Filosofia della matematica dall'essere
Giacinto
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che è, al contrario, la caratteristica principale della nostra analisi trascendente. In una parola, restava ancora il compito di generalizzare i concetti utilizzati dagli antichi, e, più in particolare, considerando in modo puramente astratto, di ridurre ad un sistema completo di calcolo, che per loro era impossibile.
La prima idea che è stato prodotto in questa nuova direzione risale al grande geometra Fermat, quale Lagrange ha giustamente presentato come aver bloccato la formazione diretta di analisi trascendente dal suo metodo per la determinazione di massimi e minimi, e per il reperimento di tangenti, che consisteva essenzialmente nell'introdurre considerazione ausiliario di incrementi correlative delle variabili proposti, incrementi dopo soppressi pari a zero quando le equazioni avevano subito alcune opportune trasformazioni. Ma, anche se Fermat è stato il primo a concepire questa analisi in modo veramente astratta, era ancora lontano dall'essere formata regolarmente in un calcolo generale e distinto con la propria notazione, e soprattutto liberato dalla superflucus considerazione dei termini che, nell'analisi di Fermat, non sono stati infine presi in conto, dopo aver tuttavia notevolmente complicati tutte le operazioni con la loro presenza. Questo è ciò che Leibniz così felicemente eseguito, mezzo secolo più tardi, dopo alcune modifiche intermedie delle idee di Fermat introdotte da Wallis, e ancora di più di Barrow; e lui è stato quindi il vero creatore di analisi trascendente, come ad esempio che oggi impieghiamo esso. Questa scoperta ammirevole era così maturo (come tutte le grandi concezioni del dell'intelletto umano al momento della loro manifestazione), che Newton, dal canto suo, era arrivato, allo stesso tempo, o poco prima, ad un metodo esattamente equivalente, considerando questa analisi in un punto molto diverso di vista, che, anche se più logico in sé, è davvero meno atto a dare al metodo fondamentale comune tutta la portata e la funzione che sono stati impartita ad esso dalle idee di Leibnitz. Infine, Lagrange, vengano meno le considerazioni eterogenei che avevano guidato Leibnitz e Newton, è riuscita a ridurre l'analisi trascendente, nella sua massima perfezione, a un sistema puramente algebrico, che vuole solo più attitudine per le sue applicazioni pratiche.
Dopo questo sommario sguardo alla storia generale del dell'analisi trascendente, si procederà alla esposizione dogmatica dei tre concetti principali, al fine di conoscere esattamente le loro proprietà caratteristiche, e di mostrare l'identità necessaria dei metodi che sono là derivati. Cominciamo con quello di Leibnitz.
METODO DI Leibnitz. Infinitamente piccoli elementi. Questo consiste nell'introdurre nel calcolo, al fine di facilitare la creazione di equazioni, gli infinitamente piccoli elementi di cui tutte le quantità, i rapporti tra le quali sono ricercati, sono considerati da comporre. Questi elementi o dif ferentials avranno certe relazioni fra loro, che sono sempre e necessariamente più semplice e facile da scoprire quelli dei quantitativi primitive, e mediante dei quali saranno abilitati (da un calcolo speciale avente per oggetto peculiare l'eliminazione di questi infinitesimi ausiliari) per tornare alle equazioni desiderati, che sarebbe stato più frequentemente impossibile da ottenere direttamente. Questa analisi indiretta può avere diversi gradi di indirectness; per, quando c'è troppa difficoltà nel formare immediatamente l'equazione tra i differenziali di grandezze considerate, una seconda applicazione del medesimo artifizio generale dovrà essere realizzato, e tali differenziali essere trattata, a loro volta, come nuove quantità primitive , e un rapporto ricercato tra loro elementi infinitamente piccoli (che, con riferimento agli oggetti finali della questione, sarà secondo differenziali), e così via; la stessa trasformazione ammettendo di essere ripetuto un numero di volte, a condizione di fine eliminando il numero sempre crescente di quantità infinitesimali introdotte come ausiliari.
Una persona non ancora familiarità con queste considerazioni non percepisce immediatamente come l'impiego di queste quantità ausiliari possono facilitare la scoperta delle leggi di analisi di fenomeni; per i infinitamente piccoli incrementi di grandezze previste sono delle stesse specie con loro, sembrerebbe che le loro relazioni non devono essere ottenuti con più facilità, in quanto il valore maggiore o minore di un quantitativo non può, infatti, esercitare alcuna influenza sulla un'indagine che è necessariamente indipendenti, per sua natura, di ogni idea di valore. Ma è facile, tuttavia, per spiegare molto chiaramente, e in modo del tutto generale, quanto la questione deve essere semplificata tale artifizio. A questo scopo, è necessario iniziare distinguere diversi ordini di infinitamente piccole quantità, una precisa idea di ottenibili considerandoli come sia le successive potenze della stessa primitiva infinitamente piccola quantità, o come quantitativi che possono essere considerati come aventi rapporti finiti con questi poteri; di modo che, per fare un esempio, il secondo, terzo, ecc, differenziali di qualsiasi variabile sono classificati come infinitamente piccole quantità di secondo ordine, il terzo, e c, perché è facile da scoprire in loro multipli finiti di secondo, terzo, (kc, poteri di un certo differenziale primo. Queste idee preliminari stanno costituendo, lo spirito della dell'analisi infinitesimale consiste nel trascurare costantemente le quantità infinitamente piccole in confronto con quantità finite, e generalmente i infinitamente piccole quantità di qualsiasi ordine qualunque rispetto con tutti quelli di ordine inferiore. è insieme evidente quanto una tale libertà deve facilitare la formazione delle equazioni tra i differenziali di quantità, poiché, al posto di questi differenziali, possiamo sostituire questi altri elementi come si può scegliere, e come sarà più semplice da considerare, solo avendo cura di conformarsi a questa sola condizione, che i nuovi elementi differiscono dai precedenti solo quantità infinitamente piccole in confronto con loro. È così che sarà possibile, in geometria, per trattare le linee curve come composto di un'infinità di elementi rettilinei, superfici curve come formata di elementi piani, e, in meccanica, movimenti variabili come una serie infinita di moti uniformi, riuscendo uno un altro a infinitamente piccoli intervalli di tempo.
Esempi. Considerando l'importanza di questa concezione ammirevole, penso che dovrei qui per completare l'illustrazione del suo carattere fondamentale dall'indicazione sintesi di alcuni esempi principali.
1. . Tangenti Let It Be necessari per determinare, per ogni punto di una curva piana, l'equazione di cui viene data, la direzione della sua tangente; una domanda la cui soluzione generale era l'oggetto primitivo dei i inventare ors di analisi trascendentale. Considereremo th tangente come secante unisce due punti infinitamente vicini l'uno all'altro; e poi, viene designato per dy e dx infinitamente piccole differenze di coordinate di questi due punti, i principi elementari di geometria saranno sorve
dy diatamente dare l'equazione t = -r- per la trigonometrica
tangente di angolo che è fatta con l'asse delle ascisse la tangente desiderata, essendo questo il modo più semplice di fissare la posizione in un sistema di rettilinei coordinate. Questa equazione, comune a tutte le curve, sia stabilita, la questione si riduce ad un semplice problema analitico, che consisterà nell'eliminare lo infinitesimi dx e dy, che sono stati introdotti come ausiliari, determinando in ciascun caso particolare, per mezzo di equazione della curva proposto, il rapporto di dy per dx, che sarà costantemente fatto da uniforme e metodi molto semplici. 2. Soluzione di un arco. In secondo luogo, supponiamo che vogliamo conoscere la lunghezza di arco di qualsiasi curva, considerata come una funzione delle coordinate di sue estremità. Sarebbe impossibile stabilire un'equazione direttamente THT tra questo arco s e queste coordinate, mentre è facile trovare il rapporto relativo tra i differenziali di queste diverse grandezze. I più semplici teoremi di geometria elementare saranno infatti dare in una sola volta, considerando i infinitamente piccolo arco ds come una linea a destra, le equazioni
ds t = dy t + dx \ o ds i = dx t + dy 1 J R dz t , a seconda che la curva è di curvatura singolo o doppio. In entrambi i casi, la questione è ora interam
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zione è senza dubbio strettamente sufficiente a dissipare ogni incertezza circa il legittimo impiego di analisi di Leibnitz. Ma il metodo infinitesimale è così importante, che offre ancora, in quasi tutte le sue applicazioni, una superiorità tale pratica negli altri concetti generali che sono stati successivamente proposti, che ci sarebbe stata una vera e propria imperfezione nel carattere filosofico della scienza se si potesse non giustificarsi, e aveva bisogno di essere logicamente fondata su considerazioni di un altro ordine, che sarebbe poi cessa di essere impiegato.
Era, quindi, di estrema importanza per stabilire direttamente e in maniera generale la necessaria razionalità del metodo infinitesimale. Dopo vari tentativi più o meno imperfetta, geometra distinta, Carnot, presentato finalmente la vera spiegazione logica diretta del metodo di Leibnitz, mostrando di essere fondato sul principio della necessaria compensazione di errori, questo essere, infatti, la manifestazione precisa e luminosa di ciò che Leibniz aveva vagamente e confusamente percepito. Carnot ha così reso la scienza un servizio essenziale, anche se, come vedremo verso la fine di questo capitolo, tutto questo impalcature logico del metodo infinitesimo, propriamente detta, è molto probabilmente suscettibile di soli esistenza provvisorio, in quanto è radicalmente vizioso nella sua natura. Tuttavia, non dobbiamo mancare di notare il sistema generale di ragionamento proposto da Carnot, al fine di legittima direttamente all'analisi di Leibnitz. Ecco la sostanza di esso:
Nello stabilire l'equazione differenziale di un fenomeno, sostituiamo, per gli elementi immediati di diverse grandezze considerate, altri infinitesimi più semplici, che differiscono da loro infinitamente piccolo in confronto con loro; e questa sostituzione costituisce l'artificio principale del metodo di Leibnitz, che senza di essa avrebbe posseduto reale impianto per la formazione di equazioni. Carnot riguarda tale ipotesi come realmente producendo un errore nell'equazione così ottenuta, e che per questo si chiama imperfetta , solo, è chiaro che questo errore deve essere infinitamente piccola. Ora, invece, tutte le operazioni di analisi, sia di differenziazione o di integrazione, che sono eseguiti su queste equazioni differenziali, al fine di sollevare le equazioni finite eliminando tutti gli infinitesimi introdotte come ausiliari, produrre costantemente , per loro natura, come è facilmente visibile, altri errori analoghi, in modo che una compensazione esatta avviene, e le equazioni finali, nelle parole di Carnot, diventa perfetta. visite Carnot, come indicazione certa ed invariabile della effettiva costituzione di questa compensazione necessaria, l'eliminazione completa dei vari infinitamente piccole quantità, che è sempre, infatti, l'oggetto finale di tutte le operazioni di analisi trascendente; perché se abbiamo commesso nessun altro infrazioni delle regole generali del ragionamento di quelli quindi preteso dalla natura stessa del metodo infinitesimale, gli infinitamente piccoli errori così prodotti non possono aver generato diverso infinitamente piccoli errori in tutte le equazioni, e le relazioni sono necessariamente di un'esattezza rigorosa appena esistono tra quantità finite sola, poiché i soli errori le possibili devono essere quelli finiti, mentre nessuno quali può essere inserito. Tutto questo ragionamento generale si fonda sulla concezione di quantità infinitesimali, considerato indefinitamente diminuendo, mentre quelli da cui sono derivati ??sono considerati fisso.
Illustrazione per tangenti. Così, per illustrare questa esposizione estratto da un solo esempio, prendiamo nuovamente la questione di tangenti, che è il più facile da un
dy alyze completamente. Noi considerare l'equazione t = -,
ottenuto sopra, come essere colpiti con un infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.
dy
t = -, dy-2axdx,
ascia
essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.
Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.
Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.
Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, che ho appositamente soffermati perché ammette di essere più facilmente comprensibile nel suo complesso, e il più rapidamente descritto.
METODO DI NEWTON.
Newton ha successivamente presentato il suo proprio metodo di concepire l'analisi trascendentale sotto diverse forme. Ciò che è attualmente il più comunemente adottata è stato designato da Newton, a volte sotto il nome del del metodo di primo e ultimo Ra tios, a volte sotto quella della il metodo di limiti.
Metodo di limiti. Lo spirito generale di analisi trascendente, da questo punto di vista, consiste nell'introdurre come ausiliari, al posto dei quantitativi primitive, o in concomitanza con essi, al fine di facilitare la creazione di equazioni, i limiti di della ra tios di incrementi simultanei di queste quantità; o, in altre parole, le finali rapporti di tali incrementi; limiti o rapporti finali che possono essere facilmente dimostrato di avere un determinato e valore finito. Un calcolo speciale, che è l'equivalente del calcolo infinitesimale, viene quindi impiegata per passare le equazioni tra questi limiti alle corrispondenti equazioni tra le quantità primitive stessi.
La potenza che è dato da una tale analisi, di esprimere con più facilità le leggi matematiche di fenomeni, dipende in generale su questo, che, poiché il calcolo si applica, non alle stesse incrementi delle quantità proposte, ma per i limiti di rapporti di tali incrementi, possiamo sempre sostituiamo per ogni incremento qualsiasi altra grandezza più facile da esaminare, a condizione che il loro rapporto finale è il rapporto di uguaglianza, o, in altre parole, che il limite del loro rapporto è unità. È evidente, infatti, che il calcolo dei limiti sarebbe in alcun modo limitati da questa sostituzione. Partendo da questo principio, troviamo quasi equivalente dei servizi offerti dall'analisi di Leibnitz, che vengono poi semplicemente concepiti sotto un altro punto di vista. Così curve vengono considerati come i limiti di una serie di poligoni rettilinei, moti variabili come i limiti di una raccolta di moti uniformi di durate costantemente decrescenti, e così via.
. Esempi 1. . Tangenti Supponiamo, per esempio, che vogliamo determinare la direzione della tangente ad una curva; considereremo come il limite verso che tenderebbe a secante, che dovrebbe ruotare attorno al punto in modo che il secondo punto di intersezione debba indefinitamente avvicinarsi alla prima. Rappresentando le differenze di coordinate dei due punti di Ay e Ax, avremmo in ogni istante, per la tangente trigonometrica del dell'angolo che la secante forma con l'asse di ascisse,
Ay Ax ! Da cui, prendendo i limiti, si otterrà, relativamente alla tangente in sé, questa formula generale di analisi trascendente, ._. Ay
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funzioni indiretti), ci porteranno indietro da questa relazione a quello che esiste tra le quantità finite stessi in esame.
