Georges Cuvier, Catastrophes:
Filosofia della matematica
Filosofia della matematica dall'essere crea là Leibnitz. Infinitamente crea infinitameventità infinitesimessere realizzato, e tali differenziali essere trattata, a loro volta, come nuove quantità primitive , e un rapporto ricercato tra loro elementi infinitamente piccoli (che, con riferimento agli oggetti finali della questione, sarà secondo differenziali), e così via; la stessa trasformazione ammettendo di essere ripetuto un numero di volte, a condizione di fine eliminando il numero sempre crescente di quantità infinitesimali introdotte come ausiliari.
Una persona non ancora familiarità con queste considerazioni non percepisce immediatamente come l'impiego di queste quantità ausiliari possono facilitare la scoperta delle leggi di analisi di fenomeni; per i infinitamente piccoli incrementi di grandezze previste sono delle stesse specie con loro, sembrerebbe che le loro relazioni non devono essere ottenuti con più facilità, in quanto il valore maggiore o minore di un quantitativo non può, infatti, esercitare alcuna influenza sulla un'indagine che è necessariamente indipendenti, per sua natura, di ogni idea di valore. Ma è facile, tuttavia, per spiegare molto chiaramente, e in modo del tutto generale, quanto la questione deve essere semplificata tale artifizio. A questo scopo, è necessario iniziare distinguere diversi ordini di infinitamente piccole quantità, una precisa idea di ottenibili considerandoli come sia le successive potenze della stessa primitiva infinitamente piccola quantità, o come quantitativi che possono essere considerati come aventi rapporti finiti con questi poteri; di modo che, per fare un esempio, il secondo, terzo, ecc, differenziali di qualsiasi variabile sono classificati come infinitamente piccole quantità di secondo ordine, il terzo, e c, perché è facile da scoprire in loro multipli finiti di secondo, terzo, (kc, poteri di un certo differenziale primo. Queste idee preliminari stanno costituendo, lo spirito della dell'analisi infinitesimale consiste nel trascurare costantemente le quantità infinitamente piccole in confronto con quantità finite, e generalmente i infinitamente piccole quantità di qualsiasi ordine qualunque rispetto con tutti quelli di ordine inferiore. è insieme evidente quanto una tale libertà deve facilitare la formazione delle equazioni tra i differenziali di quantità, poiché, al posto di questi differenziali, possiamo sostituire questi altri elementi come si può scegliere, e come sarà più semplice da considerare, solo avendo cura di conformarsi a questa sola condizione, che i nuovi elementi differiscono dai precedenti solo quantità infinitamente piccole in confronto con loro. È così che sarà possibile, in geometria, per trattare le linee curve come composto di un'infinità di elementi rettilinei, superfici curve come formata di elementi piani, e, in meccanica, movimenti variabili come una serie infinita di moti uniformi, riuscendo uno un altro a infinitamente piccoli intervalli di tempo.
Esempi. Considerando l'importanza di questa concezione ammirevole, penso che dovrei qui per completare l'illustrazione del suo carattere fondamentale dall'indicazione sintesi di alcuni esempi principali.
