindi vediamo come priva di ogni significato sono le fantastiche discussioni dei metafisici sulle fondamenta della geometria. Va anche osservato che queste idee primordiali sono abitualmente presentati dai geometri in maniera non filosofica, poiché, ad esempio, spiegano le nozioni di diversi tipi di misura in un ordine assolutamente l'inverso della loro dipendenza naturale, che produce spesso più gravi inconvenienti in istruzione elementare.
L'oggetto finale DI GEOMETRIA.
Questi preliminari essendo stabilito, si può procedere direttamente alla definizione generale di geometria, continuando a concepire questa scienza come avente per oggetto finale misura di estensione.
E 'necessario in questa materia per andare in un approfondito
.
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Singular Solutions. In questa enumerazione sistematica delle varie parti essenziali del calcolo integrale, considerati nelle loro relazioni logiche, ho designedly neg
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Leibniz così felicemente eseguito, mezzo secolo più tardi, dopo alcune modifiche intermedie delle idee di Fermat introdotte da Wallis, e ancora di più di Barrow; e lui è stato quindi il vero creatore di analisi trascendente, come ad esempio che oggi impieghiamo esso. Questa scoperta ammirevole era così maturo (come tutte le grandi concezioni del dell'intelletto umano al momento della loro manifestazione), che Newton, dal canto suo, era arrivato, allo stesso tempo, o poco prima, ad un metodo esattamente equivalente, considerando questa analisi in un punto molto diverso di vista, che, anche se più logico in sé, è davvero meno atto a dare al metodo fondamentale comune tutta la portata e la funzione che sono stati impartita ad esso dalle idee di Leibnitz. Infine, Lagrange, vengano meno le considerazioni eterogenei che avevano guidato Leibnitz e Newton, è riuscita a ridurre l'analisi trascendente, nella sua massima perfezione, a un sistema puramente algebrico, che vuole solo più attitudine per le sue applicazioni pratiche.
Dopo questo sommario sguardo alla storia generale del dell'analisi trascendente, si procederà alla esposizione dogmatica dei tre concetti principali, al fine di conoscere esattamente le loro proprietà caratteristiche, e di mostrare l'identità necessaria dei metodi che sono là derivati. Cominciamo con quello di Leibnitz.
METODO DI Leibnitz. Infinitamente piccoli elementi. Questo consiste nell'introdurre nel calcolo, al fine di facilitare la creazione di equazioni, gli infinitamente piccoli elementi di cui tutte le quantità, i rapporti tra le quali sono ricercati, sono considerati da comporre. Questi elementi o dif ferentials avranno certe relazioni fra loro, che sono sempre e necessariamente più semplice e facile da scoprire quelli dei quantitativi primitive, e mediante dei quali saranno abilitati (da un calcolo speciale avente per oggetto peculiare l'eliminazione di questi infinitesimi ausiliari) per tornare alle equazioni desiderati, che sarebbe stato più frequentemente impossibile da ottenere direttamente. Questa analisi indiretta può avere diversi gradi di indirectness; per, quando c'è troppa difficoltà nel formare immediatamente l'equazione tra i differenziali di grandezze considerate, una seconda applicazione del medesimo artifizio generale dovrà essere realizzato, e tali differenziali essere trattata, a loro volta, come nuove quantità primitive , e un rapporto ricercato tra loro elementi infinitamente piccoli (che, con riferimento agli oggetti finali della questione, sarà secondo differenziali), e così via; la stessa trasformazione ammettendo di essere ripetuto un numero di volte, a condizione di fine eliminando il numero sempre crescente di quantità infinitesimali introdotte come ausiliari.