3. Quadratura di una curva. Sarebbe lo stesso con la quadratura delle aree curvilinee. Se la curva è un piano uno, e di cui rettilinee coordinate, noi concepire l'area A compresa tra questa curva, l'asse delle ascisse, e due estremi coordinate, per aumentare di una quantità infinitamente piccola dA, come il risultato di un corrispondente incremento di ascissa. La relazione tra queste due differenziali può essere immediatamente ottenuta con grande facilità sostituendo l'elemento curvilineo della zona proposto rettangolo formato dalla estrema ordinata e l'elemento di ascisse, da cui evidentemente differisce solo per una quantità infinitamente piccola di il secondo ordine. In questo modo in una volta dare, qualunque sia la curva, il molto semplice equazione differenziale
dA. = YDX, dal quale, quando viene definita la curva, il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre l'equazione finita, che è l'oggetto immediato del problema.
4. Velocità in Variable movimento. Allo stesso modo, in Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.
5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.
Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.
E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.
Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per
Q
lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.
Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.
All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.
Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.
Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
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la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente
Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo
- = + 2AX AAX.
ASCIA
Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:
\ AX / \ AX /
\ AX / \ AXJ \ AX /
secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.
Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.
Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.
Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.
Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il fluxion delle ascisse saremo costante, come l'elemento di tempo; per tutte le altre quantità generate, il movimento non può essere concepito per essere uniforme, ad eccezione di un infinitamente piccolo tempo. Ora la velocità essendo in generale secondo la sua concezione meccanica, il rapporto di ogni spazio al tempo impiegato in attraversarlo, e questa volta essere qui proporzionale all'incremento di ascissa, ne consegue che la flussioni di dell'ordinata, della dell'arco , della zona, ecc, sono davvero niente altro (respingendo l'esame intermedio di tempo) rispetto ai rapporti finali di incrementi di queste quantità diverse per l'incremento delle ascisse. Questo metodo di flussioni e fluenti è, quindi, in realtà, solo un modo di rappresentare, da un confronto in prestito dalla meccanica, il metodo di rapporti di primi e ultimi, che sola può essere ridotto a un calcolo. È evidente, quindi, offre gli stessi vantaggi generali in varie applicazioni principali di analisi trascendente, senza che sia necessario presentare prove speciali di questo.
[grafico]
METODO DI Lagrange.
Derivati ??funzioni. La concezione di Lagrange, nella sua semplicità ammirevole, consiste nel rappresentare l'analisi trascendente come un grande artifizio algebraio, per cui, al fine di facilitare la creazione di equazioni, si introduce, in luogo delle funzioni primitive, o contemporaneamente con loro, loro derivati ??funzioni; cioè, secondo la definizione di Lagrange, il coefficiente del primo termine del dell'incremento di ciascuna funzione, disposte secondo i poteri ascendenti del l'incremento della sua variabile. La speciale calcolo di funzioni indirette ha per oggetto costante, anche qui, come nelle concezioni di Leibnitz e di Newton, per eliminare questi derivati ??che sono stati quindi impiegati come ausiliari, al fine di dedurre dalle loro relazioni corrispondenti equazioni tra il primitivo grandezze.
Una estensione di ordinaria Analisi. L'analisi trascendentale è, dunque, nient'altro che un semplice anche se molto notevole estensione di analisi comune. Geometri sono stati a lungo abituati ad introdurre nelle indagini analitiche, al posto delle grandezze stessi che desideravano studiare, loro differenti potenze, o loro logaritmi, o loro seni, ec, per semplificare le equazioni, e anche per ottenerli più facilmente. Questa successiva derivazione è un artificio della stessa natura, solo di maggiore estensione, e procurarsi, di conseguenza, molto più importante delle risorse per questo oggetto comune.
Ma, anche se facilmente si può concepire, un priori, che la considerazione ausiliario di questi derivati ??può FA cilitare la creazione di equazioni, non è facile spiegare perché questo deve necessariamente seguire questa modalità di derivazione piuttosto che da qualsiasi altra trasformazione. Tale è il punto debole della grande idea di Lagrange. I vantaggi precisi di questa analisi non possono ancora essere afferrati in modo astratto, ma mostrati solo considerando separatamente ciascuna questione principale, in modo che la verifica è spesso estremamente laborioso.
Esempio. Tangenti. Questo modo di concepire l'analisi trascendente può essere meglio illustrata dalla sua applicazione alla più semplice dei problemi sopra esaminati, cioè di tangenti.
Invece di concepire tangente come il prolungamento della infinitamente piccolo elemento di curva, secondo il concetto di Leibnitz, o come il limite delle le secanti, secondo le idee di Newton-Lagrange ritiene, secondo il suo carattere semplice geometrica, analoga alle definizioni di antichi, per essere una linea retta tale che nessuna altra linea destra può passare attraverso il punto di contatto tra essa e la curva. Quindi, per determinare la sua direzione, dobbiamo cercare l'espressione generale della sua distanza dalla curva, misurata in qualsiasi direzione qualunque-in che del ordinata, per esempio, e disporre della costante arbitraria relativa alla inclinazione della linea di destra, che necessariamente entrare in tale espressione, in modo tale da diminuire la separazione il più possibile. Ora questa distanza, essendo evidentemente pari alla differenza delle due coordinate della curva e della linea di destra, che corrispondono allo stesso nuovo ascissa x + h, sarà rappresentato dalla formula
(FHX) -t) h + QH, i + rh, 3 + etc, in cui t indica, come sopra, la trigonomet sconosciuta
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Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo
- = + 2AX AAX.
ASCIA
Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:
\ AX / \ AX /
\ AX / \ AXJ \ AX /
secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.
Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.
Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.
Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.
Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il fluxion delle ascisse saremo costante, come l'elemento di tempo; per tutte le altre quantità generate, il movimento non può essere concepito per essere uniforme, ad eccezione di un infinitamente piccolo tempo. Ora la velocità essendo in generale secondo la sua concezione meccanica, il rapporto di ogni spazio al tempo impiegato in attraversarlo, e questa volta essere qui proporzionale all'incremento di ascissa, ne consegue che la flussioni di dell'ordinata, della dell'arco , della zona, ecc, sono davvero niente altro (respingendo l'esame intermedio di tempo) rispetto ai rapporti finali di incrementi di queste quantità diverse per l'incremento delle ascisse. Questo metodo di flussioni e fluenti è, quindi, in realtà, solo un modo di rappresentare, da un confronto in prestito dalla meccanica, il metodo di rapporti di primi e ultimi, che sola può essere ridotto a un calcolo. È evidente, quindi, offre gli stessi vantaggi generali in varie applicazioni principali di analisi trascendente, senza che sia necessario presentare prove speciali di questo.
[grafico]
METODO DI Lagrange.
Derivati ??funzioni. La concezione di Lagrange, nella sua semplicità ammirevole, consiste nel rappresentare l'analisi trascendente come un grande artifizio algebraio, per cui, al fine di facilitare la creazione di equazioni, si introduce, in luogo delle funzioni primitive, o contemporaneamente con loro, loro derivati ??funzioni; cioè, secondo la definizione di Lagrange, il coefficiente del primo termine del dell'incremento di ciascuna funzione, disposte secondo i poteri ascendenti del l'incremento della sua variabile. La speciale calcolo di funzioni indirette ha per oggetto costante, anche qui, come nelle concezioni di Leibnitz e di Newton, per eliminare questi derivati ??che sono stati quindi impiegati come ausiliari, al fine di dedurre dalle loro relazioni corrispondenti equazioni tra il primitivo grandezze.
Una estensione di ordinaria Analisi. L'analisi trascendentale è, dunque, nient'altro che un semplice anche se molto notevole estensione di analisi comune. Geometri sono stati a lungo abituati ad introdurre nelle indagini analitiche, al posto delle grandezze stessi che desideravano studiare, loro differenti potenze, o loro logaritmi, o loro seni, ec, per semplificare le equazioni, e anche per ottenerli più facilmente. Questa successiva derivazione è un artificio della stessa natura, solo di maggiore estensione, e procurarsi, di conseguenza, molto più importante delle risorse per questo oggetto comune.
Ma, anche se facilmente si può concepire, un priori, che la considerazione ausiliario di questi derivati ??può FA cilitare la creazione di equazioni, non è facile spiegare perché questo deve necessariamente seguire questa modalità di derivazione piuttosto che da qualsiasi altra trasformazione. Tale è il punto debole della grande idea di Lagrange. I vantaggi precisi di questa analisi non possono ancora essere afferrati in modo astratto, ma mostrati solo considerando separatamente ciascuna questione principale, in modo che la verifica è spesso estremamente laborioso.
Esempio. Tangenti. Questo modo di concepire l'analisi trascendente può essere meglio illustrata dalla sua applicazione alla più semplice dei problemi sopra esaminati, cioè di tangenti.
Invece di concepire tangente come il prolungamento della infinitamente piccolo elemento di curva, secondo il concetto di Leibnitz, o come il limite delle le secanti, secondo le idee di Newton-Lagrange ritiene, secondo il suo carattere semplice geometrica, analoga alle definizioni di antichi, per essere una linea retta tale che nessuna altra linea destra può passare attraverso il punto di contatto tra essa e la curva. Quindi, per determinare la sua direzione, dobbiamo cercare l'espressione generale della sua distanza dalla curva, misurata in qualsiasi direzione qualunque-in che del ordinata, per esempio, e disporre della costante arbitraria relativa alla inclinazione della linea di destra, che necessariamente entrare in tale espressione, in modo tale da diminuire la separazione il più possibile. Ora questa distanza, essendo evidentemente pari alla differenza delle due coordinate della curva e della linea di destra, che corrispondono allo stesso nuovo ascissa x + h, sarà rappresentato dalla formula
(FHX) -t) h + QH, i + rh, 3 + etc, in cui t indica, come sopra, la trigonomet sconosciuta
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tangente Rical del dell'angolo che la riga desiderata forma con l'asse di ascisse, e f '{x) la funzione derivata della ordinata f (x). Questo fermo restando, è facile vedere che, disponendo di t modo per fare il primo termine della formula precedente uguale a zero, noi rendere l'intervallo tra le due linee il meno possibile, in modo che qualsiasi altra linea for'Which t non aveva il valore così determinato necessariamente discostarsi più lontano dalla curva proposta . Abbiamo, quindi, per la direzione della tangente ricercato, l'espressione generale t = f '(x), un risultato esattamente equivalenti a quelle fornite dal metodo infinitesimale e il metodo di limiti. Dobbiamo ancora trovare f '(x) in ciascuna curva particolare, che è una semplice questione di analisi, del tutto identica a quelli che sono presentati, in questa fase delle operazioni, con gli altri metodi. Dopo queste considerazioni al momento i principali concetti generali, non dobbiamo fermarci ad esaminare alcune altre teorie proposte, come ad esempio di Eulero Calcolo di Vanishing quantità, che sono davvero modificazioni più o meno importanti, e, inoltre, non sono più utilizzati -di metodi precedenti .
Devo ora di stabilire il confronto e l'apprezzamento di questi tre metodi fondamentali. La loro per fetto e necessaria la conformità è il primo ad essere provata in modo generale.
Identità fondamentale DEI TRE METODI.
È, in primo luogo, risulta da quanto precede, considerando questi tre metodi come la loro destinazione effettiva, indipendentemente delle loro idee preliminari, che tutti consistono nello stesso artifici logico generale, che è stato caratterizzato nel primo capitolo; cioè, l' introduzione di un certo sistema di grandezze ausiliarie, avere rapporti uniformi a quelle che sono gli oggetti speciali di dell'indagine, e sostituiti loro espressamente per facilitare l'espressione analitica delle leggi matematiche dei fenomeni, anche se hanno infine essere eliminati con l'aiuto di un calcolo speciale. È questo che mi ha determinato per definire regolarmente all'analisi trascendente come il calcolo della indiretti FUNC zioni, per marcare il suo vero carattere filosofica, allo stesso tempo evitando ogni discussione sul miglior modo di concepire e applicazione. L'effetto generale di questa analisi, qualunque sia il metodo impiegato, è, quindi, per portare ogni domanda matematica molto più rapidamente all'interno del potere di l' calcolo, e quindi di diminuire notevolmente la grave difficoltà che di solito è presentato dal passaggio dal concreto l'astratto. Qualunque sia il progresso noi possiamo fare, non possiamo mai sperare che il calcolo sarà mai in grado di cogliere tutte le domande di natura filosofia, geometrica, o meccanico, o thermological, ecc, immediatamente dopo la sua nascita, il che, evidentemente, comporta una contraddizione. Ogni problema sarà costantemente richiederà un certo lavoro preliminare da eseguire, in cui il calcolo può essere di alcun aiuto, e che, per sua natura, non può essere sottoposto a regole astratte e invariabili; è quella che ha per oggetto speciale la creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati ??equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.
Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati ??FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile
per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel
dx
Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come
Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange
ASCIA
indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.
VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.
Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.
Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di
H
equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.
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CAPITOLO IV.
IL calcolo differenziale e integrale.
Le sue due divisioni fondamentali.
Il calcolo del indiretti funzioni, secondo le considerazioni spiegato nel capitolo precedente, è necessariamente diviso in due parti (o, più correttamente, viene scomposto in due differenti calcoli completamente distinte, anche se intimamente collegata per loro natura), secondo che è proposto per trovare le relazioni tra le grandezze ausiliarie (l'introduzione del che costituisce lo spirito generale di questo calcolo) per mezzo delle relazioni tra i corrispondenti grandezze primitive; o, al contrario, per cercare di scoprire queste equazioni diretti mediante delle equazioni indiretti originariamente stabiliti. Tale è, infatti, costantemente il duplice scopo di analisi trascendente.
Questi due sistemi hanno ricevuto nomi diversi, a seconda del punto di vista sotto il quale tale analisi è stata considerata. Il metodo infinitesimo, propriamente detta, essendo stato il più comunemente impiegato per le ragioni che sono state date, quasi tutti i geometri utilizzano abitualmente le denominazioni di Differen ziale calcolo e di integrale Calcolo, stabilito da Leibnitz, e quali sono, in realtà, molto conseguenze razionali della sua concezione. Newton, in accordo con il suo metodo, chiamato il primo il calcolo delle flussioni, e il secondo il calcolo di fluenti, espressioni che erano comunemente impiegati in Inghilterra. Infine, seguire ing teoria eminentemente filosofica fondata da Lagrange, si sarebbe chiamato il calcolo delle derivate funzioni, e l'altro il calcolo delle primitive funzioni. Continuerò a fare uso dei termini di Leibnitz, come più conveniente per la formazione di espressioni secondarie, anche se ho dovuto, secondo le proposte formulate nel capitolo precedente, di impiegare contemporaneamente tutte le diverse concezioni, si avvicina il più possibile a quella di Lagrange.