1. . Tangenti Let It Be necessari per determinare, per ogni punto di una curva piana, l'equazione di cui viene data, la direzione della sua tangente; una domanda la cui soluzione generale era l'oggetto primitivo dei i inventare ors di analisi trascendentale. Considereremo th tangente come secante unisce due punti infinitamente vicini l'uno all'altro; e poi, viene designato per dy e dx infinitamente piccole differenze di coordinate di questi due punti, i principi elementari di geometria saranno sorve
dy diatamente dare l'equazione t = -r- per la trigonometrica
tangente di angolo che è fatta con l'asse delle ascisse la tangente desiderata, essendo questo il modo più semplice di fissare la posizione in un sistema di rettilinei coordinate. Questa equazione, comune a tutte le curve, sia stabilita, la questione si riduce ad un semplice problema analitico, che consisterà nell'eliminare lo infinitesimi dx e dy, che sono stati introdotti come ausiliari, determinando in ciascun caso particolare, per mezzo di equazione della curva proposto, il rapporto di dy per dx, che sarà costantemente fatto da uniforme e metodi molto semplici. 2. Soluzione di un arco. In secondo luogo, supponiamo che vogliamo conoscere la lunghezza di arco di qualsiasi curva, considerata come una funzione delle coordinate di sue estremità. Sarebbe impossibile stabilire un'equazione direttamente THT tra questo arco s e queste coordinate, mentre è facile trovare il rapporto relativo tra i differenziali di queste diverse grandezze. I più semplici teoremi di geometria elementare saranno infatti dare in una sola volta, considerando i infinitamente piccolo arco ds come una linea a destra, le equazioni
ds t = dy t + dx \ o ds i = dx t + dy 1 J R dz t , a seconda che la curva è di curvatura singolo o doppio. In entrambi i casi, la questione è ora interam
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zione è senza dubbio strettamente sufficiente a dissipare ogni incertezza circa il legittimo impiego di analisi di Leibnitz. Ma il metodo infinitesimale è così importante, che offre ancora, in quasi tutte le sue applicazioni, una superiorità tale pratica negli altri concetti generali che sono stati successivamente proposti, che ci sarebbe stata una vera e propria imperfezione nel carattere filosofico della scienza se si potesse non giustificarsi, e aveva bisogno di essere logicamente fondata su considerazioni di un altro ordine, che sarebbe poi cessa di essere impiegato.
Era, quindi, di estrema importanza per stabilire direttamente e in maniera generale la necessaria razionalità del metodo infinitesimale. Dopo vari tentativi più o meno imperfetta, geometra distinta, Carnot, presentato finalmente la vera spiegazione logica diretta del metodo di Leibnitz, mostrando di essere fondato sul principio della necessaria compensazione di errori, questo essere, infatti, la manifestazione precisa e luminosa di ciò che Leibniz aveva vagamente e confusamente percepito. Carnot ha così reso la scienza un servizio essenziale, anche se, come vedremo verso la fine di questo capitolo, tutto questo impalcature logico del metodo infinitesimo, propriamente detta, è molto probabilmente suscettibile di soli esistenza provvisorio, in quanto è radicalmente vizioso nella sua natura. Tuttavia, non dobbiamo mancare di notare il sistema generale di ragionamento proposto da Carnot, al fine di legittima direttamente all'analisi di Leibnitz. Ecco la sostanza di esso:
Nello stabilire l'equazione differenziale di un fenomeno, sostituiamo, per gli elementi immediati di diverse grandezze considerate, altri infinitesimi più semplici, che differiscono da loro infinitamente piccolo in confronto con loro; e questa sostituzione costituisce l'artificio principale del metodo di Leibnitz, che senza di essa avrebbe posseduto reale impianto per la formazione di equazioni. Carnot riguarda tale ipotesi come realmente producendo un errore nell'equazione così ottenuta, e che per questo si chiama imperfetta , solo, è chiaro che questo errore deve essere infinitamente piccola. Ora, invece, tutte le operazioni di analisi, sia di differenziazione o di integrazione, che sono eseguiti su queste equazioni differenziali, al fine di sollevare le equazioni finite eliminando tutti gli infinitesimi introdotte come ausiliari, produrre costantemente , per loro natura, come è facilmente visibile, altri errori analoghi, in modo che una compensazione esatta avviene, e le equazioni finali, nelle parole di Carnot, diventa perfetta. visite Carnot, come indicazione certa ed invariabile della effettiva costituzione di questa compensazione necessaria, l'eliminazione completa dei vari infinitamente piccole quantità, che è sempre, infatti, l'oggetto finale di tutte le operazioni di analisi trascendente; perché se abbiamo commesso nessun altro infrazioni delle regole generali del ragionamento di quelli quindi preteso dalla natura stessa del metodo infinitesimale, gli infinitamente piccoli errori così prodotti non possono aver generato diverso infinitamente piccoli errori in tutte le equazioni, e le relazioni sono necessariamente di un'esattezza rigorosa appena esistono tra quantità finite sola, poiché i soli errori le possibili devono essere quelli finiti, mentre nessuno quali può essere inserito. Tutto questo ragionamento generale si fonda sulla concezione di quantità infinitesimali, considerato indefinitamente diminuendo, mentre quelli da cui sono derivati ??sono considerati fisso.