Una persona non ancora familiarità con queste considerazioni non percepisce immediatamente come l'impiego di queste quantità ausiliari possono facilitare la scoperta delle leggi di analisi di fenomeni; per i infinitamente piccoli incrementi di grandezze previste sono delle stesse specie con loro, sembrerebbe che le loro relazioni non devono essere ottenuti con più facilità, in quanto il valore maggiore o minore di un quantitativo non può, infatti, esercitare alcuna influenza sulla un'indagine che è necessariamente indipendenti, per sua natura, di ogni idea di valore. Ma è facile, tuttavia, per spiegare molto chiaramente, e in modo del tutto generale, quanto la questione deve essere semplificata tale artifizio. A questo scopo, è necessario iniziare distinguere diversi ordini di infinitamente piccole quantità, una precisa idea di ottenibili considerandoli come sia le successive potenze della stessa primitiva infinitamente piccola quantità, o come quantitativi che possono essere considerati come aventi rapporti finiti con questi poteri; di modo che, per fare un esempio, il secondo, terzo, ecc, differenziali di qualsiasi variabile sono classificati come infinitamente piccole quantità di secondo ordine, il terzo, e c, perché è facile da scoprire in loro multipli finiti di secondo, terzo, (kc, poteri di un certo differenziale primo. Queste idee preliminari stanno costituendo, lo spirito della dell'analisi infinitesimale consiste nel trascurare costantemente le quantità infinitamente piccole in confronto con quantità finite, e generalmente i infinitamente piccole quantità di qualsiasi ordine qualunque rispetto con tutti quelli di ordine inferiore. è insieme evidente quanto una tale libertà deve facilitare la formazione delle equazioni tra i differenziali di quantità, poiché, al posto di questi differenziali, possiamo sostituire questi altri elementi come si può scegliere, e come sarà più semplice da considerare, solo avendo cura di conformarsi a questa sola condizione, che i nuovi elementi differiscono dai precedenti solo quantità infinitamente piccole in confronto con loro. È così che sarà possibile, in geometria, per trattare le linee curve come composto di un'infinità di elementi rettilinei, superfici curve come formata di elementi piani, e, in meccanica, movimenti variabili come una serie infinita di moti uniformi, riuscendo uno un altro a infinitamente piccoli intervalli di tempo.
Esempi. Considerando l'importanza di questa concezione ammirevole, penso che dovrei qui per completare l'illustrazione del suo carattere fondamentale dall'indicazione sintesi di alcuni esempi principali.
1. . Tangenti Let It Be necessari per determinare, per ogni punto di una curva piana, l'equazione di cui viene data, la direzione della sua tangente; una domanda la cui soluzione generale era l'oggetto primitivo dei i inventare ors di analisi trascendentale. Considereremo th tangente come secante unisce due punti infinitamente vicini l'uno all'altro; e poi, viene designato per dy e dx infinitamente piccole differenze di coordinate di questi due punti, i principi elementari di geometria saranno sorve
dy diatamente dare l'equazione t = -r- per la trigonometrica
tangente di angolo che è fatta con l'asse delle ascisse la tangente desiderata, essendo questo il modo più semplice di fissare la posizione in un sistema di rettilinei coordinate. Questa equazione, comune a tutte le curve, sia stabilita, la questione si riduce ad un semplice problema analitico, che consisterà nell'eliminare lo infinitesimi dx e dy, che sono stati introdotti come ausiliari, determinando in ciascun caso particolare, per mezzo di equazione della curva proposto, il rapporto di dy per dx, che sarà costantemente fatto da uniforme e metodi molto semplici. 2. Soluzione di un arco. In secondo luogo, supponiamo che vogliamo conoscere la lunghezza di arco di qualsiasi curva, considerata come una funzione delle coordinate di sue estremità. Sarebbe impossibile stabilire un'equazione direttamente THT tra questo arco s e queste coordinate, mentre è facile trovare il rapporto relativo tra i differenziali di queste diverse grandezze. I più semplici teoremi di geometria elementare saranno infatti dare in una sola volta, considerando i infinitamente piccolo arco ds come una linea a destra, le equazioni
ds t = dy t + dx \ o ds i = dx t + dy 1 J R dz t , a seconda che la curva è di curvatura singolo o doppio. In entrambi i casi, la questione è ora interamente all'interno del dominio di analisi, che, con l'eliminazione dei differenziali (che è l'oggetto peculiare del calcolo
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funzioni indiretti), ci porteranno indietro da questa relazione a quello che esiste tra le quantità finite stessi in esame.
3. Quadratura di una curva. Sarebbe lo stesso con la quadratura delle aree curvilinee. Se la curva è un piano uno, e di cui rettilinee coordinate, noi concepire l'area A compresa tra questa curva, l'asse delle ascisse, e due estremi coordinate, per aumentare di una quantità infinitamente piccola dA, come il risultato di un corrispondente incremento di ascissa. La relazione tra queste due differenziali può essere immediatamente ottenuta con grande facilità sostituendo l'elemento curvilineo della zona proposto rettangolo formato dalla estrema ordinata e l'elemento di ascisse, da cui evidentemente differisce solo per una quantità infinitamente piccola di il secondo ordine. In questo modo in una volta dare, qualunque sia la curva, il molto semplice equazione differenziale
dA. = YDX, dal quale, quando viene definita la curva, il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre l'equazione finita, che è l'oggetto immediato del problema.