Le loro relazioni con l'altro.
Il calcolo differenziale è evidentemente la base logica del calcolo integrale; perché non lo facciamo e non possiamo sapere come integrare direttamente eventuali altre espressioni differenziali rispetto a quelli prodotti dalla differenziazione delle dieci semplici funzioni che costituiscono gli elementi generali della nostra analisi. L'arte di integrazione consiste, quindi, essenzialmente nel portare tutti gli altri casi, per quanto possibile, di dipendere finalmente solo questo piccolo numero di integrazioni fondamentali.
Nel considerare l'intero corpo del dell'analisi trascendente, come ho caratterizzato nel capitolo precedente, non è in prima evidente quale può essere l'utilità peculiare del calcolo differenziale, indipendentemente di questo rapporto necessario con il calcolo integrale, che sembra se deve essere, di per sé, l'unico direttamente indispensabile. Infatti, l'eliminazione dei i infinitesimi o dei i derivati, introdotto come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni, costituendo, come abbiamo visto, l'oggetto finale ed invariabile di calcolo di funzioni indirette, è naturale pensare che il calcolo che insegna come dedurre dalle equazioni tra queste grandezze ausiliari, quelli che esistono tra le grandezze primitive stessi, dovrebbe rigorosamente bastare per i bisogni generali di analisi trascendentale senza il nostro percepire, a prima vista, che cosa speciale e parte costante della soluzione della domanda inversa può avere in tale analisi. Sarebbe un errore reale, anche se un comune, da assegnare al calcolo differenziale, per spiegare la sua peculiare, dirette e influenza necessaria, la destinazione di formare le equazioni differenziali, da cui il calcolo integrale poi ci consente di arrivare le equazioni finite; per la formazione primitiva di equazioni differenziali non è e non può essere propriamente, l'oggetto di qualsiasi calcolo, poiché, al contrario, si forma per sua natura indispensabile punto di partenza di qualsiasi calcolo qualunque. Come, in particolare, potrebbe calcolo differenziale, che di per sé è ridotto ad insegnare i mezzi di differenziare le diverse equazioni, una procedura generale adottata per stabilire loro? Ciò che in ogni applicazione di analisi trascendente realmente facilita la formazione di equazioni, è infinitesimale metodo, e non il infinitesimo calcolo, che è perfettamente distinto da essa, anche se è il suo complemento indispensabile. Tale considerazione sarebbe, quindi, dare una falsa idea di destinazione speciale che caratterizza il calcolo differenziale nel sistema generale di analisi trascendente.
Ma dobbiamo comunque molto imperfettamente concepire il vero peculiare importanza di questo primo ramo di calcolo di funzioni indiretti, se abbiamo visto in esso un semplice lavoro preliminare, non avendo altro oggetto generale ed essenziale che per preparare basi indispensabili per il calcolo integrale. Come le idee su questo argomento sono generalmente confusi, penso che dovrei qui a spiegare in maniera sommaria questa importante relazione, come ho vista, e per dimostrare che in tutte le applicazioni di analisi trascendente un primario, diretta, e parte necessaria è costantemente assegnato al calcolo differenziale.
1. Uso della il differenziale calcolo come preparazione per quella del l' integrale. Nel formare le equazioni differenziali di ogni fenomeno qualunque, è molto raro che ci limitiamo introdurre differenzialmente solo le grandezze cui relazioni sono ricercati. Per imporre tale condizione sarebbe diminuire inutilmente le risorse presentate dall'analisi trascendente per l'espressione delle leggi matematiche di fenomeni. Più frequentemente si introducono nelle equazioni primitive, attraverso i loro differenziali, altre grandezze cui relazioni sono già noti o suppone che sia così, e senza la considerazione di cui sarebbe spesso impossibile stabilire le equazioni. Così, per esempio, nel problema generale della rettifica di curve, l'equazione differenziale,
ds t = dy * + dx t , o ds t = dx t + dy t + dz 2 , non è solo stabilito tra la variabile indipendente funzione desiderata s e x, a cui si riferisce, ma, al tempo stesso, vi sono stati introdotti, come intermediari indispensabili, i differenziali di uno o due altre funzioni, y , z, che sono tra i dati del problema; non sarebbe stato possibile formare direttamente l'equazione tra ds e dx, che, inoltre, essere peculiare di ogni curva considerato. È lo stesso per la maggior parte delle domande. Ora, in questi casi è evidente che l'equazione differenziale non è immediatamente adatto per l'integrazione. È precedenza necessario che l'differiscono entials delle funzioni supposti essere conosciuto, che sono stati impiegati come intermediari, dovrebbe essere completamente eliminato, in modo che le equazioni possono essere ottenute fra i differenziali di funzioni che sola ricercate e quelle del realmente il variabili indipendenti, dopo di che la domanda dipende solo il calcolo integrale. Ora questa eliminazione preparatoria di taluni differenziali, al fine di ridurre gli infinitesimi al minor numero possibile, appartiene semplicemente calcolo differenziale; perché deve evidentemente essere fatto determinando, mediante delle equazioni tra le funzioni supposti essere conosciuto, presi come intermediari, i rapporti dei loro differenziali, che è solo una domanda di differenziazione. Così, per esempio, nel caso di rettifiche, sarà prima necessario calcolare dy, o dy e dz, differenziando l'equazione o le equazioni di ciascuna curva proposti; dopo aver eliminato queste espressioni, la formula differenziale generale sopra enunciata conterrà quindi solo ds e dx ; essere arrivati ??a questo punto, l'eliminazione dei infinitesimi può essere completata solo dal calcolo integrale.
Tale è, poi, l'Ufficio Generale necessariamente appartenente al calcolo differenziale nella soluzione completa delle questioni che esatto l'impiego di analisi trascendente; per produrre, per quanto possibile, l'eliminazione di infinitesimi, che è, per ridurre in ogni caso le equazioni differenziali primitive in modo che essi contengono soltanto le differenze delle variabili realmente indipendenti, e quelli delle funzioni ricercata, provocando a scomparire, per eliminazione, i differenziali di tutte le altre funzioni note che possono essere presi come intermediari al momento della formazione del l'differiscono
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ential equations of the problem which is under consideration.
2. Employment of the Differential Calculus alone. For certain questions, which, although few in number, have none the less, as we shall see hereafter, a very great importance, the magnitudes which are sought enter directly, and not by their differentials, into the primitive differential equations, which then contain differentially only the different known functions employed as intermediaries, in accordance with the preceding explanation. These cases are the most favourable of all; for it is evident that the differential calculus is then entirely sufficient for the complete elimination of the infinitesimals, without the question giving rise to any integration. This is what occurs, for example, in the problem of tangents in geometry; in that of velocities in mechanics, &c
3. Employment of the Integral Calculus alone. Finally, some other questions, the number of which is also very small, but the importance of which is no less great, present a second exceptional case, which is in its nature exactly the converse of the preceding. They are those in which the differential equations are found to be immediately ready for integration, because they contain, at their first formation, only the infinitesimals which relate to the functions sought, or to the really independent variables, without its being necessary to introduce, differentially, other functions as intermediaries. If in these new cases we introduce these last functions, since, by hypothesis, they will enter directly and not by their differentials, ordinary algebra will suffice to eliminate them, and to bring the question to depend on only the integral calculus. The differential calculus will then have no special part in the complete solution of the problem, which will depend entirely upon the integral calculus. The general question of quadratures offers an important example of this, for the differential equation being then dA=ydx, will become immediately fit for integration as soon as we shall have eliminated, by means of the equation of the proposed curve, the intermediary function y, which does not enter into it differentially. The same circumstances exist in the problem of cubatures, and in some others equally important.
Three classes of Questions hence resulting. As a general result of the previous considerations, it is then necessary to divide into three classes the mathematical questions which require the use of the transcendental analysis; the first class comprises the problems susceptible of being entirely resolved by means of the differential calculus alone, without any need of the integral calculus; the second, those which are, on the contrary, entirely dependent upon the integral calculus, without the differential calculus having any part in their solution; lastly, in the third and the most extensive, which constitutes the normal case, the two others being only exceptional, the differential and the integral calculus have each in their turn a distinct and necessary part in the complete solution of the problem, the former making the primitive differential equations undergo a preparation which is indispensable for the application of the latter. Such are exactly their general relations, of which too indefinite and inexact ideas are generally formed.
Let us now take a general survey of the logical composition of each caloulus, beginning with the differential.
THEDIFFERENTIALCALCULUS.
In the exposition of the transcendental analysis, it is customary to intermingle with the purely analytical part (which reduces itself to the treatment of the abstract principles of differentiation and integration) the study of its different principal applications, especially those which concern geometry. This confusion of ideas, which is a consequence of the actual manner in which the science has been developed, presents, in the dogmatic point of view, serious inconveniences in this respect, that it makes it difficult properly to conceive either analysis or geometry. Having to consider here the most rational co-ordination which is possible, I shall include, in the following sketch, only the calculus of indirect functions properly so called, reserving for the portion of this volume which relates to the philosophical study of concrete mathematics the general examination of its great geometrical and mechanical applications.
Two Cases: explicit and implicit Functions. The fundamental division of the differential calculus, or of the general subject of differentiation, consists in distinguishing two cases, according as the analytical functions which are to be differentiated are explicit or implicit; from which flow two parts ordinarily designated by the names of differentiation of formulas and differentiation of equations. It is easy to understand, a priori, the importance of this classification. In fact, such a distinction would be illusory if the ordinary analysis was perfect; that is, if we knew how to resolve all equations algebraically, for then it would be possible to render every implicit function explicit; and, by differentiating it in that state alone, the second part of the differential calculus would be immediately comprised in the first, without giving rise to any new difficulty. But the algebraical resolution of equations being, as we have seen, still almost in its infancy, and as yet impossible for most cases, it is plain that the case is very different, since we have, properly speaking, to differentiate a function without knowing it, although it is determinate. The differentiation of implicit functions constitutes then, by its nature, a question truly distinct from that presented by explicit functions, and necessarily more complicated. It is thus evident that we must commence with the differentiation of formulas, and reduce the differentiation of equations to this primary case by certain invariable analytical considerations, which need not be here mentioned.
These two general cases of differentiation are also distinct in another point of view equally necessary, and too important to be left unnoticed. The relation which is obtained between the differentials is constantly more indirect, in comparison with that of the finite quantities, in the differentiation of implicit functions than in that of explicit functions. We know, in fact, from the considerations presented by Lagrange on the general formation of differential equations, that, on the one hand, the same primitive equation may give rise to a greater or less number of derived equations of very different forms, although at bottom equivalent, depending upon which of the arbitrary constants is eliminated, which is not the case in the differentiation of explicit formulas; and that, on the other hand, the unlimited system of the different primitive equations, which correspond to the same derived equation, presents a much more profound analytical variety than that of the different functions, which admit of one same explicit differential, and which are distinguished from each other only by a constant term. Implicit functions must therefore be regarded as being in reality still more modified by differentiation than explicit functions. We shall again meet with this consideration relatively to the integral calculus, where it acquires a preponderant importance.
Two Sub-cases: A single Variable or several Variables. Each of the two fundamental parts of the Differential Calculus is subdivided into two very distinct theories, according as we are required to differentiate functions of a single variable or functions of several independent variables. This second case is, by its nature, quite distinct from the first, and evidently presents more complication, even in considering only explicit functions, and still more those which are implicit. As to the rest, one of these cases is deduced from the other in a general manner, by the aid of an invariable and very simple principle, which consists in regarding the total differential of a function which is produced by the simultaneous increments of the different independent variables which it contains, as the sum of the partial differentials which would be produced by the separate increment of each variable in turn, if all the others were constant. It is necessary, besides, carefully to remark, in connection with this subject, a new idea which is introduced by the distinction of functions into those of one variable and of several; it is the consideration of these different special derived functions, relating to each variable separately, and the number of which increases more and
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più in proporzione come l'ordine di derivazione diventa più alta, e anche quando le variabili diventano più numerosi. Deriva da questo che i rapporti differenziali a funzioni di più variabili sono, per loro natura, sia molto più indiretta, e soprattutto molto più indeterminata, di quelli relativi alle funzioni di una singola variabile. Questo è più evidente nel caso di funzioni implicite, in cui, al posto di semplici costanti arbitrarie che eliminazione provoca a scomparire quando formiamo le equazioni differenziali adeguati per le funzioni di una sola variabile, sono le funzioni arbitrarie delle variabili proposte che vengono poi eliminati; da cui deve risultare particolari difficoltà quando queste equazioni vengono a integrarsi.
Infine, per completare questa sintesi abbozzo delle diverse parti essenziali del calcolo differenziale corretta, devo aggiungere, che nella differenziazione di funzioni implicite, sia di una singola variabile o di diversi, è necessario fare un'altra distinzione; che del caso in cui è richiesto di differenziare contemporaneamente diverse funzioni di questo tipo, combinati in certe equazioni primitive, da quella in cui tutte queste funzioni sono separati.
Le funzioni sono evidentemente, infatti, ancora più implicito nel primo caso rispetto al secondo, se si considera che la stessa imperfezione di analisi ordinaria, che proibisce nostra convertire ogni funzione implicita in una funzione esplicita equivalente, in modo analogo rende incapaci di separare le funzioni che entrano contemporaneamente in qualsiasi sistema di equazioni. È quindi necessario differenziare, non solo senza sapere come risolvere le equazioni primitive, ma anche senza essere ing grado di effettuare le eliminazioni corrette fra loro, producendo così una nuova difficoltà.
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Riduzione del l' intera per la differenziazione dei i dieci elementari funzioni. Tale, quindi, sono la naturale connessione e la distribuzione logica delle diverse teorie principali che compongono il sistema generale di differenziazione. Poiché la differenziazione delle funzioni implicite è dedotta da quella di funzioni esplicite da un unico principio costante, e la differenziazione delle funzioni di più variabili è diminuito di un altro principio fisso a quella di funzioni di una sola variabile, l'intera del calcolo differenziale è finalmente trovato a riposo sulla differenziazione delle funzioni esplicite con una singola variabile, l'unico che viene sempre eseguito direttamente. Ora è facile capire che questa prima teoria, la base necessaria di tutto il sistema, consiste semplicemente nella differenziazione delle dieci funzioni semplici, che sono gli elementi uniformi di tutte le combinazioni analitiche, e l'elenco dei quali è stato dato in il primo capitolo, a pagina 51; per la differenziazione delle funzioni composti è evidentemente dedotto, in modo immediato e necessario, da quella dei semplici funzioni che li compongono. È, quindi, alla conoscenza di questi dieci differenziali fondamentali, nonché a quello dei due principi generali appena citati, che portano sotto tutti gli altri casi possibili, che l'intero sistema di differenziazione è adeguatamente ridotta. Vediamo, dalla combinazione di queste diverse considerazioni, come semplice e come perfetto è l'intero sistema di calcolo differenziale. Costituisce certamente, nelle sue relazioni logiche, lo spettacolo più interessante che l'analisi matematica può presentare alla nostra comprensione.