Illustrazione per tangenti. Così, per illustrare questa esposizione estratto da un solo esempio, prendiamo nuovamente la questione di tangenti, che è il più facile da un
dy alyze completamente. Noi considerare l'equazione t = -,
ottenuto sopra, come essere colpiti con un infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.
dy
t = -, dy-2axdx,
ascia
essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.
Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.
Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.
Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, che ho appositamente soffermati perché ammette di essere più facilmente comprensibile nel suo complesso, e il più rapidamente descritto.
METODO DI NEWTON.
Newton ha successivamente presentato il suo proprio metodo di concepire l'analisi trascendentale sotto diverse forme. Ciò che è attualmente il più comunemente adottata è stato designato da Newton, a volte sotto il nome del del metodo di primo e ultimo Ra tios, a volte sotto quella della il metodo di limiti.
Metodo di limiti. Lo spirito generale di analisi trascendente, da questo punto di vista, consiste nell'introdurre come ausiliari, al posto dei quantitativi primitive, o in concomitanza con essi, al fine di facilitare la creazione di equazioni, i limiti di della ra tios di incrementi simultanei di queste quantità; o, in altre parole, le finali rapporti di tali incrementi; limiti o rapporti finali che possono essere facilmente dimostrato di avere un determinato e valore finito. Un calcolo speciale, che è l'equivalente del calcolo infinitesimale, viene quindi impiegata per passare le equazioni tra questi limiti alle corrispondenti equazioni tra le quantità primitive stessi.
La potenza che è dato da una tale analisi, di esprimere con più facilità le leggi matematiche di fenomeni, dipende in generale su questo, che, poiché il calcolo si applica, non alle stesse incrementi delle quantità proposte, ma per i limiti di rapporti di tali incrementi, possiamo sempre sostituiamo per ogni incremento qualsiasi altra grandezza più facile da esaminare, a condizione che il loro rapporto finale è il rapporto di uguaglianza, o, in altre parole, che il limite del loro rapporto è unità. È evidente, infatti, che il calcolo dei limiti sarebbe in alcun modo limitati da questa sostituzione. Partendo da questo principio, troviamo quasi equivalente dei servizi offerti dall'analisi di Leibnitz, che vengono poi semplicemente concepiti sotto un altro punto di vista. Così curve vengono considerati come i limiti di una serie di poligoni rettilinei, moti variabili come i limiti di una raccolta di moti uniformi di durate costantemente decrescenti, e così via.
. Esempi 1. . Tangenti Supponiamo, per esempio, che vogliamo determinare la direzione della tangente ad una curva; considereremo come il limite verso che tenderebbe a secante, che dovrebbe ruotare attorno al punto in modo che il secondo punto di intersezione debba indefinitamente avvicinarsi alla prima. Rappresentando le differenze di coordinate dei due punti di Ay e Ax, avremmo in ogni istante, per la tangente trigonometrica del dell'angolo che la secante forma con l'asse di ascisse,
Ay Ax ! Da cui, prendendo i limiti, si otterrà, relativamente alla tangente in sé, questa formula generale di analisi trascendente, ._. Ay
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funzioni indiretti), ci porteranno indietro da questa relazione a quello che esiste tra le quantità finite stessi in esame.
3. Quadratura di una curva. Sarebbe lo stesso con la quadratura delle aree curvilinee. Se la curva è un piano uno, e di cui rettilinee coordinate, noi concepire l'area A compresa tra questa curva, l'asse delle ascisse, e due estremi coordinate, per aumentare di una quantità infinitamente piccola dA, come il risultato di un corrispondente incremento di ascissa. La relazione tra queste due differenziali può essere immediatamente ottenuta con grande facilità sostituendo l'elemento curvilineo della zona proposto rettangolo formato dalla estrema ordinata e l'elemento di ascisse, da cui evidentemente differisce solo per una quantità infinitamente piccola di il secondo ordine. In questo modo in una volta dare, qualunque sia la curva, il molto semplice equazione differenziale
dA. = YDX, dal quale, quando viene definita la curva, il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre l'equazione finita, che è l'oggetto immediato del problema.
4. Velocità in Variable movimento. Allo stesso modo, in Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.
5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.
Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.
E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.
Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per
Q
lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.
Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.
All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.
Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.
Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
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la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente
Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo
- = + 2AX AAX.
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Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:
\ AX / \ AX /
\ AX / \ AXJ \ AX /
secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.
Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.
Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.
Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.
Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il flux
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