4. Velocità in Variable movimento. Allo stesso modo, in Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.
5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.
Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.
E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.
Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per
Q
lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.
Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.
All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.
Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.
Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
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zione è senza dubbio strettamente sufficiente a dissipare ogni incertezza circa il legittimo impiego di analisi di Leibnitz. Ma il metodo infinitesimale è così importante, che offre ancora, in quasi tutte le sue applicazioni, una superiorità tale pratica negli altri concetti generali che sono stati successivamente proposti, che ci sarebbe stata una vera e propria imperfezione nel carattere filosofico della scienza se si potesse non giustificarsi, e aveva bisogno di essere logicamente fondata su considerazioni di un altro ordine, che sarebbe poi cessa di essere impiegato.
Era, quindi, di estrema importanza per stabilire direttamente e in maniera generale la necessaria razionalità del metodo infinitesimale. Dopo vari tentativi più o meno imperfetta, geometra distinta, Carnot, presentato finalmente la vera spiegazione logica diretta del metodo di Leibnitz, mostrando di essere fondato sul principio della necessaria compensazione di errori, questo essere, infatti, la manifestazione precisa e luminosa di ciò che Leibniz aveva vagamente e confusamente percepito. Carnot ha così reso la scienza un servizio essenziale, anche se, come vedremo verso la fine di questo capitolo, tutto questo impalcature logico del metodo infinitesimo, propriamente detta, è molto probabilmente suscettibile di soli esistenza provvisorio, in quanto è radicalmente vizioso nella sua natura. Tuttavia, non dobbiamo mancare di notare il sistema generale di ragionamento proposto da Carnot, al fine di legittima direttamente all'analisi di Leibnitz. Ecco la sostanza di esso:
Nello stabilire l'equazione differenziale di un fenomeno, sostituiamo, per gli elementi immediati di diverse grandezze considerate, altri infinitesimi più semplici, che differiscono da loro infinitamente piccolo in confronto con loro; e questa sostituzione costituisce l'artificio principale del metodo di Leibnitz, che senza di essa avrebbe posseduto reale impianto per la formazione di equazioni. Carnot riguarda tale ipotesi come realmente producendo un errore nell'equazione così ottenuta, e che per questo si chiama imperfetta , solo, è chiaro che questo errore deve essere infinitamente piccola. Ora, invece, tutte le operazioni di analisi, sia di differenziazione o di integrazione, che sono eseguiti su queste equazioni differenziali, al fine di sollevare le equazioni finite eliminando tutti gli infinitesimi introdotte come ausiliari, produrre costantemente , per loro natura, come è facilmente visibile, altri errori analoghi, in modo che una compensazione esatta avviene, e le equazioni finali, nelle parole di Carnot, diventa perfetta. visite Carnot, come indicazione certa ed invariabile della effettiva costituzione di questa compensazione necessaria, l'eliminazione completa dei vari infinitamente piccole quantità, che è sempre, infatti, l'oggetto finale di tutte le operazioni di analisi trascendente; perché se abbiamo commesso nessun altro infrazioni delle regole generali del ragionamento di quelli quindi preteso dalla natura stessa del metodo infinitesimale, gli infinitamente piccoli errori così prodotti non possono aver generato diverso infinitamente piccoli errori in tutte le equazioni, e le relazioni sono necessariamente di un'esattezza rigorosa appena esistono tra quantità finite sola, poiché i soli errori le possibili devono essere quelli finiti, mentre nessuno quali può essere inserito. Tutto questo ragionamento generale si fonda sulla concezione di quantità infinitesimali, considerato indefinitamente diminuendo, mentre quelli da cui sono derivati ??sono considerati fisso.
Illustrazione per tangenti. Così, per illustrare questa esposizione estratto da un solo esempio, prendiamo nuovamente la questione di tangenti, che è il più facile da un
dy alyze completamente. Noi considerare l'equazione t = -,
ottenuto sopra, come essere colpiti con un infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.
dy
t = -, dy-2axdx,
ascia
essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.
Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.
Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.
Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, che ho appositamente soffermati perché ammette di essere più facilmente comprensibile nel suo complesso, e il più rapidamente descritto.
METODO DI NEWTON.