Trasformazione dei derivati ??Funzioni per le nuove Varia Bles. Il disegno generale che ho appena sommariamente disegnato sarebbe tuttavia presentare un deficit importante, se non ho fatto qui distintamente indicare una teoria finale, che costituisce, per sua natura, il complemento indispensabile del sistema di differenziazione. È quella che ha per oggetto la trasformazione costante di funzioni derivate, come risultato di cambiamenti determinati nelle variabili indipendenti, donde risulta la possibilità di riferimento a nuove variabili tutte le formule generali differenziali primitively stabiliti per gli altri. Questa domanda è ora risolta nel più completo e il modo più semplice, come tutti quelli di cui il calcolo differenziale è composta. È facile immaginare l'importanza generale che deve avere in qualsiasi delle applicazioni di analisi trascendente, le risorse fondamentali di cui può essere considerata augmenting, da noi permettendo di scegliere (per formare le equazioni differenziali, in innanzitutto, con più facilità) il sistema di variabili indipendenti che possono sembrare essere la più vantaggiosa, anche se non è definitivamente mantenuta. È così, ad esempio, che la maggior parte delle principali questioni di geometria sono risolti molto più facilmente facendo riferimento alle linee e superfici rettilinee coordinate, e che può, tuttavia, avere occasione per esprimere queste linee, ecc, analiticamente con l'aiuto di polari coordinate, o in qualsiasi altro modo. Ci sarà quindi in grado di iniziare la soluzione differenziale del problema impiegando il sistema rettilinea, ma solo come fase intermedia, da cui, per la teoria generale qui denominato, possiamo passare al sistema finale, che a volte non poteva avere stato considerato direttamente.
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Diversi ordini di differenziazione. Nella classifica logica del del calcolo differenziale, che ha appena ricevuto, alcuni possono essere inclini a suggerire una grave omissione, visto che non ho suddiviso ognuna delle sue quattro parti essenziali secondo un'altra considerazione generale, che sembra in un primo momento visualizzare molto importante; cioè che di ordine superiore o inferiore di differenziazione. Ma è facile capire che questa distinzione ha alcuna influenza reale nel calcolo differenziale, in quanto non dà luogo ad alcuna nuova difficoltà. Se, infatti, il calcolo differenziale non è stato rigorosamente completo, cioè se non sapessimo come differenziare a volontà qualsiasi funzione qualunque sia, la differenziazione al secondo o superiore ordine di ogni funzione determinata potrebbe generare particolari difficoltà. Ma l'universalità perfetta del calcolo differenziale chiaramente ci dà la certezza di essere in grado di differenziare, a qualsiasi ordine qualsiasi, tutte le funzioni note qualunque, la questione ridursi ad una differenziazione costantemente ripetuta del primo ordine. Questa distinzione, poco importante come per il calcolo differenziale, acquisisce, tuttavia, una grande importanza nel calcolo integrale, a causa della estrema imperfezione di quest'ultimo.
Analytical Applications. Infine, anche se questo non è il posto giusto per prendere in considerazione le varie applicazioni del calcolo differenziale, ma un'eccezione possono essere fatte per coloro che consistono nella soluzione di questioni che sono puramente analitico, che dovrebbe, infatti, essere trattati logicamente in prosecuzione di un sistema di differenziazione, a causa della omogeneità evidente delle considerazioni coinvolti. Queste domande possono essere ridotte a tre quelli essenziali.
In primo luogo, il sviluppo in serie di funzioni di una o più variabili, o, più in generale, la trasformazione di funzioni, che costituisce la più bella e la più importante applicazione del calcolo differenziale per analisi generale, e che comprende, oltre alla serie fondamentale scoperto da Taylor, la notevole serie scoperto da Maclaurin, Jchn Bernoulli, Lagrange, & c:
In secondo luogo, il generale teoria di maxima e minimi valori per ogni funzione qualunque, di una o più variabili; uno dei problemi più interessanti che l'analisi può presentare, per quanto elementare Può ora sono diventati, e per la soluzione completa di che si applica naturalmente il calcolo differenziale:
In terzo luogo, la determinazione generale del valore reale delle funzioni che si presentano sotto un indeter minate aspetto di alcune ipotesi fatte sui valori delle variabili corrispondenti; che è il meno esteso e meno importante di tre.
La prima domanda è certamente il principale in tutti i punti di vista; è anche il più suscettibile di ricevere un nuovo seguito estensione, soprattutto concepire, in modo più ampio rispetto a quanto è stato ancora fatto, l'impiego del calcolo differenziale nella trasformazione di funzioni, sul quale soggetto Lagrange ha lasciato alcuni suggerimenti preziosi.
Avendo così sommariamente, anche se forse troppo breve, considerati i punti principali del calcolo differenziale, io ora procedere a un altrettanto rapido esposizione di un quadro sistematico di del calcolo integrale, propriamente detto, cioè il soggetto astratto di integrazione.
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Giacinto
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Calcolo integrale.
La sua fondamentale Division. La divisione fondamentale del calcolo integrale si fonda sul principio stesso di quello del calcolo differenziale, nel distinguere l'integrazione di esplicite formule differenziali, e l'integrazione dei impliciti differenziali o di equazioni differenziali. La separazione di questi due casi è ancora molto più profonda rispetto alla integrazione rispetto alla differenziazione. Nel calcolo differenziale, infatti, questa distinzione poggia, come abbiamo visto, solo sulla estrema imperfezione di analisi ordinaria. Ma, d'altra parte, è facile vedere che, anche se tutte le equazioni possono essere risolte algebricamente, equazioni differenziali sarebbe comunque costituire un caso di integrazione ben distinta da quella presentata dalle formule differenziali espliciti; per, limitandoci, per motivi di semplicità, al primo ordine, e ad una funzione singola y di una singola variabile x, supponendo qualsiasi equazione differenziale fra x, y,
dy dy e -, da risolvere con riferimento -, la Expres dx dx
sione della funzione derivata essendo poi generalmente trovata contenere la stessa funzione primitiva, che è oggetto della dell'indagine, la domanda di integrazione non avrà affatto cambiato natura, e la soluzione non sarà davvero fatto alcuna altra progressi quello di aver portato l'equazione differenziale proposto essere di solo il primo grado relativamente alla funzione derivata, che è di per sé di scarsa importanza. Il differenziale non sarebbe quindi determinata in maniera molto meno implicita rispetto a prima, per quanto riguarda l'integrazione, che continuerebbe a presentare sostanzialmente la stessa caratteristica diffi cnlty. La risoluzione algebrica delle equazioni non poteva fare il caso che stiamo considerando rientrare la semplice integrazione dei differenziali esplicite, tranne nei casi particolari in cui l'equazione differenziale proposta non conteneva la stessa funzione di primitivo, che avrebbe
[grafico]
Di conseguenza ci permettono, per risolverlo, per trovare - a dx
termini di x soltanto, e quindi di ridurre la domanda alla classe di quadrature. Ancora maggiori difficoltà sarebbero evidentemente essere trovati in equazioni differenziali di ordine superiore, o contenenti simultaneamente diverse funzioni di più variabili indipendenti.
L'integrazione di equazioni differenziali è quindi necessariamente più complicato di quello di differenziali esplicite, dall'elaborazione di che durano è stato creato calcolo integrale, e su cui sono stati fatti altri dipendere quanto è stato possibile. Tutti i vari metodi analitici che sono stati proposti per integrare le equazioni differenziali, che sia la separazione delle variabili, il metodo di moltiplicatori, ecc, hanno infatti per oggetto per ridurre queste integrazioni a quelli di formule differenziali, l'unico che , per sua natura, possono essere intraprese direttamente. Purtroppo, imperfetta come ancora questa base necessaria di tutta calcolo integrale, l'arte di ridurre ad esso l'integrazione di equazioni differenziali è ancora meno avanzate.
Suddivisioni: una variabile o . Diversi Ciascuno di questi due rami fondamentali del calcolo integrale è prossima suddivisi in due altri (come nel calcolo differenziale, e per motivi precisamente analoghe), secondo come noi consideriamo funzioni con una singola variabile, o funzioni con diversi indipendenti variabili.
Questa distinzione è, come quello precedente, ancora più importante per l'integrazione di differenziazione. Ciò è particolarmente notevole in riferimento alle equazioni differenziali. Infatti, quelle che dipendono da diverse variabili indipendenti possono evidentemente presentare questa difficoltà caratteristico Mnch più grave, che la funzione desiderata può essere differenzialmente definita da una semplice relazione tra i diversi derivati ??particolari relativi alle diverse variabili prese separatamente. Risulta quindi più difficile e anche la più ampia ramo del calcolo integrale, che è comunemente chiamato il Inter gral Calcolo della parziali differenze, creato da D'Alembert, e in cui, secondo il proprio apprezzamento di Lagrange, geometri dovrebbe avere visto davvero un nuovo calcolo, il carattere filosofica di cui non è ancora stata determinata con precisione sufficiente. Una differenza molto evidente tra questo caso e quello di equazioni con una singola variabile indipendente è costituito, come è stato già osservato, nelle funzioni arbitrarie che prendono il posto delle semplici costanti arbitrarie, per dare alle corrispondenti integrali tutto il corretto generalità .
È appena il caso di dire che questo ramo superiore di analisi trascendentale è ancora del tutto nella sua infanzia, poiché, anche nel caso più semplice, che di un'equazione del primo ordine fra le derivate parziali di una singola funzione con due variabili indipendenti, non è ancora del tutto in grado di ridurre l'integrazione a quella delle equazioni differenziali ordinarie. L'integrazione delle funzioni di più variabili è molto più avanzato nel caso (infinitamente più semplice in realtà) in cui si ha a che fare solo con formule differenziali esplicite. Possiamo allora, infatti, quando queste formule soddisfano le neces condizioni ne- di integrabilità, ridurre sempre la loro integrazione a quadrature.
Altri Suddivisioni : diversi ordini di Differentia . Zione Una nuova distinzione generale, applicabile come una suddivisione per l'integrazione dei differenziali esplicite o implicite, con una variabile o più, è tratto dalla alta er o minore ordine di i differenziali : una distinzione che, come abbiamo sopra osservato, non dà luogo ad alcuna domanda speciale nel calcolo differenziale.
Relativamente alle esplicite differenziali, sia di una variabile o di vari, la necessità di distinguere loro diversi ordini appartiene solo alla estrema imperfezione del calcolo integrale. Infatti, se si potesse sempre integrare ogni formula differenziale del primo ordine, l'integrazione di una formula di secondo ordine, o di qualsiasi altro, sarebbe evidentemente non formare una nuova domanda, poiché, integrando in un primo momento in primo grado , saremmo arrivati ??al espressione differenziale di ordine immediatamente precedente, dal quale, da una serie adeguata di integrazioni analoghi, saremmo certi di arrivare infine la funzione primitiva, l'oggetto finale di queste operazioni. Ma la poca conoscenza che possediamo sull'integrazione del persino il primo ordine provoca piuttosto un altro stato di cose, in modo che un ordine superiore di differenziali produce nuove difficoltà; per, avendo formule differenziali di qualsiasi ordine sopra il primo, può accadere che wo può essere in grado di integrarli, o una volta o più volte di seguito, e che può essere ancora in grado di tornare alle funzioni primitive, se questi lavori preliminari hanno prodotto, per i differenziali di ordine inferiore, espressioni il cui integrali non sono noti. Questa circostanza deve avvenire tanto più spesso (il numero delle note integrali essendo ancora molto piccolo), visto che questi integrali successive sono generalmente molto diverse funzioni dei derivati ??che li hanno prodotti.
Con riferimento alle implicite differenziali, la distinzione di ordini è ancora più importante; per, oltre al motivo precedente, l'influenza dei quali è evidentemente analogo in questo caso, ed è ancora maggiore, è facile intuire che l'ordine superiore di equazioni differenziali nasce inseparabilmente domande di una nuova natura. Infatti, anche se si potrebbe integrare ogni equazione del primo ordine relativa ad una singola funzione, che sarebbe non essere sufficiente per ottenere l'integrale finale di un'equazione di qualsiasi ordine qualsiasi, in quanto ogni equazione differenziale non è riducibile a quella di un ordine immediatamente inferiore. Così, per esempio, se abbiamo dato alcun
dx (Py
rapporto tra x, y, - e . -R- per determinare un func
dy dx 1
zione y di una variabile x, non potrà dedurne immediatamente, dopo aver effettuato una prima integrazione, la
dy corrispondente rapporto differenziale tra x, y, e -,
da cui, da una seconda integrazione, potremmo risalire alle equazioni primitive. Questo non sarebbe necessariamente svolgersi, almeno senza introdurre nuove funzioni ausiliarie, a meno che il proposto equazione del secondo ordine non contiene la funzione richiesta y, insieme con i suoi derivati. Come principio generale, equazioni differenziali dovranno essere considerati presentando casi che sono sempre più implicito, in quanto sono di un ordine superiore, e che non può essere fatta dipendere da uno all'altro solo con metodi speciali, l'indagine di cui conseguentemente forma una nuova classe di domande, con ri
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SPECT a cui noi, come sappiamo ancora poco qualsiasi cosa, anche per le funzioni di una sola variabile. *
Un altro equivalente distinzione. Ancora più lontano, quando esaminiamo più profondamente questa distinzione di diversi ordini di equazioni differenziali, troviamo che esso può essere sempre fatta a venire sotto una distinzione generale finale, relativa alle equazioni differenziali, che rimane per essere notato. Equazioni differenziali con una o più variabili indipendenti possono contenere semplicemente una singola funzione, oppure (in un caso evidentemente più complicato e più implicito, che corrisponde alla differenziazione delle funzioni implicite simultanee) è possibile che sia determinare contemporaneamente diverse funzioni dal equazioni differenziali in cui si trovano uniti, insieme con i loro diversi derivati. È chiaro che un tale stato di questione presenta necessariamente una nuova difficoltà speciale, che di separare i diversi funzioni desiderate, formando per ciascuna, dalle equazioni differenziali proposti, un'equazione differenziale isolato che non contiene altre funzioni o loro derivati . Questo lavoro preliminare, che è analogo all'eliminazione di algebra, è evidentemente indispensabile prima di qualsiasi integrazione diretta, poiché non possiamo intraprendere generale (se non con artifici speciali che sono molto raramente applicabile) per determinare direttamente diverse funzioni distinte contemporaneamente.