Newton ha successivamente presentato il suo proprio metodo di concepire l'analisi trascendentale sotto diverse forme. Ciò che è attualmente il più comunemente adottata è stato designato da Newton, a volte sotto il nome del del metodo di primo e ultimo Ra tios, a volte sotto quella della il metodo di limiti.
Metodo di limiti. Lo spirito generale di analisi trascendente, da questo punto di vista, consiste nell'introdurre come ausiliari, al posto dei quantitativi primitive, o in concomitanza con essi, al fine di facilitare la creazione di equazioni, i limiti di della ra tios di incrementi simultanei di queste quantità; o, in altre parole, le finali rapporti di tali incrementi; limiti o rapporti finali che possono essere facilmente dimostrato di avere un determinato e valore finito. Un calcolo speciale, che è l'equivalente del calcolo infinitesimale, viene quindi impiegata per passare le equazioni tra questi limiti alle corrispondenti equazioni tra le quantità primitive stessi.
La potenza che è dato da una tale analisi, di esprimere con più facilità le leggi matematiche di fenomeni, dipende in generale su questo, che, poiché il calcolo si applica, non alle stesse incrementi delle quantità proposte, ma per i limiti di rapporti di tali incrementi, possiamo sempre sostituiamo per ogni incremento qualsiasi altra grandezza più facile da esaminare, a condizione che il loro rapporto finale è il rapporto di uguaglianza, o, in altre parole, che il limite del loro rapporto è unità. È evidente, infatti, che il calcolo dei limiti sarebbe in alcun modo limitati da questa sostituzione. Partendo da questo principio, troviamo quasi equivalente dei servizi offerti dall'analisi di Leibnitz, che vengono poi semplicemente concepiti sotto un altro punto di vista. Così curve vengono considerati come i limiti di una serie di poligoni rettilinei, moti variabili come i limiti di una raccolta di moti uniformi di durate costantemente decrescenti, e così via.
. Esempi 1. . Tangenti Supponiamo, per esempio, che vogliamo determinare la direzione della tangente ad una curva; considereremo come il limite verso che tenderebbe a secante, che dovrebbe ruotare attorno al punto in modo che il secondo punto di intersezione debba indefinitamente avvicinarsi alla prima. Rappresentando le differenze di coordinate dei due punti di Ay e Ax, avremmo in ogni istante, per la tangente trigonometrica del dell'angolo che la secante forma con l'asse di ascisse,
Ay Ax ! Da cui, prendendo i limiti, si otterrà, relativamente alla tangente in sé, questa formula generale di analisi trascendente, ._. Ay
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la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente
Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo
- = + 2AX AAX.
ASCIA
Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:
\ AX / \ AX /
\ AX / \ AXJ \ AX /
secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.
Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.
Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.
Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.
Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il fluxion delle ascisse saremo costante, come l'elemento di tempo; per tutte le altre quantità generate, il movimento non può essere concepito per essere uniforme, ad eccezione di un infinitamente piccolo tempo. Ora la velocità essendo in generale secondo la sua concezione meccanica, il rapporto di ogni spazio al tempo impiegato in attraversarlo, e questa volta essere qui proporzionale all'incremento di ascissa, ne consegue che la flussioni di dell'ordinata, della dell'arco , della zona, ecc, sono davvero niente altro (respingendo l'esame intermedio di tempo) rispetto ai rapporti finali di incrementi di queste quantità diverse per l'incremento delle ascisse. Questo metodo di flussioni e fluenti è, quindi, in realtà, solo un modo di rappresentare, da un confronto in prestito dalla meccanica, il metodo di rapporti di primi e ultimi, che sola può essere ridotto a un calcolo. È evidente, quindi, offre gli stessi vantaggi generali in varie applicazioni principali di analisi trascendente, senza che sia necessario presentare prove speciali di questo.
[grafico]
METODO DI Lagrange.
Derivati ??funzioni. La concezione di Lagrange, nella sua semplicità ammirevole, consiste nel rappresentare l'analisi trascendente come un grande artifizio algebraio, per cui, al fine di facilitare la creazione di equazioni, si introduce, in luogo delle funzioni primitive, o contemporaneamente con loro, loro derivati ??funzioni; cioè, secondo la definizione di Lagrange, il coefficiente del primo termine del dell'incremento di ciascuna funzione, disposte secondo i poteri ascendenti del l'incremento della sua variabile. La speciale calcolo di funzioni indirette ha per oggetto costante, anche qui, come nelle concezioni di Leibnitz e di Newton, per eliminare questi derivati ??che sono stati quindi impiegati come ausiliari, al fine di dedurre dalle loro relazioni corrispondenti equazioni tra il primitivo grandezze.
Una estensione di ordinaria Analisi. L'analisi trascendentale è, dunque, nient'altro che un semplice anche se molto notevole estensione di analisi comune. Geometri sono stati a lungo abituati ad introdurre nelle indagini analitiche, al posto delle grandezze stessi che desideravano studiare, loro differenti potenze, o loro logaritmi, o loro seni, ec, per semplificare le equazioni, e anche per ottenerli più facilmente. Questa successiva derivazione è un artificio della stessa natura, solo di maggiore estensione, e procurarsi, di conseguenza, molto più importante delle risorse per questo oggetto comune.
Ma, anche se facilmente si può concepire, un priori, che la considerazione ausiliario di questi derivati ??può FA cilitare la creazione di equazioni, non è facile spiegare perché questo deve necessariamente seguire questa modalità di derivazione piuttosto che da qualsiasi altra trasformazione. Tale è il punto debole della grande idea di Lagrange. I vantaggi precisi di questa analisi non possono ancora essere afferrati in modo astratto, ma mostrati solo considerando separatamente ciascuna questione principale, in modo che la verifica è spesso estremamente laborioso.
Esempio. Tangenti. Questo modo di concepire l'analisi trascendente può essere meglio illustrata dalla sua applicazione alla più semplice dei problemi sopra esaminati, cioè di tangenti.
Invece di concepire tangente come il prolungamento della infinitamente piccolo elemento di curva, secondo il concetto di Leibnitz, o come il limite delle le secanti, secondo le idee di Newton-Lagrange ritiene, secondo il suo carattere semplice geometrica, analoga alle definizioni di antichi, per essere una linea retta tale che nessuna altra linea destra può passare attraverso il punto di contatto tra essa e la curva. Quindi, per determinare la sua direzione, dobbiamo cercare l'espressione generale della sua distanza dalla curva, misurata in qualsiasi direzione qualunque-in che del ordinata, per esempio, e disporre della costante arbitraria relativa alla inclinazione della linea di destra, che necessariamente entrare in tale espressione, in modo tale da diminuire la separazione il più possibile. Ora questa distanza, essendo evidentemente pari alla differenza delle due coordinate della curva e della linea di destra, che corrispondono allo stesso nuovo ascissa x + h, sarà rappresentato dalla formula
(FHX) -t) h + QH, i + rh, 3 + etc, in cui t indica, come sopra, la trigonomet sconosciuta
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tangente Rical del dell'angolo che la riga desiderata forma con l'asse di ascisse, e f '{x) la funzione derivata della ordinata f (x). Questo fermo restando, è facile vedere che, disponendo di t modo per fare il primo termine della formula precedente uguale a zero, noi rendere l'intervallo tra le due linee il meno possibile, in modo che qualsiasi altra linea for'Which t non aveva il valore così determinato necessariamente discostarsi più lontano dalla curva proposta . Abbiamo, quindi, per la direzione della tangente ricercato, l'espressione generale t = f '(x), un risultato esattamente equivalenti a quelle fornite dal metodo infinitesimale e il metodo di limiti. Dobbiamo ancora trovare f '(x) in ciascuna curva particolare, che è una semplice questione di analisi, del tutto identica a quelli che sono presentati, in questa fase delle operazioni, con gli altri metodi. Dopo queste considerazioni al momento i principali concetti generali, non dobbiamo fermarci ad esaminare alcune altre teorie proposte, come ad esempio di Eulero Calcolo di Vanishing quantità, che sono davvero modificazioni più o meno importanti, e, inoltre, non sono più utilizzati -di metodi precedenti .
Devo ora di stabilire il confronto e l'apprezzamento di questi tre metodi fondamentali. La loro per fetto e necessaria la conformità è il primo ad essere provata in modo generale.
Identità fondamentale DEI TRE METODI.