Ora è facile stabilire l'esatta coincidenza e necessaria di questa nuova distinzione con il precedente quella rispettando l'ordine di equazioni differenziali. Sappiamo, infatti, che il metodo generale per funzioni isolare nelle equazioni differenziali simultanee consiste essenzialmente nella formazione di equazioni differenziali, separatamente per ogni funzione, e di un ordine pari alla somma di tutti quelli delle diverse equazioni proposti. Questa trasformazione può sempre essere effettuata. D'altra parte, ogni equazione differenziale di qualsiasi ordine in relazione ad una singola funzione può evidentemente essere sempre ridotto al primo ordine, introducendo un adeguato numero di equazioni differenziali ausiliari, contenente contemporaneamente i diversi derivati ??anteriori considerate nuove funzioni essere determinati. Questo metodo è, infatti, a volte stato effettivamente impiegato con successo, anche se non è quello naturale.
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* L'unico caso importante di questa classe, che è stato finora completamente trattata è l'integrazione generale dei lineari equazioni di qualsiasi ordine qualunque, a coefficienti costanti. Anche questo caso infine dipende dalla risoluzione algebrica delle equazioni di un grado uguale all'ordine di differenziazione.
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Ecco, dunque, sono due ordini necessariamente equivalenti di condizioni nella teoria generale di equazioni differenziali; la simultaneità di un numero maggiore o minore di funzioni, e la maggiore o minore dell'ordine di differenziazione di una singola funzione. Aumentando l'ordine delle equazioni differenziali, possiamo isolare tutte le funzioni; e, artificialmente moltiplicando il numero di funzioni, possiamo ridurre tutte le equazioni al primo ordine. Esiste, pertanto, in entrambi i casi, solo una e la stessa difficoltà da due diversi punti di vista. Ma, tuttavia possiamo concepire, questa nuova difficoltà è nondimeno reale, e costituisce nondimeno, per sua natura, una marcata separazione tra l'integrazione delle equazioni del primo ordine e che di equazioni di ordine superiore. Preferisco indicare la distinzione sotto quest'ultima forma come più semplice, più generale, e più logico.
Quadrature. Dalle considerazioni diverse che sono state indicate rispettando la dipendenza logica delle varie parti principali del calcolo integrale, vediamo che l'integrazione di formule differenziali esplicite del primo ordine e di una singola variabile è la base necessaria di tutte le altre integrazioni , che non riusciremo mai nell'effettuare ma finora come li riduciamo al caso elementare, evidentemente, l'unico che, per sua natura, è in grado di essere trattati direttamente. Questa semplice integrazione fondamentale è spesso indicato con il comodo espressione di quadrature, visto che ogni integrante di questo tipo, Sf (x) dx, può, infatti, essere considerato pari alla superficie di una curva, l'equazione di cui in co rettilinea -ordinates sarebbero i / f (x). Tale classe di domande corrisponde, nel calcolo differenziale, al caso elementare di differenziazione delle funzioni esplicite di una singola variabile. Ma la domanda integrale è, per sua natura, molto diverso complicato, e soprattutto molto più ampia rispetto alla domanda differenziale. Quest'ultimo è, infatti, necessariamente ridotta, come abbiamo visto, alla differenziazione delle dieci semplici funzioni, gli elementi di tutto che sono considerati nell'analisi. D'altra parte, l'integrazione di funzioni composti non necessariamente da quella dei semplici funzioni, ogni combinazione di cui può presentare particolari difficoltà rispetto al calcolo integrale. Risultati qui la portata naturalmente a tempo indeterminato, e il così vario complicazione della domanda di Quadra Tures, su cui, a dispetto di tutti gli sforzi di analisti, siamo ancora in possesso così poco conoscenza completa.
In decomposizione questa domanda, come è naturale, secondo le diverse forme che possono assumere il funzione derivata, distinguiamo il caso di algebriche funzioni e dei trascendentali funzioni.
L'integrazione dei trascendentali funzioni. L'integrazione veramente analitica di funzioni trascendenti è ancora molto poco avanzata, sia per esponenziale, o logaritmica, o circolari funzioni. Ma un numero molto limitato di casi di questi tre tipi sono ancora stati trattati, e quelli scelti tra le più semplici; e ancora i calcoli necessari sono nella maggior parte dei casi estremamente laboriosa. Una circostanza che dovremmo particolarmente notare nella sua connessione filosofica è che le diverse procedure di quadratura hanno alcuna relazione a qualsiasi vista generale di integrazione, e consistono di semplici artifici molto inccherent con l'altro, e molto numerosi, a causa del molto limitata misura di ciascuno.
Uno di questi artifici dovrebbe, tuttavia, qui essere notato che, senza essere in realtà un metodo di integrazione, è tuttavia notevole per la sua generalità; è il procedimento inventato da Jchn Bernoulli, e conosciuto sotto il nome di integrazione per parti, per mezzo del quale ogni integrale può essere ridotto ad un altro che a volte è risultato essere più facile da ottenere. Questa relazione ingegnoso merita di essere notato per un altro motivo, come aver suggerito la prima idea di quella trasformazione di integrali ancora sconosciute, che ha recentemente ricevuto una maggiore estensione, e di cui M. Fourier soprattutto ha fatto in modo nuovo e importante un utilizzo negli domande analitici prodotti dalla teoria di calore.
Integrazione di algebriche funzioni. Per quanto riguarda l'integrazione di funzioni algebriche, è più avanzata. Tuttavia, sappiamo appena qualche cosa in relazione irra funzioni aggiuntive, gli integrali dei quali sono stati ottenuti solo in casi estremamente limitati, in particolare rendendoli razionale. L'integrazione di funzioni razionali è finora l'unica teoria del calcolo integrale, che ha ammesso di essere trattati in modo veramente completo; in un punto logico di vista, si forma, quindi, la sua parte più soddisfacente, ma forse anche la meno importante. È anche essenziale osservazione, per havo una giusta idea di estrema imperfezione del calcolo integrale, che questo caso, limitata com'è, non è del tutto risolto tranne per quanto riguarda correttamente integrazione letta in modo astratto; per, in esecuzione, la teoria trova il suo progresso più frequentemente abbastanza fermato, indipendentemente della complicazione dei calcoli, dalla imperfezione di analisi ordinaria, visto che rende l'integrazione infine dipende dalla risoluzione algebrica delle equazioni, che limita notevolmente la sua uso.
Per comprendere in modo generale lo spirito delle diverse procedure che sono impiegati in quadrature, si deve osservare che, per loro natura, possono essere primitively fondate soltanto sulla differenziazione dei dieci semplici funzioni. I risultati di questo, al contrario considerati, stabilire come molti teoremi diretti del calcolo integrale, le sole che possono essere conosciuti direttamente. Tutta l'arte di integrazione successivamente consiste, come si è detto all'inizio di questo capitolo, nel ridurre tutti gli altri quadrature, per quanto possibile, a questo piccolo numero di elementari, che purtroppo siamo in molti casi incapaci di effetto .
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ragionamento, deve essere fondata sulla sola osservazione, e che costituiscono la base necessaria di tutte le deduzioni.
La superiorità scientifica della geometria deriva dai fenomeni che ritiene essere necessariamente la più universale e il più semplice di tutti. Non solo possono tutti 'i corpi di natura dar luogo a indagini geometriche, così come quelle meccaniche, ma ancora più lontano, fenomeni geometrico esisterebbe ancora, anche se tutte le parti del dell'universo dovrebbero essere considerati come beni. La geometria è quindi, per sua natura, più generale meccanica. Allo stesso tempo, i suoi fenomeni sono più semplici, perché sono evidentemente indipendenti di fenomeni meccanici, mentre questi ultimi sono sempre complicato con i primi. Le stesse relazioni valgono nel confronto con la geometria termologia astratto.
Per queste ragioni, nella nostra classificazione mettiamo geometria prima parte del calcestruzzo matematica ; quella parte dello studio di cui, oltre alla sua propria importanza, serve come base indispensabile di tutto il resto.
Prima di considerare direttamente lo studio filosofico di diversi ordini di richieste che costituiscono la nostra geometria attuale, dovremmo ottenere una idea chiara e precisa della destinazione generale di che la scienza, visto in tutte le sue cuscinetti. Tale è l'oggetto di questo capitolo.
. Definizione geometria viene comunemente definito in modo molto vago e del tutto impropria, come la scienza di estensione. Un miglioramento su questo sarebbe dire che la geometria ha per oggetto la misura di estensione; ma una tale spiegazione sarebbe molto insufficiente, anche se, in fondo, corretta, e sarebbe molto da dare qualche idea del vero carattere generale della scienza geometrica.
Per fare questo, penso che dovrei prima spiegare due divertenti fon- idee, che, molto semplice in se stessi, sono stati singolarmente oscurate con l'impiego di considerazioni metafisiche.
L' idea di spazio. La prima è quella di spazio. Questa concezione consiste propriamente semplicemente nel fatto che, invece di considerare l'estensione nei corpi stessi, l'abbiamo vista in un mezzo indefinito, che noi consideriamo come contenente tutti gli organi della dell'universo . Questa nozione è naturalmente suggerito da osservazione, quando pensiamo di l'impressione che un corpo avrebbe lasciato in un fluido in cui era stato collocato. È evidente, infatti, che, per quanto riguarda le sue relazioni geometriche, tale impressione può essere sostituito per il corpo stesso, senza alterare i ragionamenti rispetto esso. Per quanto riguarda la natura fisica di questo indefinito spazio, siamo spontaneamente portati a rappresentare a noi stessi, ad essere del tutto analogo al mezzo reale in cui viviamo; in modo che se questo mezzo era liquido invece di gassosa, nostro geometrico spazio sarebbe certamente essere concepito come liquida. Questa circostanza è, del resto, solo molto secondario, l'oggetto essenziale di tale concezione essendo solo per farci consideriamo estensione separatamente dai corpi che si manifestano a noi. Possiamo facilmente capire in anticipo l'importanza di questa immagine fondamentale, poiché ci permette di studiare fenomeni geometrico in sé, astrazione essendo fatto di tutti gli altri fenomeni che li accompagnano costantemente in corpi reali, senza howover, esercitare alcuna influenza su di loro. La creazione regolare di questa astrazione generale deve essere considerato come il primo passo che è stato fatto nello studio razionale della geometria, che sarebbe stato impossibile se fosse stato necessario prendere in considerazione, insieme con la forma e la grandezza dei corpi, tutta la loro altre proprietà fisiche. L'uso di una tale ipotesi, che è forse la più antica concezione filosofica creato dalla mente umana, è diventata così familiare a noi, che abbiamo difficoltà esattamente valutare la sua importanza, cercando di apprezzare le conseguenze che deriverebbero dalla sua soppressione.
Diversi tipi di estensione. La seconda concezione geometrica preliminare che dobbiamo esaminare è quella di diversi tipi di estensione, designati dalla parole di volume, di superficie, la linea, e anche il punto, e di cui la spiegazione ordinaria è così insoddisfacente. *
Anche se è evidentemente impossibile concepire qualsiasi estensione assolutamente priva di una qualsiasi delle tre dimensioni fondamentali, è altrettanto incontestabile che, in un gran numero di volte, anche di utilità immediata, domande geometrici dipendono solo due dimensioni, considerati separatamente dal il terzo, o in una sola dimensione, considerati separatamente dagli altri due. Ancora una volta, indipendentemente di questo motivo diretta, lo studio di estensione con una sola dimensione, e poi con due, si presenta chiaramente come un preliminare indispensabile per facilitare lo studio dei corpi completi di tre dimensioni, la teoria immediata di cui sarebbe troppo com * Lacroix giustamente criticato l'espressione di solido, comunemente usato dai geometri per designare un volume. è certo, infatti, che quando vogliamo considerare separatamente una certa porzione di spazio indefinito, concepito come gassosa, abbiamo mentalmente solidificare il suo involucro esterno, in modo che una linea ed una superficie sono abitualmente, alla nostra mente, proprio come solido come un volume. può anche essere osservato che la maggior parte in genere, in modo che i corpi possono penetrare l'un l'altro con più facilità, siamo obbligati ad immaginare l'interno di i volumi di essere vuota, che rende ancora più sensibile la scorrettezza della parola tolid.
complicata. Questi sono i due motivi generali che obbligano geometri considerare separatamente estensione con riferimento ad una o due dimensioni, nonché relativamente a tutti e tre insieme.
I concetti generali di superficie e di linea sono stati formati dalla mente umana, in modo che possa essere in grado di pensare, in modo permanente, di estensione in due direzioni, oppure in uno solo. Le espressioni iperboliche abitualmente impiegati da geometri per definire queste nozioni tendono a trasmettere false idee su di loro; ma, ha esaminato in se stessi, non hanno altro scopo che per permetterci di ragionare con facilità rispetto di questi due tipi di estensione, rendendo completa astrazione di ciò che non deve essere preso in considerazione. Ora per questo è sufficiente concepire la dimensione che si vuole eliminare per diventare gradualmente più piccola, gli altri due rimanenti stesso, fino ad arrivare ad un tale grado di tenuity che non può più fissare l'attenzione. È così che abbiamo naturalmente acquisire la vera idea di una superficie, e, da una seconda operazione analoga, l'idea di una linea, ripetendo per ampiezza quanto avevamo dapprima fatto per spessore. Infine, se ancora una volta ripetere la stessa operazione, arriviamo all'idea di un punto, o di una estensione considerato solo con riferimento al suo posto, l'astrazione di essere fatto di tutto grandezza, e di conseguenza progettato per determinare le posizioni.
Superfici evidentemente hanno inoltre la proprietà generale di volumi esattamente circoscrivono; e allo stesso modo, linee, a loro volta, circoscrivono superfici e sono limitate da punti. Ma questa considerazione, a cui troppa importanza è dato spesso, è soltanto uno secondario.
Superfici e linee sono, quindi, in realtà, sempre concepiti con tre dimensioni; sarebbe, infatti, impossibile rappresentare a se stessi una superficie altrimenti che come una piastra estremamente sottile, e una linea altrimenti che come un filo infinitamente bene. È anche evidente che il grado di tenuity attribuito ogni individuo alle dimensioni dei quali desidera fare astrazione non è sempre identica, perché deve dipendere dal grado di sottigliezza dei suoi abituali osservazioni geometriche. Questa mancanza di uniformità ha, inoltre, non inconveniente reale, in quanto è sufficiente, in modo che le idee di superficie e di linea dovrebbero soddisfare la condizione essenziale della loro destinazione, per ognuno di rappresentare a se stesso le dimensioni che devono essere trascurati come essere più piccolo di tutti coloro la cui grandezza della sua esperienza quotidiana gli dà modo di apprezzare.