È, in primo luogo, risulta da quanto precede, considerando questi tre metodi come la loro destinazione effettiva, indipendentemente delle loro idee preliminari, che tutti consistono nello stesso artifici logico generale, che è stato caratterizzato nel primo capitolo; cioè, l' introduzione di un certo sistema di grandezze ausiliarie, avere rapporti uniformi a quelle che sono gli oggetti speciali di dell'indagine, e sostituiti loro espressamente per facilitare l'espressione analitica delle leggi matematiche dei fenomeni, anche se hanno infine essere eliminati con l'aiuto di un calcolo speciale. È questo che mi ha determinato per definire regolarmente all'analisi trascendente come il calcolo della indiretti FUNC zioni, per marcare il suo vero carattere filosofica, allo stesso tempo evitando ogni discussione sul miglior modo di concepire e applicazione. L'effetto generale di questa analisi, qualunque sia il metodo impiegato, è, quindi, per portare ogni domanda matematica molto più rapidamente all'interno del potere di l' calcolo, e quindi di diminuire notevolmente la grave difficoltà che di solito è presentato dal passaggio dal concreto l'astratto. Qualunque sia il progresso noi possiamo fare, non possiamo mai sperare che il calcolo sarà mai in grado di cogliere tutte le domande di natura filosofia, geometrica, o meccanico, o thermological, ecc, immediatamente dopo la sua nascita, il che, evidentemente, comporta una contraddizione. Ogni problema sarà costantemente richiederà un certo lavoro preliminare da eseguire, in cui il calcolo può essere di alcun aiuto, e che, per sua natura, non può essere sottoposto a regole astratte e invariabili; è quella che ha per oggetto speciale la creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati ??equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.
Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati ??FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile
per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel
dx
Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come
Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange
ASCIA
indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.
VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.
Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.
Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di
H
equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.
Filosofia della matematica...Filosofia della matesis...metafisica della mathesix...creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati ??equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.
Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati ??FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile
per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel
dx
Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come
Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange
ASCIA
indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.
VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.
Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.
Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di
H
equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.
Giacinto.
Libri
Filosofia della matematica
Book costruzioni nello spazio sono generalmente preferibili come più diretta. Era per arredare mezzo generale per effettuare sempre tale trasformazione che descrittive geometria è stata creata e formata in un sistema distinto e omogenea, dalla illustre Monge. Ha inventato, in primo luogo, un metodo uniforme di rappresentare corpi da figure tracciata su un unico piano, con l'aiuto delle proiezioni su due piani diversi, generalmente perpendicolari tra loro, e uno dei quali si suppone ruotare attorno loro intersezione comune in modo da coincidere con l'altra prodotta; in questo sistema, o in qualsiasi altro equivalente ad esso, è sufficiente considerare punti e linee come determinato dalle loro proiezioni e superfici dalle proiezioni delle loro generatrici. Questa viene stabilita, Monge-analisi con profonda sagacia i vari lavori parziali di questo tipo che era stato prima eseguito da un certo numero di procedure inconguous, e considerando anche, in modo generale e diretto, in quanto tutte le domande di questa natura devono consist- hanno trovato che potrebbero sempre essere ridotte ad un numero molto piccolo di invariabili problemi astratti, in grado di essere risolti separatamente, una volta per tutte, mediante operazioni uniformi, relativi essenzialmente alcuni per i contatti e altri alle intersezioni di superfici. Metodi semplici e del tutto generali per la soluzione grafica di questi due ordini di problemi essendo state formate, tutte le questioni geometriche che possono sorgere in una qualsiasi delle varie arti di costruzione-pietra-taglio, carpenteria, prospettiva, composizione, fortifioation, e c-CAN ormai essere trattati come semplici casi particolari di una singola teoria, l'applicazione invariabile di cui sarà sempre necessariamente portare ad una soluzione esatta, che può essere facilitato in pratica beneficiare delle circostanze creazione importante merita in un notevole grado di fissare l'attenzione di quei filosofi che considerano tutto ciò che la specie umana ha ancora effettuato come primo passo, e finora il solo e davvero completa, verso quel rinnovamento generale delle fatiche umane, che deve imprimere tutti i nostri arti un carattere di precisione e di razionalità, così necessarie per il loro futuro progresso. Tale rivoluzione deve, infatti, inizia inevitabilmente con quella classe di lavori industriali, che è essenzialmente connessa con quella scienza che è la più semplice, la più perfetta, e il più antico. Esso non può non estendersi seguito, anche se con minore facilità, a tutte le altre operazioni pratiche. Infatti Monge stesso, che ha concepito la vera filosofia delle arti meglio di chiunque altro, ha cercato di delineare un sistema corrispondente per le arti meccaniche.