Noi quindi vediamo come priva di ogni significato sono le fantastiche discussioni dei metafisici sulle fondamenta della geometria. Va anche osservato che queste idee primordiali sono abitualmente presentati dai geometri in maniera non filosofica, poiché, ad esempio, spiegano le nozioni di diversi tipi di misura in un ordine assolutamente l'inverso della loro dipendenza naturale, che produce spesso più gravi inconvenienti in istruzione elementare.
L'oggetto finale DI GEOMETRIA.
Questi preliminari essendo stabilito, si può procedere direttamente alla definizione generale di geometria, continuando a concepire questa scienza come avente per oggetto finale misura di estensione.
E 'necessario in questa materia per andare in un approfondito
.
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Singular Solutions. In questa enumerazione sistematica delle varie parti essenziali del calcolo integrale, considerati nelle loro relazioni logiche, ho designedly neg
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Leibniz così felicemente eseguito, mezzo secolo più tardi, dopo alcune modifiche intermedie delle idee di Fermat introdotte da Wallis, e ancora di più di Barrow; e lui è stato quindi il vero creatore di analisi trascendente, come ad esempio che oggi impieghiamo esso. Questa scoperta ammirevole era così maturo (come tutte le grandi concezioni del dell'intelletto umano al momento della loro manifestazione), che Newton, dal canto suo, era arrivato, allo stesso tempo, o poco prima, ad un metodo esattamente equivalente, considerando questa analisi in un punto molto diverso di vista, che, anche se più logico in sé, è davvero meno atto a dare al metodo fondamentale comune tutta la portata e la funzione che sono stati impartita ad esso dalle idee di Leibnitz. Infine, Lagrange, vengano meno le considerazioni eterogenei che avevano guidato Leibnitz e Newton, è riuscita a ridurre l'analisi trascendente, nella sua massima perfezione, a un sistema puramente algebrico, che vuole solo più attitudine per le sue applicazioni pratiche.
Dopo questo sommario sguardo alla storia generale del dell'analisi trascendente, si procederà alla esposizione dogmatica dei tre concetti principali, al fine di conoscere esattamente le loro proprietà caratteristiche, e di mostrare l'identità necessaria dei metodi che sono là derivati. Cominciamo con quello di Leibnitz.
METODO DI Leibnitz. Infinitamente piccoli elementi. Questo consiste nell'introdurre nel calcolo, al fine di facilitare la creazione di equazioni, gli infinitamente piccoli elementi di cui tutte le quantità, i rapporti tra le quali sono ricercati, sono considerati da comporre. Questi elementi o dif ferentials avranno certe relazioni fra loro, che sono sempre e necessariamente più semplice e facile da scoprire quelli dei quantitativi primitive, e mediante dei quali saranno abilitati (da un calcolo speciale avente per oggetto peculiare l'eliminazione di questi infinitesimi ausiliari) per tornare alle equazioni desiderati, che sarebbe stato più frequentemente impossibile da ottenere direttamente. Questa analisi indiretta può avere diversi gradi di indirectness; per, quando c'è troppa difficoltà nel formare immediatamente l'equazione tra i differenziali di grandezze considerate, una seconda applicazione del medesimo artifizio generale dovrà essere realizzato, e tali differenziali essere trattata, a loro volta, come nuove quantità primitive , e un rapporto ricercato tra loro elementi infinitamente piccoli (che, con riferimento agli oggetti finali della questione, sarà secondo differenziali), e così via; la stessa trasformazione ammettendo di essere ripetuto un numero di volte, a condizione di fine eliminando il numero sempre crescente di quantità infinitesimali introdotte come ausiliari.
Una persona non ancora familiarità con queste considerazioni non percepisce immediatamente come l'impiego di queste quantità ausiliari possono facilitare la scoperta delle leggi di analisi di fenomeni; per i infinitamente piccoli incrementi di grandezze previste sono delle stesse specie con loro, sembrerebbe che le loro relazioni non devono essere ottenuti con più facilità, in quanto il valore maggiore o minore di un quantitativo non può, infatti, esercitare alcuna influenza sulla un'indagine che è necessariamente indipendenti, per sua natura, di ogni idea di valore. Ma è facile, tuttavia, per spiegare molto chiaramente, e in modo del tutto generale, quanto la questione deve essere semplificata tale artifizio. A questo scopo, è necessario iniziare distinguere diversi ordini di infinitamente piccole quantità, una precisa idea di ottenibili considerandoli come sia le successive potenze della stessa primitiva infinitamente piccola quantità, o come quantitativi che possono essere considerati come aventi rapporti finiti con questi poteri; di modo che, per fare un esempio, il secondo, terzo, ecc, differenziali di qualsiasi variabile sono classificati come infinitamente piccole quantità di secondo ordine, il terzo, e c, perché è facile da scoprire in loro multipli finiti di secondo, terzo, (kc, poteri di un certo differenziale primo. Queste idee preliminari stanno costituendo, lo spirito della dell'analisi infinitesimale consiste nel trascurare costantemente le quantità infinitamente piccole in confronto con quantità finite, e generalmente i infinitamente piccole quantità di qualsiasi ordine qualunque rispetto con tutti quelli di ordine inferiore. è insieme evidente quanto una tale libertà deve facilitare la formazione delle equazioni tra i differenziali di quantità, poiché, al posto di questi differenziali, possiamo sostituire questi altri elementi come si può scegliere, e come sarà più semplice da considerare, solo avendo cura di conformarsi a questa sola condizione, che i nuovi elementi differiscono dai precedenti solo quantità infinitamente piccole in confronto con loro. È così che sarà possibile, in geometria, per trattare le linee curve come composto di un'infinità di elementi rettilinei, superfici curve come formata di elementi piani, e, in meccanica, movimenti variabili come una serie infinita di moti uniformi, riuscendo uno un altro a infinitamente piccoli intervalli di tempo.
Esempi. Considerando l'importanza di questa concezione ammirevole, penso che dovrei qui per completare l'illustrazione del suo carattere fondamentale dall'indicazione sintesi di alcuni esempi principali.
1. . Tangenti Let It Be necessari per determinare, per ogni punto di una curva piana, l'equazione di cui viene data, la direzione della sua tangente; una domanda la cui soluzione generale era l'oggetto primitivo dei i inventare ors di analisi trascendentale. Considereremo th tangente come secante unisce due punti infinitamente vicini l'uno all'altro; e poi, viene designato per dy e dx infinitamente piccole differenze di coordinate di questi due punti, i principi elementari di geometria saranno sorve
dy diatamente dare l'equazione t = -r- per la trigonometrica
tangente di angolo che è fatta con l'asse delle ascisse la tangente desiderata, essendo questo il modo più semplice di fissare la posizione in un sistema di rettilinei coordinate. Questa equazione, comune a tutte le curve, sia stabilita, la questione si riduce ad un semplice problema analitico, che consisterà nell'eliminare lo infinitesimi dx e dy, che sono stati introdotti come ausiliari, determinando in ciascun caso particolare, per mezzo di equazione della curva proposto, il rapporto di dy per dx, che sarà costantemente fatto da uniforme e metodi molto semplici. 2. Soluzione di un arco. In secondo luogo, supponiamo che vogliamo conoscere la lunghezza di arco di qualsiasi curva, considerata come una funzione delle coordinate di sue estremità. Sarebbe impossibile stabilire un'equazione direttamente THT tra questo arco s e queste coordinate, mentre è facile trovare il rapporto relativo tra i differenziali di queste diverse grandezze. I più semplici teoremi di geometria elementare saranno infatti dare in una sola volta, considerando i infinitamente piccolo arco ds come una linea a destra, le equazioni
ds t = dy t + dx \ o ds i = dx t + dy 1 J R dz t , a seconda che la curva è di curvatura singolo o doppio. In entrambi i casi, la questione è ora interamente all'interno del dominio di analisi, che, con l'eliminazione dei differenziali (che è l'oggetto peculiare del calcolo
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funzioni indiretti), ci porteranno indietro da questa relazione a quello che esiste tra le quantità finite stessi in esame.
3. Quadratura di una curva. Sarebbe lo stesso con la quadratura delle aree curvilinee. Se la curva è un piano uno, e di cui rettilinee coordinate, noi concepire l'area A compresa tra questa curva, l'asse delle ascisse, e due estremi coordinate, per aumentare di una quantità infinitamente piccola dA, come il risultato di un corrispondente incremento di ascissa. La relazione tra queste due differenziali può essere immediatamente ottenuta con grande facilità sostituendo l'elemento curvilineo della zona proposto rettangolo formato dalla estrema ordinata e l'elemento di ascisse, da cui evidentemente differisce solo per una quantità infinitamente piccola di il secondo ordine. In questo modo in una volta dare, qualunque sia la curva, il molto semplice equazione differenziale
dA. = YDX, dal quale, quando viene definita la curva, il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre l'equazione finita, che è l'oggetto immediato del problema.
4. Velocità in Variable movimento. Allo stesso modo, in Dynamics, quando desideriamo conoscere l'espressione per la velocità acquisita in ogni istante da un organismo colpito con un movimento che varia in base a qualsiasi legge, si prenderà in considerazione il moto ad essere uniforme durante un elemento infinitamente piccolo del tempo t, e sarà quindi formano immediatamente l'equazione differenziale de = VDT, in cui v indica la velocità acquisita quando il corpo è passata sopra lo spazio e , e quindi sarà facile dedurre, per semplice e procedure analitiche invariabili, la formula che darebbe la velocità in ogni movimento particolare, in conformità con la corrispondente relazione tra il tempo e lo spazio; o, reciprocamente, cosa questa relazione sarebbe se la modalità di variazione del doveva velocità da conoscere, sia rispetto allo spazio o al tempo.
5. Distribuzione di calore. Infine, per indicare un altro tipo di domande, è da misure analoghe che possiamo, nello studio di fenomeni thermological, secondo la concezione felice di M. Fourier, per formare in maniera molto semplice l'equazione differenziale generale che esprime la ripartizione variabile del calore in qualsiasi organo qualunque, sottoposto ad eventuali influenze, attraverso di rapporto singolo e facilmente ottenuta, che rappresenta la distribuzione uniforme del calore in un rettangolo parallelepipedo, considerando (geometricamente) ogni altro organismo decomposto in infinitamente piccoli elementi di una forma simile, e (thermologically) il flusso di calore costante durante un elemento infinitamente piccolo di tempo. D'ora in poi, tutte le domande che possono essere presentate da termologia abstract saranno ridotti, come in geometria e della meccanica, a semplici problemi di analisi, che sarà sempre consistere nell'eliminazione dei differenziali introdotti come ausiliari per facilitare la creazione di equazioni.
Esempi di tali diverse nature sono più che sufficienti per dare una chiara idea generale di immensa portata della concezione fondamentale di analisi trascendentale come formato da Leibnitz, costituendo, come fa senza dubbio, il pensiero più alto a cui la mente umana ha come ancora raggiunto.
E 'evidente che questa concezione era indispensabile per completare la fondazione della scienza matematica, da it abling di stabilire, in maniera ampia e feconda, la relazione di concreto all'astratto. A questo proposito deve essere considerato come il necessario complemento della grande idea fondamentale della Descartes sulla rappresentazione analitico generale di fenomeni naturali: un'idea che non cominciano ad essere degnamente apprezzato e opportunamente impiegato fino a dopo la formazione del dell'analisi infinitesimo, senza che non potrebbe produrre, anche in geometria, risultati molto importanti.
Generalità delle le formule. Oltre la funzione ammirevole che è dato dall'analisi trascendente per la ricerca delle leggi matematiche di tutti i fenomeni, una seconda proprietà fondamentale e intrinseca, forse importante come il primo, è l'estrema genericità delle formule differenziali, che esprimono in una singola equazione ogni fenomeno determinato, tuttavia variato i soggetti in relazione ai quali è considerato. Così vediamo, negli esempi precedenti, che una singola equazione differenziale dà tangenti di tutte le curve, un altro loro rettifiche, un terzo loro quadrature; e allo stesso modo, una formula invariabile esprime la legge matematica di ogni moto vario; e, infine, una singola equazione rappresenta costantemente la distribuzione del calore in qualsiasi organismo e per ogni caso. Questa generalità, che è così estremamente notevole, e che è per geometri base delle considerazioni più elevati, è una conseguenza fortunata e necessaria del lo spirito di analisi trascendente, soprattutto nella concezione di Leibnitz. Così l'analisi infinitesimale non solo ha fornito un metodo generale per formare indirettamente equazioni che sarebbe stato impossibile scoprire in modo diretto, ma ci ha anche permesso di considerare, per
Q
lo studio matematico dei fenomeni naturali, un nuovo ordine di leggi più generali, ma che comportano un significato chiaro e preciso per ogni mente abituata alla loro interpretazione. In virtù di questa seconda proprietà caratteristica, l'intero sistema di una scienza immensa, come geometria o meccanica, è stato condensato in un piccolo numero di formule analitiche, da cui la mente umana può dedurre da certe e invariabili regole, la soluzione di tutti i problemi particolari.
Dimostrazione della il metodo. Per completare l'esposizione generale della concezione di Leibnitz, rimane da considerare la dimostrazione della procedura logica a cui conduce, * 'e questo, purtroppo, è la parte più imperfetta di questa bella metodo.
All'inizio del dell'analisi infinitesimale, i geometri più celebri giustamente attaccati più importanza di estendere la scoperta immortale di Leibnitz e moltiplicando le sue applicazioni che per stabilire con rigore le basi logiche delle sue operazioni. Essi si accontentarono per lungo tempo rispondendo alle obiezioni dei geometri di secondo piano dalla soluzione insperata dei problemi più difficili; senza dubbio convinto che nella scienza matematica, molto più che in ogni altro, possiamo coraggiosamente il benvenuto a nuovi metodi, anche quando la loro spiegazione razionale è imperfetta, a condizione che siano fecondi nei risultati, nella misura in cui le sue verifiche molto più facile e più numerosi, non permetterebbero alcun errore a rimanere a lungo da scoprire. Ma questo stato di cose non poteva lunga esiste, ed è stato necessario tornare ai fondamenti di analisi di Leibnitz, al fine di dimostrare, in modo perfettamente generale, la rigorosa esattezza delle procedure impiegate in questo modo, a dispetto delle infrazioni apparenti delle regole ordinarie del ragionamento che esso consentito.