Essenziale come la concezione della geometria descrittiva è davvero, è molto importante non ingannare noi stessi rispetto alla sua vera destinazione, così come coloro che, nella concitazione della sua prima scoperta, ha visto in esso un mezzo di ampliare il dominio generale e astratto di geometria razionale. Il risultato non ha in alcun modo risposto a queste speranze sbagliate. E, in effetti, non è evidente che la geometria descrittiva ha valore speciale tranne quanto scienza di applicazione e come formanti la vera teoria speciale delle arti geometriche? Considerata nelle sue relazioni astratte, non potrebbe introdurre un ordine veramente distinta di speculazioni geometriche. Non dobbiamo dimenticare che, in modo che una domanda geometrico dovrebbero rientrare nel particolare dominio di geometria descrittiva, deve necessariamente essere stata precedentemente risolto dalla geometria speculativa, le soluzioni di che poi, come abbiamo visto, sempre bisogno di essere preparati per pratica in modo tale da fornire il luogo delle costruzioni in rilievo di costruzioni aereo; un cambio che costituisce davvero l'unica funzione caratteristica di geometria descrittiva.
Occorre, tuttavia, qui rimarcare che, per quanto riguarda la formazione intellettuale, lo studio della geometria descrittiva possiede un importante peculiarità filosofica, del tutto indipendente della sua elevata industriale di utilità. Questo è il vantaggio che offre in habitu così preminentemente dall'uso della mente di prendere in considerazione le combinazioni geometriche molto complesse nello spazio, e di seguire con precisione la loro corrispondenza continua con le figure che sono in realtà tracciati -Di esercitando così al massimo, in il più sicuro e preciso modo, così importante facoltà della mente umana, che è propriamente chiamato "immaginazione", e che consiste, nella sua accezione elementare e positivo, nel rappresentare a noi stessi, in modo chiaro e facilmente, una vasta e variabile collezione di oggetti ideali , come se fossero realmente dinanzi a noi.
Infine, per completare l'indicazione delle caratteristiche generali della geometria descrittiva determinandone il carattere logico, dobbiamo osservare che, mentre appartiene alla geometria di antichi dal carattere di soluzioni, dall'altro si avvicina la geometria di i moderni per la natura delle domande che compongono. Queste domande sono infatti eminentemente notevole per quel generalità che, come abbiamo visto nel capitolo precedente, costituisce il vero carattere fondamentale della geometria moderna; per i metodi utilizzati sono sempre concepiti come applicabile alle cifre qualsiasi, la peculiarità di ciascuno con soltanto un'influenza puramente secondario. Le soluzioni di geometria descrittiva sono poi grafica, come la maggior parte di quelli di antichi, e allo stesso tempo generale, come quelli dei moderni.
Dopo questa importante digressione, si proseguirà l'esame filosofica di speciale geometria, sempre considerato come ridotto al suo sviluppo meno possibile, come introduzione indispensabile generale geometria. Abbiamo ora considerato sufficientemente la grafica soluzione del problema fondamentale relativo alla linea destra -cioè, la determinazione dei diversi elementi di qualsiasi figura destro allineato mediante di un l'altro e sono ora ad esaminare in modo specialesto tipo di soluzione, la superiorità evidente di che non devono qui essere abitavate, appartiene necessariamente, per la natura stessa della domanda, al sistema di antica geometria, sebbene il metodo logico che viene impiegato fa essere generalmente, ma molto impropriamente, separata da esso. Abbiamo così la possibilità di verificare, in un rispetto molto importante, quanto stabilito generalmente nel capitolo precedente, che non è dall'impiego di calcolo che la geometria moderna è essenzialmente distinta dalla antica. Gli antichi sono infatti i veri inventori della presente trigonometria sferica e rettilinea; essendo solo molto meno perfetto nelle loro mani, a causa della estrema inferiorità della loro conoscenza algebrico. E ', dunque, proprio in questo capitolo, e non, come potrebbe in un primo momento essere pensato, in quelli che vedremo in seguito dedicare all'esame filosofica del genere geometria, che è corretto considerare il carattere di questa importante teoria preliminare, che di solito è, anche se in modo non corretto, incluso in quello che viene chiamato analitica geometria, ma che in realtà è solo un complemento di elementare geometria propriamente detta.
Dal momento che tutte le figure di destra-allineati possono essere scomposti in triangoli, è evidentemente sufficiente sapere come determinare i diversi elementi di un triangolo
grazie gp
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