Leibnitz, sollecitato a rispondere, aveva presentato una spiegazione del tutto erronea, dicendo che ha trattato infinitamente piccole quantità come incomparabili, e che li trascurata in confronto con quantità finite, "come granelli di sabbia in confronto con il mare:" una vista che avrebbe hanno completamente cambiato la natura della sua analisi, riducendolo a mero calcolo approssimativo, che, sotto questo punto di vista, sarebbe radicalmente vizioso, poiché sarebbe impossibile prevedere, in generale, in che misura le operazioni successive potrebbero aumentare questi primi errori, che potrebbero in tal modo, evidentemente, raggiungere qualsiasi importo. Leibnitz, poi, non ha visto, se non in modo molto confuso, i veri fondamenti logici di analisi, che aveva creato. I suoi primi successori si sono limitati, in un primo momento, a verificare l'esattezza mostrando la conformità dei suoi risultati, in applicazioni particolari, a quelli ottenuti con l'algebra ordinaria o la geometria di antichi; riproducendo, secondo i metodi antichi, per quanto potevano, le soluzioni di alcuni problemi dopo che era stato una volta ottenuto con il nuovo metodo, che sola era capace di loro scoprendo in primo luogo.
Quando questa grande questione è stato considerato in modo più generale, geometri, invece di attaccare direttamente la difficoltà, preferito sfuggire in qualche modo, come Eulero e D'Alembert, per esempio, hanno fatto, dimostrando la conformità necessaria e costante di la concezione di Leibnitz, visto in tutte le sue applicazioni, con altre concezioni fondamentali di analisi trascendente, che di Newton in particolare, l'esattezza di che era libero da ogni obiezione. Tale veri generale
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zione è senza dubbio strettamente sufficiente a dissipare ogni incertezza circa il legittimo impiego di analisi di Leibnitz. Ma il metodo infinitesimale è così importante, che offre ancora, in quasi tutte le sue applicazioni, una superiorità tale pratica negli altri concetti generali che sono stati successivamente proposti, che ci sarebbe stata una vera e propria imperfezione nel carattere filosofico della scienza se si potesse non giustificarsi, e aveva bisogno di essere logicamente fondata su considerazioni di un altro ordine, che sarebbe poi cessa di essere impiegato.
Era, quindi, di estrema importanza per stabilire direttamente e in maniera generale la necessaria razionalità del metodo infinitesimale. Dopo vari tentativi più o meno imperfetta, geometra distinta, Carnot, presentato finalmente la vera spiegazione logica diretta del metodo di Leibnitz, mostrando di essere fondato sul principio della necessaria compensazione di errori, questo essere, infatti, la manifestazione precisa e luminosa di ciò che Leibniz aveva vagamente e confusamente percepito. Carnot ha così reso la scienza un servizio essenziale, anche se, come vedremo verso la fine di questo capitolo, tutto questo impalcature logico del metodo infinitesimo, propriamente detta, è molto probabilmente suscettibile di soli esistenza provvisorio, in quanto è radicalmente vizioso nella sua natura. Tuttavia, non dobbiamo mancare di notare il sistema generale di ragionamento proposto da Carnot, al fine di legittima direttamente all'analisi di Leibnitz. Ecco la sostanza di esso:
Nello stabilire l'equazione differenziale di un fenomeno, sostituiamo, per gli elementi immediati di diverse grandezze considerate, altri infinitesimi più semplici, che differiscono da loro infinitamente piccolo in confronto con loro; e questa sostituzione costituisce l'artificio principale del metodo di Leibnitz, che senza di essa avrebbe posseduto reale impianto per la formazione di equazioni. Carnot riguarda tale ipotesi come realmente producendo un errore nell'equazione così ottenuta, e che per questo si chiama imperfetta , solo, è chiaro che questo errore deve essere infinitamente piccola. Ora, invece, tutte le operazioni di analisi, sia di differenziazione o di integrazione, che sono eseguiti su queste equazioni differenziali, al fine di sollevare le equazioni finite eliminando tutti gli infinitesimi introdotte come ausiliari, produrre costantemente , per loro natura, come è facilmente visibile, altri errori analoghi, in modo che una compensazione esatta avviene, e le equazioni finali, nelle parole di Carnot, diventa perfetta. visite Carnot, come indicazione certa ed invariabile della effettiva costituzione di questa compensazione necessaria, l'eliminazione completa dei vari infinitamente piccole quantità, che è sempre, infatti, l'oggetto finale di tutte le operazioni di analisi trascendente; perché se abbiamo commesso nessun altro infrazioni delle regole generali del ragionamento di quelli quindi preteso dalla natura stessa del metodo infinitesimale, gli infinitamente piccoli errori così prodotti non possono aver generato diverso infinitamente piccoli errori in tutte le equazioni, e le relazioni sono necessariamente di un'esattezza rigorosa appena esistono tra quantità finite sola, poiché i soli errori le possibili devono essere quelli finiti, mentre nessuno quali può essere inserito. Tutto questo ragionamento generale si fonda sulla concezione di quantità infinitesimali, considerato indefinitamente diminuendo, mentre quelli da cui sono derivati ??sono considerati fisso.
Illustrazione per tangenti. Così, per illustrare questa esposizione estratto da un solo esempio, prendiamo nuovamente la questione di tangenti, che è il più facile da un
dy alyze completamente. Noi considerare l'equazione t = -,
ottenuto sopra, come essere colpiti con un infinitamente piccolo
errore, dal momento che sarebbe perfettamente rigoroso solo per la
secante. Ora ci completare la soluzione cercando,
secondo l'equazione di ogni curva, il rapporto Be-
interpolazione i differenziali di coordinate. Se supponiamo
questa equazione di essere y = ax t , avremo evidentemente dy = 2axdx + adx *. In questa formula dovremo trascurare il termine dx x come infinitamente piccola quantità del secondo ordine. Poi la combinazione dei due imperfette equazioni.
dy
t = -, dy-2axdx,
ascia
essendo sufficiente ad eliminare completamente i infinitesimi, il risultato finita, t = 2ax, sarà necessariamente rigorosamente corretta, dall'effetto della esatta compensazione dei due errori commessi; poiché, per sua natura finita, non può essere influenzato da un infinitamente piccolo errore, e questo è, tuttavia, l'unico che potrebbe avere, secondo lo spirito delle operazioni che sono state eseguite.
Sarebbe facile da riprodurre in modo uniforme lo stesso ragionamento con riferimento a tutte le altre applicazioni generali di analisi di Leibnitz.
Questa teoria ingegnosa è senza dubbio più sottile di solido, quando esaminiamo più profondamente; ma ha davvero altro difetto logico radicale di quella del metodo infinitesimo stesso, di cui è, mi sembra, lo sviluppo naturale e la spiegazione generale, in modo tale, esso. deve essere adottata a lungo tempo come sarà pensato corretta impiegare questo metodo direttamente.
Passo ora alla esposizione generale degli altri due concezioni fondamentali di analisi trascendente, limitandomi a ciascuno per la sua idea principale, il carattere filosofica di analisi essendo stato sufficientemente sopra determinato in sede di esame della concezione di Leibnitz, che ho appositamente soffermati perché ammette di essere più facilmente comprensibile nel suo complesso, e il più rapidamente descritto.
METODO DI NEWTON.
Newton ha successivamente presentato il suo proprio metodo di concepire l'analisi trascendentale sotto diverse forme. Ciò che è attualmente il più comunemente adottata è stato designato da Newton, a volte sotto il nome del del metodo di primo e ultimo Ra tios, a volte sotto quella della il metodo di limiti.
Metodo di limiti. Lo spirito generale di analisi trascendente, da questo punto di vista, consiste nell'introdurre come ausiliari, al posto dei quantitativi primitive, o in concomitanza con essi, al fine di facilitare la creazione di equazioni, i limiti di della ra tios di incrementi simultanei di queste quantità; o, in altre parole, le finali rapporti di tali incrementi; limiti o rapporti finali che possono essere facilmente dimostrato di avere un determinato e valore finito. Un calcolo speciale, che è l'equivalente del calcolo infinitesimale, viene quindi impiegata per passare le equazioni tra questi limiti alle corrispondenti equazioni tra le quantità primitive stessi.
La potenza che è dato da una tale analisi, di esprimere con più facilità le leggi matematiche di fenomeni, dipende in generale su questo, che, poiché il calcolo si applica, non alle stesse incrementi delle quantità proposte, ma per i limiti di rapporti di tali incrementi, possiamo sempre sostituiamo per ogni incremento qualsiasi altra grandezza più facile da esaminare, a condizione che il loro rapporto finale è il rapporto di uguaglianza, o, in altre parole, che il limite del loro rapporto è unità. È evidente, infatti, che il calcolo dei limiti sarebbe in alcun modo limitati da questa sostituzione. Partendo da questo principio, troviamo quasi equivalente dei servizi offerti dall'analisi di Leibnitz, che vengono poi semplicemente concepiti sotto un altro punto di vista. Così curve vengono considerati come i limiti di una serie di poligoni rettilinei, moti variabili come i limiti di una raccolta di moti uniformi di durate costantemente decrescenti, e così via.
. Esempi 1. . Tangenti Supponiamo, per esempio, che vogliamo determinare la direzione della tangente ad una curva; considereremo come il limite verso che tenderebbe a secante, che dovrebbe ruotare attorno al punto in modo che il secondo punto di intersezione debba indefinitamente avvicinarsi alla prima. Rappresentando le differenze di coordinate dei due punti di Ay e Ax, avremmo in ogni istante, per la tangente trigonometrica del dell'angolo che la secante forma con l'asse di ascisse,
Ay Ax ! Da cui, prendendo i limiti, si otterrà, relativamente alla tangente in sé, questa formula generale di analisi trascendente, ._. Ay
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la caratteristica L stato impiegato per designare il limite. Il calcolo di funzioni indirette mostrerà come dedurre da questa formula in ogni caso particolare, quando l'equazione di è dato curva, la relazione tra t e x, eliminando le quantità ausiliari che sono state introdotte. Se supponiamo, al fine di completare la soluzione, che l'equazione della curva proposto è y = ax 2 , avremo evidentemente
Ay = 2axAx + a (& x) 9 , da cui otterremo
- = + 2AX AAX.
ASCIA
Ora è chiaro che il limite verso cui il secondo numero tende, in proporzione Ax diminuisce, è permissive. Possiamo quindi troveremo, con questo metodo, t = 2ax, come abbiamo ottenuto per lo stesso caso con il metodo di Leibnitz. 2. . Rettifiche In modo simile, quando la rettifica di una curva si desidera, si deve sostituire l'incremento della dell'arco s corda di questo incremento, che ha evidentemente una tale connessione con esso che il limite del loro rapporto è unità; e poi troviamo (perseguendo per altri aspetti lo stesso piano come con il metodo di Leibnitz) questa equazione generale di rettifiche:
\ AX / \ AX /
\ AX / \ AXJ \ AX /
secondo che la curva è aereo o di doppia curvatura. Ora sarà necessario, per ogni curva particolare, per passare da questa equazione a quella tra l'arco e l'ascissa, che dipende dal calcolo trascendente propriamente detta.
Potremmo riprendere, con la stessa facilità, con il metodo di limiti, tutte le altre questioni generali, la soluzione di cui si è già indicati secondo il metodo infinitesimale.
Tale è, in sostanza, il concetto che Newton formata per l'analisi trascendente, o, più precisamente, ciò che Maclaurin e D'Alembert hanno presentato come la base più razionale di tale analisi, nel cercare di fissare e di provvedere le idee di Newton su quel soggetto.
Flussioni e fluenti. Un'altra forma precisa, sotto il quale Newton ha presentato questo stesso metodo dovrebbe essere qui notato, e merita particolare a fissare la nostra attenzione, tanto per la sua chiarezza ingegnoso, in alcuni casi, come per il suo aver fornito la notazione più adatto a questo modo di la visualizzazione l'analisi trascendente, e, inoltre, per essere stato fino a poco la forma speciale di la calcuius di funzioni indiretti comunemente adottata dai geometri inglesi. Mi riferisco al calcolo delle flussioni e di fluenti, fondata sull'idea generale di velocità.
Per facilitare la concezione del l'idea fondamentale ', consideriamo ogni curva come generato da un punto colpito con un movimento variabile secondo una legge qualsiasi. I diversi quantitativi che la curva può presentare, l'ascissa, l'ordinata, l'arco, la zona, ecc, saranno considerati come simultaneamente prodotta per gradi successivi nel corso di questo movimento. La velocità con cui ciascuna sono state descritte sarà chiamato fluxion di tale quantitativo, che sarà inversamente chiamato sua influenza ent. D'ora in poi l'analisi trascendente consisterà, secondo questa concezione, nel formare direttamente equazioni tra le flussioni della proposta quantità, per dedurne, da un calcolo speciale, le equazioni tra i fluents stessi. Quanto detto rispettando curve può inoltre evidentemente essere applicato a qualsiasi grandezze qualunque, considerati, con l'aiuto di immagini adatte, come prodotta dal movimento. È facile comprendere l'identità generale e necessaria di questo metodo con quello di limiti complicate con l'idea estera del movimento. Infatti, riprendendo il caso della curva, se supponiamo, come abbiamo evidentemente sempre può, che il moto del punto descrivere è uniforme in una certa direzione, che delle ascisse, per esempio, allora il fluxion delle ascisse saremo costante, come l'elemento di tempo; per tutte le altre quantità generate, il movimento non può essere concepito per essere uniforme, ad eccezione di un infinitamente piccolo tempo. Ora la velocità essendo in generale secondo la sua concezione meccanica, il rapporto di ogni spazio al tempo impiegato in attraversarlo, e questa volta essere qui proporzionale all'incremento di ascissa, ne consegue che la flussioni di dell'ordinata, della dell'arco , della zona, ecc, sono davvero niente altro (respingendo l'esame intermedio di tempo) rispetto ai rapporti finali di incrementi di queste quantità diverse per l'incremento delle ascisse. Questo metodo di flussioni e fluenti è, quindi, in realtà, solo un modo di rappresentare, da un confronto in prestito dalla meccanica, il metodo di rapporti di primi e ultimi, che sola può essere ridotto a un calcolo. È evidente, quindi, offre gli stessi vantaggi generali in varie applicazioni principali di analisi trascendente, senza che sia necessario presentare prove speciali di questo.
[grafico]
METODO DI Lagrange.
Derivati ??funzioni. La concezione di Lagrange, nella sua semplicità ammirevole, consiste nel rappresentare l'analisi trascendente come un grande artifizio algebraio, per cui, al fine di facilitare la creazione di equazioni, si introduce, in luogo delle funzioni primitive, o contemporaneamente con loro, loro derivati ??funzioni; cioè, secondo la definizione di Lagrange, il coefficiente del primo termine del dell'incremento di ciascuna funzione, disposte secondo i poteri ascendenti del l'incremento della sua variabile. La speciale calcolo di funzioni indirette ha per oggetto costante, anche qui, come nelle concezioni di Leibnitz e di Newton, per eliminare questi derivati ??che sono stati quindi impiegati come ausiliari, al fine di dedurre dalle loro relazioni corrispondenti equazioni tra il primitivo grandezze.
Una estensione di ordinaria Analisi. L'analisi trascendentale è, dunque, nient'altro che un semplice anche se molto notevole estensione di analisi comune. Geometri sono stati a lungo abituati ad introdurre nelle indagini analitiche, al posto delle grandezze stessi che desideravano studiare, loro differenti potenze, o loro logaritmi, o loro seni, ec, per semplificare le equazioni, e anche per ottenerli più facilmente. Questa successiva derivazione è un artificio della stessa natura, solo di maggiore estensione, e procurarsi, di conseguenza, molto più importante delle risorse per questo oggetto comune.
Ma, anche se facilmente si può concepire, un priori, che la considerazione ausiliario di questi derivati ??può FA cilitare la creazione di equazioni, non è facile spiegare perché questo deve necessariamente seguire questa modalità di derivazione piuttosto che da qualsiasi altra trasformazione. Tale è il punto debole della grande idea di Lagrange. I vantaggi precisi di questa analisi non possono ancora essere afferrati in modo astratto, ma mostrati solo considerando separatamente ciascuna questione principale, in modo che la verifica è spesso estremamente laborioso.
Esempio. Tangenti. Questo modo di concepire l'analisi trascendente può essere meglio illustrata dalla sua applicazione alla più semplice dei problemi sopra esaminati, cioè di tangenti.
Invece di concepire tangente come il prolungamento della infinitamente piccolo elemento di curva, secondo il concetto di Leibnitz, o come il limite delle le secanti, secondo le idee di Newton-Lagrange ritiene, secondo il suo carattere semplice geometrica, analoga alle definizioni di antichi, per essere una linea retta tale che nessuna altra linea destra può passare attraverso il punto di contatto tra essa e la curva. Quindi, per determinare la sua direzione, dobbiamo cercare l'espressione generale della sua distanza dalla curva, misurata in qualsiasi direzione qualunque-in che del ordinata, per esempio, e disporre della costante arbitraria relativa alla inclinazione della linea di destra, che necessariamente entrare in tale espressione, in modo tale da diminuire la separazione il più possibile. Ora questa distanza, essendo evidentemente pari alla differenza delle due coordinate della curva e della linea di destra, che corrispondono allo stesso nuovo ascissa x + h, sarà rappresentato dalla formula
(FHX) -t) h + QH, i + rh, 3 + etc, in cui t indica, come sopra, la trigonomet sconosciuta
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tangente Rical del dell'angolo che la riga desiderata forma con l'asse di ascisse, e f '{x) la funzione derivata della ordinata f (x). Questo fermo restando, è facile vedere che, disponendo di t modo per fare il primo termine della formula precedente uguale a zero, noi rendere l'intervallo tra le due linee il meno possibile, in modo che qualsiasi altra linea for'Which t non aveva il valore così determinato necessariamente discostarsi più lontano dalla curva proposta . Abbiamo, quindi, per la direzione della tangente ricercato, l'espressione generale t = f '(x), un risultato esattamente equivalenti a quelle fornite dal metodo infinitesimale e il metodo di limiti. Dobbiamo ancora trovare f '(x) in ciascuna curva particolare, che è una semplice questione di analisi, del tutto identica a quelli che sono presentati, in questa fase delle operazioni, con gli altri metodi. Dopo queste considerazioni al momento i principali concetti generali, non dobbiamo fermarci ad esaminare alcune altre teorie proposte, come ad esempio di Eulero Calcolo di Vanishing quantità, che sono davvero modificazioni più o meno importanti, e, inoltre, non sono più utilizzati -di metodi precedenti .
Devo ora di stabilire il confronto e l'apprezzamento di questi tre metodi fondamentali. La loro per fetto e necessaria la conformità è il primo ad essere provata in modo generale.
Identità fondamentale DEI TRE METODI.
È, in primo luogo, risulta da quanto precede, considerando questi tre metodi come la loro destinazione effettiva, indipendentemente delle loro idee preliminari, che tutti consistono nello stesso artifici logico generale, che è stato caratterizzato nel primo capitolo; cioè, l' introduzione di un certo sistema di grandezze ausiliarie, avere rapporti uniformi a quelle che sono gli oggetti speciali di dell'indagine, e sostituiti loro espressamente per facilitare l'espressione analitica delle leggi matematiche dei fenomeni, anche se hanno infine essere eliminati con l'aiuto di un calcolo speciale. È questo che mi ha determinato per definire regolarmente all'analisi trascendente come il calcolo della indiretti FUNC zioni, per marcare il suo vero carattere filosofica, allo stesso tempo evitando ogni discussione sul miglior modo di concepire e applicazione. L'effetto generale di questa analisi, qualunque sia il metodo impiegato, è, quindi, per portare ogni domanda matematica molto più rapidamente all'interno del potere di l' calcolo, e quindi di diminuire notevolmente la grave difficoltà che di solito è presentato dal passaggio dal concreto l'astratto. Qualunque sia il progresso noi possiamo fare, non possiamo mai sperare che il calcolo sarà mai in grado di cogliere tutte le domande di natura filosofia, geometrica, o meccanico, o thermological, ecc, immediatamente dopo la sua nascita, il che, evidentemente, comporta una contraddizione. Ogni problema sarà costantemente richiederà un certo lavoro preliminare da eseguire, in cui il calcolo può essere di alcun aiuto, e che, per sua natura, non può essere sottoposto a regole astratte e invariabili; è quella che ha per oggetto speciale la creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati ??equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.
Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati ??FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile
per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel
dx
Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come
Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange
ASCIA
indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.
VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.
Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.
Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di
H
equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.
Filosofia della matematica...Filosofia della matesis...metafisica della mathesix...creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati ??equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.
Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati ??FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile
per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel
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Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come
Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange
ASCIA
indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.
VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.
Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.
Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di
H
equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.
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| . La superiorità scientifica della geometria deriva dai fenomeni che ritiene essere necessariamente la più universale e il più semplice di tutti. Non solo possono tutti 'i corpi di natura dar luogo a indagini geometriche, così come quelle meccaniche, ma ancora più lontano, fenomeni geometrico esisterebbe ancora, anche se tutte le parti del dell'universo dovrebbero essere considerati come beni. La geometria è quindi, per sua natura, più generale meccanica. Allo stesso tempo, i suoi fenomeni sono più semplici, perché sono evidentemente indipendenti di fenomeni meccanici, mentre questi ultimi sono sempre complicato con i primi. Le stesse relazioni valgono nel confronto con la geometria termologia astratto. Per queste ragioni, nella nostra classificazione mettiamo geometria prima parte del calcestruzzo matematica ; quella parte dello studio di cui, oltre alla sua propria importanza, serve come base indispensabile di tutto il resto. Prima di considerare direttamente lo studio filosofico di diversi ordini di richieste che costituiscono la nostra geometria attuale, dovremmo ottenere una idea chiara e precisa della destinazione generale di che la scienza, visto in tutte le sue cuscinetti. Tale è l'oggetto di questo capitolo. . Definizione geometria viene comunemente definito in modo molto vago e del tutto impropria, come la scienza di estensione. Un miglioramento su questo sarebbe dire che la geometria ha per oggetto la misura di estensione; ma una tale spiegazione sarebbe molto insufficiente, anche se, in fondo, corretta, e sarebbe molto da dare qualche idea del vero carattere generale della scienza geometrica. Per fare questo, penso che dovrei prima spiegare due divertenti fon- idee, che, molto semplice in se stessi, sono stati singolarmente oscurate con l'impiego di considerazioni metafisiche. L' idea di spazio. La prima è quella di spazio. Questa concezione consiste propriamente semplicemente nel fatto che, invece di considerare l'estensione nei corpi stessi, l'abbiamo vista in un mezzo indefinito, che noi consideriamo come contenente tutti gli organi della dell'universo . Questa nozione è naturalmente suggerito da osservazione, quando pensiamo di l'impressione che un corpo avrebbe lasciato in un fluido in cui era stato collocato. È evidente, infatti, che, per quanto riguarda le sue relazioni geometriche, tale impressione può essere sostituito per il corpo stesso, senza alterare i ragionamenti rispetto esso. Per quanto riguarda la natura fisica di questo indefinito spazio, siamo spontaneamente portati a rappresentare a noi stessi, ad essere del tutto analogo al mezzo reale in cui viviamo; in modo che se questo mezzo era liquido invece di gassosa, nostro geometrico spazio sarebbe certamente essere concepito come liquida. Questa circostanza è, del resto, solo molto secondario, l'oggetto essenziale di tale concezione essendo solo per farci consideriamo estensione separatamente dai corpi che si manifestano a noi. Possiamo facilmente capire in anticipo l'importanza di questa immagine fondamentale, poiché ci permette di studiare fenomeni geometrico in sé, astrazione essendo fatto di tutti gli altri fenomeni che li accompagnano costantemente in corpi reali, senza howover, esercitare alcuna influenza su di loro. La creazione regolare di questa astrazione generale deve essere considerato come il primo passo che è stato fatto nello studio razionale della geometria, che sarebbe stato impossibile se fosse stato necessario prendere in considerazione, insieme con la forma e la grandezza dei corpi, tutta la loro altre proprietà fisiche. L'uso di una tale ipotesi, che è forse la più antica concezione filosofica creato dalla mente umana, è diventata così familiare a noi, che abbiamo difficoltà esattamente valutare la sua importanza, cercando di apprezzare le conseguenze che deriverebbero dalla sua soppressione. Diversi tipi di estensione. La seconda concezione geometrica preliminare che dobbiamo esaminare è quella di diversi tipi di estensione, designati dalla parole di volume, di superficie, la linea, e anche il punto, e di cui la spiegazione ordinaria è così insoddisfacente. * Anche se è evidentemente impossibile concepire qualsiasi estensione assolutamente priva di una qualsiasi delle tre dimensioni fondamentali, è altrettanto incontestabile che, in un gran numero di volte, anche di utilità immediata, domande geometrici dipendono solo due dimensioni, considerati separatamente dal il terzo, o in una sola dimensione, considerati separatamente dagli altri due. Ancora una volta, indipendentemente di questo motivo diretta, lo studio di estensione con una sola dimensione, e poi con due, si presenta chiaramente come un preliminare indispensabile per facilitare lo studio dei corpi completi di tre dimensioni, la teoria immediata di cui sarebbe troppo com * Lacroix giustamente criticato l'espressione di solido, comunemente usato dai geometri per designare un volume. è certo, infatti, che quando vogliamo considerare separatamente una certa porzione di spazio indefinito, concepito come gassosa, abbiamo mentalmente solidificare il suo involucro esterno, in modo che una linea ed una superficie sono abitualmente, alla nostra mente, proprio come solido come un volume. può anche essere osservato che la maggior parte in genere, in modo che i corpi possono penetrare l'un l'altro con più facilità, siamo obbligati ad immaginare l'interno di i volumi di essere vuota, che rende ancora più sensibile la scorrettezza della parola tolid. complicata. Questi sono i due motivi generali che obbligano geometri considerare separatamente estensione con riferimento ad una o due dimensioni, nonché relativamente a tutti e tre insieme. I concetti generali di superficie e di linea sono stati formati dalla mente umana, in modo che possa essere in grado di pensare, in modo permanente, di estensione in due direzioni, oppure in uno solo. Le espressioni iperboliche abitualmente impiegati da geometri per definire queste nozioni tendono a trasmettere false idee su di loro; ma, ha esaminato in se stessi, non hanno altro scopo che per permetterci di ragionare con facilità rispetto di questi due tipi di estensione, rendendo completa astrazione di ciò che non deve essere preso in considerazione. Ora per questo è sufficiente concepire la dimensione che si vuole eliminare per diventare gradualmente più piccola, gli altri due rimanenti stesso, fino ad arrivare ad un tale grado di tenuity che non può più fissare l'attenzione. È così che abbiamo naturalmente acquisire la vera idea di una superficie, e, da una seconda operazione analoga, l'idea di una linea, ripetendo per ampiezza quanto avevamo dapprima fatto per spessore. Infine, se ancora una volta ripetere la stessa operazione, arriviamo all'idea di un punto, o di una estensione considerato solo con riferimento al suo posto, l'astrazione di essere fatto di tutto grandezza, e di conseguenza progettato per determinare le posizioni. Superfici evidentemente hanno inoltre la proprietà generale di volumi esattamente circoscrivono; e allo stesso modo, linee, a loro volta, circoscrivono superfici e sono limitate da punti. Ma questa considerazione, a cui troppa importanza è dato spesso, è soltanto uno secondario. Superfici e linee sono, quindi, in realtà, sempre concepiti con tre dimensioni; sarebbe, infatti, impossibile rappresentare a se stessi una superficie altrimenti che come una piastra estremamente sottile, e una linea altrimenti che come un filo infinitamente bene. È anche evidente che il grado di tenuity attribuito ogni individuo alle dimensioni dei quali desidera fare astrazione non è sempre identica, perché deve dipendere dal grado di sottigliezza dei suoi abituali osservazioni geometriche. Questa mancanza di uniformità ha, inoltre, non inconveniente reale, in quanto è sufficiente, in modo che le idee di superficie e di linea dovrebbero soddisfare la condizione essenziale della loro destinazione, per ognuno di rappresentare a se stesso le dimensioni che devono essere trascurati come essere più piccolo di tutti coloro la cui grandezza della sua esperienza quotidiana gli dà modo di apprezzare. Noi quindi vediamo come priva di ogni significato sono le fantastiche discussioni dei metafisici sulle fondamenta della geometria. Va anche osservato che queste idee primordiali sono abitualmente presentati dai geometri in maniera non filosofica, poiché, ad esempio, spiegano le nozioni di diversi tipi di misura in un ordine assolutamente l'inverso della loro dipendenza naturale, che produce spesso più gravi inconvenienti in istruzione elementare. L'oggetto finale DI GEOMETRIA. Questi preliminari essendo stabilito, si può procedere direttamente alla definizione generale di geometria, continuando a concepire questa scienza come avente per oggetto finale misura di estensione. E 'necessario in questa materia per andare in un approf |
grazie gp
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